Niezawodność konstrukcji
Plan wykładów
" Niepewność w budownictwie
" Zmienne losowe
" Symulacje (metoda Monte Carlo)
" Procedury analizy niezawodnościowej
" Procedury analizy niezawodnościowej
" Opracowywanie norm
" Modele obciążeń i nośności
" Niezawodność układów konstrukcyjnych
1
Cel wykładów
Odpowiedz
na następujące pytania:
" Jak można mierzyć bezpieczeństwo konstrukcji ?
" Jakie bezpieczeństwo jest dostateczne ?
" W jaki sposób projektant zapewnia konstrukcji
optymalny poziom bezpieczeństwa ?
Możliwe zastosowania:
" Racjonalne projektowanie nowych konstrukcji
" Ocena istniejących konstrukcji
" Opracowywanie norm projektowych
2
Techniki symulacyjne
(metoda Monte Carlo)
histogram
wyniki
badań
Aby rozwiązać bardziej złożone zadanie
wybierz losowe wyniki badań
i wykorzystaj je z pozostałymi danymi.
specjalne
techniki
wybór losowy dokonany
za pomocą specjalnych technik
3
Przykład
Rozważmy pomiary wytrzymałości na ściskanie f c
cylindrycznej próbki betonowej. Załóżmy, że na podstawie
wyników badań sporządzono histogram częstości.
Rozważmy słup betonowy. Jego nośność (zdolność
Rozważmy słup betonowy. Jego nośność (zdolność
przeniesienia sił ściskających) wynosi 0,85 f cAc .
Załóżmy, że przyłożone obciążenie Q ma rozkład normalny
Q
o wartości średniej i współczynniku zmienności vQ.
Jakie jest prawdopodobieństwo awarii słupa Pf?
4
Przykład (c.d.)
Zachowanie się konstrukcji można opisać za pomocą
następującej funkcji:
Y = R - Q
'
gdzie:
R = 0,85 fcAc
Prawdopodobieństwo awarii jest prawdopodobieństwem
tego, że: R < Q
tego, że: R < Q
Pf = P(Y < 0) = P(R - Q < 0)
czyli:
Jeżeli rozkład Q jest normalny natomiast rozkład R jest
n.p. logarytmiczno-normalny, wtedy znalezienie dokładnego
rozwiązania jest bardzo trudne. Można je jednak rozwiązać
w przybliżeniu stosując symulacje Monte Carlo.
5
Procedura metody Monte Carlo
1. Wygeneruj losowo wartość f c oraz oblicz
R = 0,85 fc' Ac
2. Wygeneruj losowo wartość zmiennej Q zgodnie
z jej rozkładem prawdopodobieństwa.
3. Oblicz
Y = R - Q
4. Zachowaj obliczoną wartość zmiennej Y.
5. Powtarzaj kroki 1�4 aż liczba wygenerowanych wartości
zmiennej Y będzie dostateczna (n.p. tysiące lub miliony).
6
Generowanie liczb losowych
o rozkładzie równomiernym
Znając wartość liczby losowej U o rozkładzie równomiernym
w przedziale < 0, 1 > można wygenerować liczbę losową X
o rozkładzie równomiernym w przedziale < a, b >,
stosując wzór:
x = a + (b - a)u
x = a + (b - a)u
7
Generowanie liczb losowych
o rozkładzie normalnym
Aby wygenerować liczby losowe
u = Ś(z)
o rozkładzie normalnym
standaryzowanym z1, z2, ..., zn
należy najpierw wygenerować
odpowiadające im liczby losowe
o rozkładzie równomiernym
o rozkładzie równomiernym
u1, u2, ..., un z przedziału <0, 1>
a następnie obliczyć:
ui
zi = Ś-1(ui)
z = Ś-1(u)
gdzie Ś-1 jest odwrotnością
zi
dystrybuanty rozkładu
8
normalnego standaryzowanego.
Generowanie liczb losowych
o rozkładzie normalnym
Załóżmy, że dany jest rozkład zmiennej losowej X
o wartości średniej i odchyleniu standardowym �x.
x
Podstawowy związek między zmienną X a zmienną
standaryzowaną Z jest następujący:
X = x + Z�X
Zatem, danej wartości zi, odpowiada wartość xi,
którą można obliczyć następująco:
xi = x + zi�X
9
Przykład
Obciążenie stałe konstrukcji G jest zmienną losową
G
o rozkładzie normalnym, o wartości średniej = 20 kN/m
i współczynniku zmienności vG = 10%.
(Funkcję gęstości prawdopodobieństwa przedstawiono niżej.)
Wygenerować 10 wartości zmiennej losowej G.
ui zi Gi
-------------------------------------------
-------------------------------------------
f
fG
0,050203 -1,642888 16,71
0,619129 0,303194 20,61
0,872402 1,137819 22,28
0,376568 -0,314508 19,37
0,139927 -1,080648 17,84
0,318491 -0,471923 19,06
0,987671 2,246725 24,49
0,033265 -1,834833 16,33
0,234626 -0,723696 18,55
0,623157 0,313782 20,63
10 20 30 10
Generowanie liczb losowych
o rozkładzie logarytmiczno-normalnym
X jest zmienną losową o rozkładzie logarytmiczno-normalnym,
x
o wartości średniej i odchyleniu standardowym �X.
Aby wygenerować wartość xi, należy najpierw wygenerować
wartość ui o rozkładzie równomiernym w przedziale <0, 1>,
następnie obliczyć:
zi = Ś-1(ui)
xi = exp[xln X + zi�ln X ]
i ostatecznie:
2
gdzie: �ln X= ln(v2 +1)H" v2 dla vX < 0,20
X X
1
2
xln X= ln(x) - �ln X H" ln(x) dla vX < 0,20
2
xi = x exp[zivX]
a w przybliżeniu:
11
Ogólna procedura generowania
liczb losowych o dowolnym rozkładzie
Rozważmy zmienna losową X o dystrybuancie FX(x).
Aby wygenerować jej wartość xi, należy:
1. Wygenerować losową wartość ui na podstawie
rozkładu równomiernego w przedziale < 0, 1 >.
rozkładu równomiernego w przedziale < 0, 1 >.
2. Obliczyć wartość losową xi ze wzoru:
xi = FX-1(ui)
gdzie FX-1 jest odwrotnością FX.
12
Przykład
Dany jest wspornik drewniany. Stosując metodę Monte Carlo,
wyznaczyć wartość średnią i odchylenie standardowe
momentu zginającego M występującego w odległości 1,5 m
od jego swobodnego końca.
Obciążenia P i w są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładach normalnych i następujących parametrach:
w
w
P
P
= 20 kN, = 1 kN/m
= 20 kN, = 1 kN/m
�P = 2 kN, �w = 0,1 kN/m
13
l = 1,5 m
Przykład (c.d.)
Ze statyki, moment zginający M w rozpatrywanym przekroju
wynosi:
wl2
M =Pl - = 1,5P -1,125 w
2
Ponieważ P i w są zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych
a moment M jest ich funkcją liniową, zatem moment M
także jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
także jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
o wartości średniej i odchyleniu standardowym:
M = 1,5 P -1,125 w = 28,875 kNm
2 2
�M = (1,5 �P) + (1,125 �w ) = 3,0 kNm
14
Przykład (c.d.)
Dla każdej zmiennej wygenerowano po pięć liczb losowych:
xi = x + zi�X
ui zi Pi = 20 + 2zi
-----------------------------------------------------
0,050203 -1,642888 16,71
0,619129 0,303194 20,61
0,872402 1,137819 22,28
0,376568 -0,314508 19,37
0,376568 -0,314508 19,37
0,139927 -1,080648 17,84
ui zi wi = 1 + 0,1zi
-----------------------------------------------------
0,318491 -0,471923 0,95
0,987671 2,246725 1,22
0,033265 -1,834833 0,82
0,234626 -0,723696 0,93
0,623157 0,313782 1,03
15
Przykład (c.d.)
Następnie, na podstawie 5 zbiorów danych {Pi, wi}
obliczono 5 wartości momentu M:
Mi = 1,5Pi -1,125 wi
otrzymując następujące wyniki:
5
1
Mi [kNm]
M =
"M = 27,9kNm
i
------------
5
i=1
24,00
29,53
5
�ł
2
32,49
�ł �ł
"M �ł - 5(M)2
i
28,01
�ł i=1 łł
�M = = 3,3kNm
25,60
5 -1
16
Losowanie  Latin Hypercube
Y = f(X1,K,Xk )
Zredukowana liczba symulacji
" Podzielić przedział każdej zmiennej Xi na N podprzedziałów
( tak aby prawdopodobieństwo trafienia w każdy z nich = 1/N ).
" Dla każdej Xi oraz dla każdego podprzedziału, wybrać wartość
" Dla każdej X oraz dla każdego podprzedziału, wybrać wartość
reprezentatywną ( wartość środkową ).
" Istnieje Nk możliwych kombinacji ich wyboru. Dokonać
pierwszego, losując po jednej wartości dla każdej Xi.
" Dokonać kolejnych wyborów, tak aby każda wartość
pojawiała się tylko raz w N kombinacjach.
17
Losowanie  Latin Hypercube
Powstanie N kombinacji ( x1, x2, ... xk ).
N
"y
i
i=1
Y =
" wartość średnia Y
N
N
N
m
"( )
"(y )
i
i=1
" m-ty moment Y
Ym =
N
" dystrybuanta
(ile razy yi < y)
FY(y) =
N
18
Metoda estymacji  Rosenblueth 2K+1 point
Y = f(X1,K,XK )
" Dla każdej zmiennej Xi obliczyć wartość średnią xi
�X
i odchylenie standardowe
i
" Obliczyć:
y0 = f(x1, x2 K, x )
y0 = f(x1, x2 K, x )
K
" Dla każdej zmiennej Xi obliczyć:
+
yi = f(x1,K, xi + �X ,K, xk)
i
-
yi = f(x1,K, xi - �X ,K, xk)
i
19
Metoda estymacji  Rosenblueth 2k+1 point
" Dla każdej zmiennej Xi obliczyć
+ -
+ -
yi - yi
yi + yi
vy =
yi =
+ -
i
yi + yi
2
" Obliczyć wartość średnią i wskaz
nik zmienności dla Y
k
k
�ł �ł �ł
yi
vY = y0 �ł (1+ v2 )łł -1
Y = y0
" Yi
"�ł y0 �ł śł
�ł �ł
�ł i=1 �ł
i=1
�ł łł
20
Analiza bezpieczeństwa konstrukcji
" Stan graniczny
" Przypadek podstawowy
" Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
" Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
" Procedura Rackwitza-Fiesslera
" Podsumowanie procedur analizy niezawodnościowej
21
Stany graniczne
Definicja awarii
Konstrukcja ulega awarii, jeżeli nie jest w stanie
spełniać swojej funkcji. Jaka jest ta funkcja ?
Przykład:
Przykład:
" Konstrukcja ulega awarii, jeżeli naprężenia
przekraczają wytrzymałość
( ale nie zawsze jest to prawdą ).
" Konstrukcja ulega awarii, jeżeli M > Wx fy
( chociaż nadal istnieje pewien zapas bezpieczeństwa ).
22
Definicja awarii
Awaria powinna być jasno zdefiniowana.
Przykład:
Rozważmy belkę stalową walcowaną na zimno,
swobodnie podpartą
przegub plastyczny
" Belka ulegnie awarii, gdy strzałka ugięcia przekroczy
wartość krytyczną �krytyczne
23
Definicja awarii
" Belka stalowa może ulec awarii na skutek powstania
przegubu plastycznego, globalnej utraty stateczności
lub lokalnego wyboczenia.
�max
Mkrytyczny
naprężenia
�max
odkształcenia
24
Stany graniczne
Rozpatruje się trzy stany graniczne
" stan graniczny nośności
" stan graniczny użytkowalności
" stan graniczny zmęczenia
25
Stany graniczne nośności
Odnoszą się do utraty przez konstrukcję zdolności
przenoszenia obciążeń
" przekroczenie maksymalnego momentu zginającego
" powstanie przegubu plastycznego
" powstanie przegubu plastycznego
" zgniecenie betonu ściskanego
" zniszczenie przy ścinaniu środnika belki stalowej
" globalna utrata stateczności
" wyboczenie środnika lub półki
" zerwanie spoiny
26
Stany graniczne użytkowalności
Odnoszą się do spełnienia przez konstrukcję jej funkcji
" zarysowanie betonu
" ugięcie
" drgania
" drgania
" trwałe odkształcenie
27
Stany graniczne użytkowalności
" Zarysowanie
pręt zbrojeniowy
Zarysowanie w belce żelbetowej.
Jakie zarysowanie jest dopuszczalne ?
Czy dopuszczalne jest zarysowanie o określonych rozmiarach ?
Długości ? Szerokości ?
28
Stany graniczne użytkowalności
" Ugięcia
" Przyjmowane ograniczenia są subiektywne,
zależne od ludzkiej percepcji.
" W przypadku budynków, widoczne ugięcia
są niedopuszczalne - nawet wtedy, gdy konstrukcja
są niedopuszczalne - nawet wtedy, gdy konstrukcja
jest bezpieczna pod względem wytrzymałościowym.
" W przypadku belek stropowych, za ugięcia dopuszczalne
przyjmuje się L/200, gdzie L - rozpiętość przęsła.
29
Stany graniczne użytkowalności
" Drgania
" Trudne do oceny ilościowej.
" W przypadku budynków, silne drgania
nie są tolerowane przez użytkowników.
" W przypadku mostów nie użytkowanych
" W przypadku mostów nie użytkowanych
przez pieszych, wstrząsy są tolerowane.
30
Stany graniczne użytkowalności
" Ważne pytania
" Jakie drgania i ugięcia są dopuszczalne ?
" Jak często stany graniczne użytkowalności
mogą być przekraczane ?
" Jak mierzyć drgania ?
" Jak mierzyć drgania ?
31
Stany graniczne użytkowalności
" Odkształcenia trwałe
" Kumulacja ugięć trwałych może doprowadzić
do problemów użytkowania
zagięcie
Powstanie zagięcia w ciągłej belce stalowej
32
Stany graniczne zmęczenia
" Odnoszą się do kumulacji zniszczenia
oraz ewentualnej awarii na skutek
powtarzających się obciążeń
" Elementy konstrukcyjne mogą ulec awarii
pod wpływem obciążeń niższych niż dopuszczalne
" Formułowanie stanu granicznego zniszczenia
dla konstrukcji stalowych i żelbetowych
" Kryteria dopuszczalności
" Praktyczne kryteria projektowania i oceny.
33
Funkcja stanu granicznego
" Wszystkie zrealizowane konstrukcje można zaliczyć
do jednej z dwóch kategorii:
" Bezpieczeństwo
( efekt obciążenia d" nośność )
" Awaria
" Awaria
( efekt obciążenia > nośność )
34
Funkcja stanu granicznego
" Stan konstrukcji można opisać za pomocą parametrów
X1, ..., Xn , gdzie Xi - parametry obciążenia i nośności.
" Funkcja stanu granicznego g( X1, ..., Xn ) jest funkcją
tych parametrów, taką że
" w przypadku bezpieczeństwa g(X1,KXn)e" 0
g(X , X )e" 0
" w przypadku awarii
g(X1,KXn)< 0
" Każda taka funkcja związana jest z danym
stanem granicznym.
35
Przykład funkcji stanu granicznego
" Niech Q = całkowity efekt obciążenia, R = nośność.
Wtedy, funkcję stanu granicznego można zdefiniować jako
g = R - Q
fQ, fR, fR-Q
R-Q
Q R
margines
margines
obciążenie nośność
obciążenie nośność
bezpieczeństwa
Prawdopodobieństwo
awarii
X
Funkcje gęstości prawdopodobieństwa
obciążenia Q, nośności R i marginesu bezpieczeństwa R-Q
36
Przypadek podstawowy
" Prawdopodobieństwo awarii
" Wobec funkcji stanu granicznego postaci g = R - Q
prawdopodobieństwo awarii Pf można określić
rozpatrując funkcje gęstości prawdopodobieństwa R i Q.
fQ, fR
fQ, fR
fQ fR
1-FQ(x)
X
dx
Funkcje gęstości prawdopodobieństwa obciążenia Q i nośności R
37
Przypadek podstawowy
Konstrukcja ulega awarii, gdy obciążenie Q przekracza nośność R,
wtedy prawdopodobieństwo awarii równe jest prawdopodobieństwu
tego, że Q > R i wynosi:
Pf =
"P(R = ri )" Q > ri) = "P(Q > R|R = ri)P(R = ri)
+" +"
P =
Pf =
Q
+"(1- F (r ))f (r )dr = 1- +"F (r )f (r )dr
+"(1- FQ(ri))fR(ri)dri = 1- +"F (ri)fR(ri)dri
-" -"
lub:
Pf =
"P(Q = qi )" R < qi) = "P(R < Q|Q = qi)P(Q = qi)
+"
Pf =
R
+"F (qi)fQ(qi)dqi
-"
Wzory te są zbyt trudne do stosowania.
38
Przypadek podstawowy
" Przestrzeń zmiennych opisujących stan konstrukcji
R
R > Q
obszar
bezpieczeństwa
R - Q = 0
granica awarii
granica awarii
( funkcja stanu granicznego )
R
R < Q
obszar
awarii
Q
Q
Obszar bezpieczeństwa i obszar awarii w 2-wymiarowej przestrzeni stanów
39
Przypadek podstawowy
" Przestrzeń zmiennych opisujących stan konstrukcji
fR,Q
R
R
Q
Q
R - Q = 0
granica awarii
( funkcja stanu granicznego )
3-wymiarowy szkic przykładowej łącznej funkcji prawdopodobieństwa fR,Q
40
Wskaz
nik niezawodności
" Definicja
" Wskaz
nik niezawodności oznacza się przez �.
Można go obliczyć następująco:
R - Q
� =
2 2
�R + �Q
�R + �Q
" Związek między wskaz
nikiem niezawodności
o prawdopodobieństwem awarii jest następujący:
� = -Ś-1(Pf )
lub
Pf = Ś(- �)
41
Wskaz
nik niezawodności
" Wskaz
nik niezawodności można także zdefiniować
dla przypadku przestrzeni n-wymiarowej.
" Rozważmy funkcję stanu granicznego
g(X1,X2,KXn)
gdzie Xi są zmiennymi losowymi nieskorelowanymi.
42
Wskaz
nik niezawodności
g(X1,...,Xn) = a0 + a1X1 + ... + anXn
" Jeżeli funkcja ta jest liniowa
n
a0 +
"a xi
i
i=1
� =
n
2
(ai�X )
"
i
i=1
" Jeżeli jest nieliniowa, rozwijamy ją w szereg Taylora wokół
wartości średnich zmiennych losowych i wtedy:
g(x1, x2,..., xn )
� =
2
�ł �ł
n
"g
�X �ł
"�ł "xi
i
�ł �ł
wartosci
�ł �ł
i=1
srednie
�ł łł
43
Wskaz
nik niezawodności
" Związek między wskaz
nikiem niezawodności �
a prawdopodobieństwem awarii Pf
Pf �
10-1 1,28
10-2 2,33
10-3 3,09
10-4 3,71
10-5 4,26
10-6 4,75
10-7 5,19
10-8 5,62
44
10-9 5,99
Wskaz
nik niezawodności
" Zdefiniowany wskaz
nik niezawodności nazywa się wskaz
nikiem
pierwszego rzędu, drugiego momentu, wartości średniej.
" pierwszego rzędu ponieważ występują w nim
wyrazy pierwszego rzędu
rozwinięcia w szereg Taylora
funkcji stanu granicznego
funkcji stanu granicznego
" drugiego momentu ponieważ występują w nim
jedynie wartość średnia i wariancja
(nie zależy od rodzaju rozkładu
zmiennych losowych)
" wartości średniej ponieważ rozwinięcie
w szereg Taylora następuje
45
wokół wartości średniej
Przykład
" Belka swobodnie podparta o długości 4 m,
poddana jest obciążeniom losowym: stałemu, zmiennemu
oraz wiatrem - równomiernie rozłożonym.
Wartość średnia maksymalnego momentu zginającego,
jaki przenosi belka = 180 kNm a współczynnik
M
zmienności vM = 15%.
zmienności vM = 15%.
Obliczyć prawdopodobieństwo awarii belki, zakładając,
że wszystkie zmienne losowe są nieskorelowane
i mają rozkłady normalne.
w
L
46
Przykład (c.d.)
" Obciążenia
obciążenie: x �x
--------------------------------------------------------
g - stałe 14 kN/m 1,4 kN/m
p - zmienne 22 kN/m 3,0 kN/m
w - wiatrem 8 kN/m 1,8 kN/m
" Nośność w tym przypadku równa jest zdolności
przeniesienia momentu zginającego
= 180 kNm
R = M
vR = vM = 0,15
R
�R = vR = (180)(0,15) = 27 kNm
47
Przykład (c.d.)
" Funkcja stanu granicznego jest następująca:
g = R -( )
Mg + Mp + Mw
gdzie Mg, Mp i Mw oznaczają odpowiednio momenty
zginające występujące w środku rozpiętości belki
wywołane obciążeniem stałym, zmiennym i wiatrem:
wywołane obciążeniem stałym, zmiennym i wiatrem:
w L2
gL2 pL2
L = 4m
Mg = Mp =
Mw =
8 8
8
g = R - 2(g + p + w)
czyli:
48
Przykład (c.d.)
" Ponieważ funkcja stanu granicznego jest liniowa
a zmienne mają rozkłady normalne i są nieskorelowane,
� obliczamy następująco:
n
a0 +
"a xi
i
i=1
� =
n
2
(ai�X )
"
"
i
i
i=1
=
0 +1(R)- 2(g + p + w)
=
2
2
(- ) (- )
�R + 2�g 2 + 2�p 2 + (- 2�w )
0 +1(180)- 2(14 + 22 + 8)
= = 3,28
2 2 2 2
(27) + ((- 2)(1,4)) + ((- 2)(3,0)) + ((- 2)(1,8))
stąd:
Pf = Ś(- �) = Ś(- 3,28) = 5,16�10-4
49
Przykład
" Rozważmy belkę żelbetową
d = 50 cm
As
b = 30 cm
Przekrój poprzeczny belki żelbetowej
50
Przykład (c.d.)
" Nośność przekroju ze względu na moment zginający:
Asfy ( )
Asfy 2
�ł �ł
�ł �ł
MR = Asfy�łd - 0,59 = Asfyd - 0,59
�ł
fc'b fc'b
�ł łł
" Funkcja stanu granicznego: g = MR-M
" Funkcja stanu granicznego: g = MR-M
( )
Asfy 2
g(As,fy,fc' ,Q)= Asfyd - 0,59 - M
fc'b
gdzie M oznacza moment zginający (efekt obciążenia).
Zmiennymi losowymi są M, fy, fc i As.
51
Przykład (c.d.)
Parametry rozkładów prawdopodobieństwa
i parametry projektowe są następujące
nominalna � v
x
-----------------------------------------------------------------------------------
As 26 cm3 25,5 cm3 0,5 cm3 0,019
fy 300,0 MPa 273,0 MPa 31,5 MPa 0,105
f 21 MPa 20,2 MPa 2,9 MPa 0,138
f c 21 MPa 20,2 MPa 2,9 MPa 0,138
M 235 kNm 247,0 kNm 28,2 kNm 0,120
-----------------------------------------------------------------------------------
" Wartości d i b są stałymi deterministycznymi.
" Obliczyć wskaz
nik niezawodności �.
52
Przykład (c.d.)
" Funkcja stanu granicznego jest nieliniowa.
Jej rozwinięcie w szereg Taylora wokół wartości
średniej prowadzi do następującej funkcji liniowej:
�ł łł
(Asfy)2
g(As,fy,fc' , M) H" - Mśł
�łA fyd - 0,59
s
`
fcb
�ł śł
�ł �ł
"g "
(
+ ( - )""g +( - )"g
+ As - As ) +(fy - fy)"fg
As srednie
wartosci
wartosci
y
srednie
" "g
`
+(fc' - fc)"fg +(M - M)"M
'
wartosci
c
srednie
wartosci53
srednie
Przykład (c.d.)
" Aby obliczyć �, należy obliczyć wartość funkcji stanu granicznego
i jej pierwszych pochodnych cząstkowych dla wartości średnich
zmiennych losowych.
(Asf )2
y
g(As,fy,fc`, M) = Asfyd - 0,59 - M = 98kNm
fc`b
�ł łł
(2Asfy2)śł
"g
a1 = = fyd - 0,59 = 106171kN/m
�ł
'
"As wartosci fcb
"As srednie fcb
wartosci
�ł śł
�ł śł
wartosci
wartosci
�ł �ł
�ł �ł
srednie
�ł łł
(2fyA2)śł
"g
s
a2 = = = 920 �10-6 m3
�łAsd - 0,59
'
"fy wartosci �ł fcb
śł wartosci
�ł �ł
srednie
srednie
�ł
( )
Asfy 2 łł
"g
a3 = = 0,59 = 2713 �10-6 m3
�ł śł
' '
"fc srednie (fc )2b
wartosci
�ł śł
wartosci
�ł �ł
srednie
"g
a4 = = -1 =
wartosci -1
54
srednie
wartosci
"Q
srednie
Przykład (c.d.)
" Podstawiając do wzoru na �, otrzymujemy:
g(As,fy,fc`, M)
� =
2 2
2 2
((106171)(�A )) +((920�10-6)(�f )) +((2713�10-6)(�f )) + ((-1)(�M ))
'
s y
c
98,0
98,0
=
2 2 2
2
((106171)(0,52�10-4)) +((920�10-6)(31500)) +((2713�10-6)(2940)) + ((-1)(28,2))
98,0
= = 2,36
41,6
55
Wskaz
nik niezawodności
wyznaczony na podstawie wartości średniej,
pierwszego rzędu, drugiego momentu
" Metoda ta oparta jest na założeniu, że wszystkie zmienne
losowe mają rozkład normalny
Zalety
" Metoda jest łatwa w użyciu
" Nie wymaga znajomości rozkładów zmiennych losowych
" Nie wymaga znajomości rozkładów zmiennych losowych
Wady
" daje niedokładne wyniki, szczególnie w przypadku, gdy
 końce dystrybuant odbiegają od rozkładu normalnego
" duży problem: wartość � zależy od przyjętej postaci
funkcji stanu granicznego.
56
Wskaz
nik niezawodności
wyznaczony na podstawie wartości średniej,
pierwszego rzędu, drugiego momentu
aproksymujący aproksymujący
rozkład rozkład
normalny normalny
FQ
FR
Q R
R, Q
�Q �R
57
arkusz probabilistyczny rozkładu normalnego
Wskaz
nik niezawodności
wyznaczony na podstawie wartości średniej,
pierwszego rzędu, drugiego momentu
" Obliczenie takiego wskaz
nika niezawodności, �,
zależy od sformułowania zadania
zależy od sformułowania zadania
(postaci funkcji stanu granicznego)
58
Przykład
" Rozważmy belkę stalową o krępym przekroju,
o wskaz
niku zginania przekroju W i granicy plastyczności fy.
W zadaniu występują 4 zmienne losowe: P, L, W, fy.
Przyjęto, że są nieskorelowane.
L
59
Przykład (c.d.)
Wektor wartości średnich i macierz kowariancji są następujące:
ńł �ł
P 10 kN
ńł �ł
�ł �ł
�ł �ł
L
8 m
�ł �ł �ł �ł
{x}= =
�łWżł �ł100�10-4 m3 żł
�ł �ł �ł �ł
�łfy �ł �ł600�103 kPa�ł
y ół �ł
ół �ł
ół �ł
ół �ł
�ł łł
4 kN2 0 0 0
�ł śł
0 10�10-3m2 0 0
2
�ł śł
[�x]=
�ł śł
0 0 400�10-12 m6 0
�ł śł
2
0 0 0 10�109(kN / m2)
�ł śł
�ł �ł
60
Przykład (c.d.)
" Najpierw, rozważmy funkcję stanu granicznego,
wyrażoną za pomocą momentów zginających.
PL
( )
g1 W,fy, P, L = Wfy -
4
" Jak pamiętamy, funkcja stanu granicznego służy do definiowania
granicy pomiędzy obszarami bezpiecznym i niebezpiecznym,
i granica ta odpowiada g = 0. Jeżeli funkcję g1 podzielimy
i granica ta odpowiada g = 0. Jeżeli funkcję g podzielimy
przez wielkość dodatnią (n.p. przez W), nie zmienimy granicy
pomiędzy obszarami, w których jest ona dodatnia lub ujemna.
Zatem alternatywna postać funkcji stanu granicznego
(wyrażona w jednostkach naprężeń) może być następująca:
( )
g1 W,fy, P, L
PL
( )
g2 W,fy,P,L = fy - =
4W W
61
Przykład (c.d.)
" Skoro obie funkcje spełniają warunki funkcji stanu granicznego,
obie są właściwe. Obliczmy teraz � odpowiadający obydwu funkcjom
" Ponieważ funkcja g1 jest nieliniowa, należy ją zlinearyzować
rozwijając ją w szereg wokół wartości średnich.
�ł PL łł L P
g1 H" + fy(W - W)+ W(fy - fy)- (P - P)- (L - L)
y
�łWf - 4 śł
4 4
�ł �ł
� = 2,48
� = 2,48
" Ponieważ funkcja g2 także jest nieliniowa, należy ją zlinearyzować
rozwijając ją w szereg wokół wartości średnich.
�ł PL łł PL L P
g2 H" - + (W - W)+ (1)(fy - fy)- (P - P)- (L - L)
y
�łf 4W śł 2
4W 4W
4(W)
�ł �ł
� = 3,48
62
Przykład (c.d.)
" Przykład ten wyraz
nie obrazuje problem zależności
wskaz
nika niezawodności od postaci funkcji stanu
granicznego.
" W przykładzie, obie funkcje stanu granicznego opisują ten
sam stan graniczny.
" Prawdopodobieństwo awarii obliczone na podstawie tych
funkcji (wyrażone za pomocą wskaz
ników niezawodności)
powinno być zatem jednakowe.
" Dlatego Hasofer i Lind wprowadzili nową definicję
wskaz
nika niezawodności, która nie zależy od postaci
funkcji stanu granicznego
63
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
" Rozważmy funkcję stanu granicznego
g(X1,..., Xn)
w której zmienne losowe Xi są nieskorelowane.
" Funkcję stanu granicznego można przedstawić
używając standaryzowanej postaci zmiennych
losowych (zmiennych zredukowanych)
losowych (zmiennych zredukowanych)
Xi - xi
Xi = xi + Zi�X
Zi = oraz
i
�X
i
" Zastępując X1, & , Xn standaryzowanymi zmiennymi
Z1, & , Zn, otrzymujemy nową funkcję stanu granicznego
g (Z1,..., Zn)
64
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
" Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
definiuje się jako najkrótsza odległość od początku
układu przestrzeni zmiennych losowych zredukowanych
do granicy opisanej równaniem stanu granicznego g = 0
" Praktycznie znaczy to, że � jest nakrótszą odległością
od (0,& , 0) do n-wymiarowej powierzchni
g (Z1,..., Zn) = 0
" Najbliższy punkt położony na g (Z1,..., Zn) = 0 nazywany
jest punktem projektowym, oznaczamy go (Z1*,..., Zn*)
n
2
*
� = (Zi )
"
i=1
65
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
" Jeśli funkcja stanu granicznego jest liniowa,
n
g = a0 +
"a Xi
i
i=1
wskaz
nik niezawodności oblicza się następująco:
n
a0 +
"a xi
i
i=1
� =
n
2
(ai�X )
"
i
i=1
66
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
fR,Q
R
r*
r*
R
R
Q ( R, Q )
q*
( r*, q* )
R - Q = 0
Q
Punkt projektowy dla liniowej funkcji stanu granicznego g = R - Q
67
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
" Jeśli funkcja stanu granicznego jest nieliniowa, wtedy
należy znalez
ć punkt (Z1*,..., Zn*) w przestrzeni
zmiennych losowych zredukowanych, który spełnia
równanie stanu granicznego, najbliższego (0, & , 0),
g (Z1*,..., Zn*) = 0
g (Z1*,..., Zn*) = 0
n
2
*
� = min (Zi )
"
i=1
" Obliczenia można przeprowadzić metodą iteracyjną.
68
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
Z2
punkt projektowy
z2*
g ( Z1,... Zn ) = 0 �
Z1
z1*
69
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
Z2
g ( Z1,... Zn ) =0
*
z
z1*
Z1
�
z2*
70
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
* *
g'(z1,K,zn)= 0
Procedura iteracyjna polega na
rozwiązaniu układu (2n+1) równań
*
z (2n+1) niewiadomymi:
zi = �ąi
�, ą1, ą2, ..., ąn, z1*, z2*, ..., zn*
n
2
) = 1
"(ąi
i=1
i=1
"g'
-
"Zi punkt
projektowy
ąi =
2
"g' "g "Xi "g
�ł �ł
n
= = �X
"g'
�ł
i
"Zi "Xi "Zi "Xi
"�ł "Zi
�ł �ł
punkt
�ł �ł
i=1
projektowy
�ł łł
71
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
Dwie alternatywne procedury iteracyjne:
" Rozwiązywanie układu równań
" Procedura macierzowa.
" Procedura macierzowa.
72
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
Układ równań:
1. Sformułuj funkcję stanu granicznego
i określ odpowiednie parametry rozkładów
występujących w niej zmiennych losowych Xi.
2. Wyraz
funkcję stanu granicznego za pomocą
2. Wyraz
funkcję stanu granicznego za pomocą
zmiennych losowych zredukowanych Zi.
3. Wyraz
funkcję stanu granicznego za pomocą � i ąi:
4. Oblicz n wartości ąi wyrażając każde z nich
jako funkcję wszystkich ąi oraz �.
73
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
5. Rozpocznij cykl obliczeń:
przyjmij wartości liczbowe � i wszystkich ąi.
6. Podstaw je do prawych stron równań
sformułowanych w kroku 3 i 4.
sformułowanych w kroku 3 i 4.
7. Rozwiąż układ n+1 równań otrzymanych
w kroku 6 ze względu na � i ąi.
8. Wróć do kroku 6. Powtarzaj iteracje,
aż do uzyskania zbieżności � i ąi.
74
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
Procedura macierzowa:
1. Sformułuj funkcję stanu granicznego
i określ odpowiednie parametry rozkładów
występujących w niej zmiennych losowych Xi
2. Znajdz
początkowy punkt projektowy {xi*} przyjmując
wartości początkowe dla n-1 zmiennych Xi.
(Często, dobrze jest przyjąć wartości średnie.)
Rozwiąż równanie stanu granicznego g = 0
Rozwiąż równanie stanu granicznego g = 0
względem pozostałej zmiennej losowej.
Dzięki temu punkt początkowy będzie należał
do granicy obszaru awarii.
3. Oblicz wartości zmiennych zredukowanych {zi*}
odpowiadających punktowi projektowemu
x* - xi
i
z* =
i
�X
75
i
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
4. Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji stanu granicznego
względem zmiennych losowych zredukowanych.
Dla wygody zdefiniuj wektor kolumnowy {G}
- wektor tych pochodnych ze znakiem  -
G1
ńł �ł
�łG �ł
"g'
�ł �ł
2
gdzie
Gi = -
{G}=
�ł żł
�ł żł
"Z punkt
"Zi punkt
M
M
�ł �ł
�ł �ł
projektowy
�łGn �ł
ół �ł
5. Oblicz przybliżenie � stosując poniższy wzór:
*
ńł �ł
z1
�ł �ł
T
z*
{G} {z*}
�ł �ł
2
� = gdzie {z*}=
�ł żł
T
M
{G} {G}
�ł �ł
*
�łzn �ł
ół �ł
76
Wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda
6. Oblicz wektor kolumnowy współczynników wrażliwości:
{G}
{ą}=
T
{G} {G}
7. Wyznacz nowy punkt projektowy w przestrzeni zmiennych
losowych zredukowanych dla n-1 zmiennych
*
zi = �ąi
zi = �ąi
8. Określ odpowiadający mu punkt projektowy we współrzędnych
początkowych dla n-1 zmiennych z kroku 7
x* = xi + z*�X
i i
i
9. Oblicz wartość pozostałej zmiennej losowej ( t.j. nie określonej
w krokach 7 i 8 ) rozwiązując równanie stanu granicznego g = 0
10. Powtarzaj kroki 3 � 9 aż do uzyskania zbieżności �
77
oraz współrzędnych punktu projektowego {xi*}.
Przykład
" Oblicz wskaz
nik niezawodności Hasofera-Linda, �
dla belki ciągłej 3-przęsłowej.
78
Przykład (c.d.)
" Zmiennymi losowymi są:
obciążenie ciągłe (w),
rozpiętość poszczególnych przęseł (L),
moduł sprężystości podłużnej (E),
moment bezwładności przekroju (I).
Rozważamy stan graniczny ugięcia,
przyjmując wartość ugięcia dopuszczalnego L/360.
Ugięcie maksymalne wynosi 0,0069 wL4/EI
Ugięcie maksymalne wynosi 0,0069 wL /EI
i występuje w odległości 0,446 L od końca belki (AISC, 1986).
Funkcja stanu granicznego jest następująca:
L wL4
g(w,L,E,I) = - 0,0069
360 EI
79
Przykład (c.d.)
" Wartości średnie i odchylenia standardowe zmiennych losowych:
zmienna wartość średnia odchylenie standardowe
xi
Xi �xi
w 10 kN/m 0,4 kN/m
w 10 kN/m 0,4 kN/m
L 5 m H" 0
E 2�107 kN/m2 0,5�107 kN/m2
I 6�10-4 m4 1,5�10-4 m4
80
Przykład (c.d.)
" Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy:
5
4
g = 0 �! EI - 0,0069(5) w = 0 �! EI - 310,5 w = 0
360
" Wprowadzamy zmienne losowe zredukowane
w - w
-
I - I E - E
- -
Z3 =
Z1 = Z2 =
�w
�I �E
w = w + Z3�w
E = E + Z2�E
I = I + Z1�I
81
Przykład (c.d.)
" Podstawiamy je do funkcji stanu granicznego, g:
(E + Z2�E)(I + Z1�I)- 310,5(w + Z3�w )= 0
(2�107 + Z2(0,5�107))(8�10-4 + Z1(1,5�10-4))- 310,5(10 + Z3(0,4)) =
3000 Z1 + 4000 Z2 + 750 Z1Z2 -124,2Z3 +12895 = 0
1 2 1 2 3
" Wyrażamy g jako funkcję � i ąi :
*
zi = �ąi
Ó!
3000�ą1 + 4000�ą2 + 750�2ą1ą2 -124,2�ą3 +12895 = 0
82
Przykład (c.d.)
" Obliczamy wartości � i ąi :
-12895
� =
3000 ą1 + 4000 ą2 + 750ą1ą2 -124,2�ą3
- (3000 + 750�ą2)
ą1 =
2 2 2
(3000 + 750�ą ) + (4000 + 750�ą ) + (-124,2)
(3000 + 750�ą2) + (4000 + 750�ą1) + (-124,2)
- (4000 + 750�ą1)
ą2 =
2 2 2
(3000 + 750�ą2) + (4000 + 750�ą1) + (-124,2)
- (-124,2)
ą2 =
2 2 2
(3000 + 750�ą2) + (4000 + 750�ą1) + (-124,2)
83
Przykład (c.d.)
" Rozpoczynamy iteracje zgadując wartości �, ą1, ą2, ą3,
na przykład:
ą1 = ą2 = - 0,333 = -0,58
ą3 = 0,333 = 0,58
� = 3
84
Przykład (c.d.)
" Wyniki iteracji zestawiono poniżej. Zauważmy, że między iteracjami
5 i 6 zmiany wartości są niewielkie, co oznacza zbieżność wyniku.
Zbieżność ta jest szybsza, jeżeli przyjmie się właściwe znaki ąi
( + dla obciążeń, - dla nośności ).
wartości iteracje
początkowe
1 2 3 4 5 6
� 3 3.664 3.429 3.213 3.175 3.173 3.173
� 3 3.664 3.429 3.213 3.175 3.173 3.173
ą1 -0.58 -0.532 -0.257 -0.153 -0.168 -0.179 -0.182
ą2 -0.58 -0.846 -0.965 -0.988 -0.985 -0.983 -0.983
ą3 +0.58 0.039 0.047 0.037 0.034 0.034 0.034
Zatem, obliczany wskaz
nik niezawodności wynosi w przybliżeniu 3,17
85
Procedura obliczania �
według Rackwitza-Fiesslera
" Współczynnik niezawodności Hasofera-Linda jest
zdefiniowany dla przypadku, kiedy nie znamy
rozkładów zmiennych losowych
" Jeśli rozkłady są znane, wtedy obliczamy �
metodą Rackwitza-Fiesslera
metodą Rackwitza-Fiesslera
" Analiza niezawodności prowadzi do wyznaczenia
wskaz
nika niezawodności, �, oraz znalezienia
współrzędnych punktu projektowego {z1*, z2*, ... , zn*}
86
Procedura obliczania �
według Rackwitz-Fiessler
" Rozkłady inne niż normalne są zastąpione normalnymi
tak, że dystrybuanta i funkcja gęstości mają tę samą
wartość dla prawdziwych i zastępczych rozkładów
w punkcie projektowym.
" Wymagana jest znajomość rozkładów zmiennych
" Wymagana jest znajomość rozkładów zmiennych
losowych występujących w funkcji stanu granicznego.
87
Iteracyjna Procedura Rackwitza-Fiesslera
1. Przygotuj dane:
" funkcja stanu granicznego g = g(X1, & , Xn)
" dystrybuanty dla wszystkich zmiennych F1, & , Fn
" funkcje gęstości dla wszystkich zmiennych f1, & , fn
2. Wprowadz
(zgadnij) współrzędne punktu projektowego,
X1*, & Xn* (jako pierwsze przybliżenie, można przyjąć wartości średnie)
3. Oblicz parametry zastępczych rozkładów normalnych
3. Oblicz parametry zastępczych rozkładów normalnych
F1 , & , Fn , oraz f1 , & , fn , tak że
F1 (X1*) = F1(X1*), & , Fn (Xn*) = Fn(Xn*), oraz
f1 (X1*) = f1(X1*), & , fn (Xn*) = fn(Xn*),
4. Oblicz �
5. Oblicz współrzędne następnego punktu projektowego
88
6. Wprowadz
obliczone współrzędne do (3).
Obliczanie parametrów zastępczych rozkładów normalnych
Dla każdej zmiennej losowej X, mamy dwa równania
i dwie niewiadome (� i �):
�ł �ł
x* - xe �ł
1
�ł �ł
x* - xe �ł
fX(x*)= Ć�ł
FX(x*)= Ś�ł
e e
e
�ł �X �ł �X �ł
�X �ł
�ł łł
�ł łł
Stąd, odchylenie standardowe zastępczego rozkładu normalnego
1
e
�X = Ć(Ś-1(FX (x*)))
fX (x*)
oraz wartość średnia zastępczego rozkładu normalnego
e
xe = x* - �X [Ś-1(FX (x*))]
89
Obliczenie współrzędnych następnego punktu projektowego
dla zastępczych rozkładów normalnych
T
{G} {z*}
e
� =
gdzie:
x* = xe + �ąi�X
T
i
i i
{G} {G}
{G}
{ą}=
T
{G} {G}
Jeżeli: g(X1,...,Xn) = a0 + a1X1+...+anXn
Jeżeli: g(X1,...,Xn) = a0 + a1X1+...+anXn
2
e
g(xe,..., xe )
ai(�X ) �
1 n
i
� =
gdzie:
x* = xe -
i
n
i
2
2
2 e
e
(ai�X )
(ai�X )
"
i
"
i
i=1
i=1
Kolejne iteracje prowadzi się, aż � przestanie ulegać
90
zmianom (zwykle, gdy zmieniać się będzie o +/- 0,01)
Rackwitz-Fiessler  dla dwóch zmiennych
1. Przygotuj dane:
1. funkcja stanu granicznego g = R - Q
2. dystrybuanty FR i FQ
3. funkcje gęstości fR i fQ
2. Wprowadz
(zgadnij) współrzędne punktu projektowego,
R* = Q* (pierwsze przybliżenie)
3. Oblicz parametry zastępczych rozkładów normalnych
3. Oblicz parametry zastępczych rozkładów normalnych
FR i FQ , oraz fR i fQ , tak że
FR (R*) = FR(R*)
FQ (Q*) = FQ(Q*)
fR (R*) = fR(R*)
fQ (Q*) = fQ(Q*),
91
Obliczanie parametrów zastępczych rozkładów normalnych
1
e
�R = Ć(Ś-1(FR (R*)))
fR (R*)
e
[
Re = R* -� Ś-1(FR (R*))]
R
1
e
�Q = Ć(Ś-1(FQ (Q*)))
fQ (Q*)
e
Qe = Q* -�Q [Ś-1(FQ(Q*))]
92
Obliczenie wskaz
nika niezawodności, �, dla zastępczych
rozkładów normalnych
Re - Qe
� =
2 2
e e
(�R) +(�Q)
Obliczenie współrzędnych następnego punktu projektowego
2
e
(�R) �
R* = Re -
2 2
e e
(�R) +(�Q)
2
e
(�Q) �
Q* = Qe +
2 2
e e
(�R) +(�Q)
93
Metoda Rackwitza-Fiesslera
procedura graficzna
styczna do FQ w q*
FQ
FRe FR
FQe
e
R
e
Q
q* = r*
R, Q
�Qe �Re
styczna do FR w r*
94
Ilustracja graficzna procedury Rackwitza-Fiesslera
Metoda Rackwitza-Fiesslera
procedura graficzna
" Może być stosowana, gdy dystrybuanty zmiennych losowych są dowolne
- wykreślone na arkuszu probabilistycznym.
" Każda zmienna losowa, o innym rozkładzie niż normalny, aproksymowana
jest rozkładem normalnym, reprezentowanym na arkuszu probabilistycznym
przez linię prostą.
" Wartość dystrybuanty aproksymującej rozkład normalny równa jest
" Wartość dystrybuanty aproksymującej rozkład normalny równa jest
wartości dystrybuanty rozkładu rzeczywistego w punkcie projektowym.
" Zatem, na arkuszu probabilistycznym, linia prosta przecina oryginalną
dystrybuantę w punkcie projektowym.
" Skoro funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest styczna do dystrybuanty
(jako jej pierwsza pochodna), to linia prosta (aproksymująca) jest styczna
do oryginalnej dystrybuanty w punkcie projektowym.
" Parametry aproksymującego rozkładu normalnego (wartość średnia
i odchylenie standardowe) mogą być odczytane bezpośrednio z wykresu.
95
Przykład
" Przykład zastosowania procedury graficznej
do wyznaczenia wskaz
nika niezawodności
dla funkcji stanu granicznego:
g(R, Q) = R - Q
R - zmienna reprezentująca nośność
R - zmienna reprezentująca nośność
Q - zmienna reprezentująca efekt obciążenia
Dystrybuantę zmiennych R i Q wykreślono
na arkuszu probabilistycznym rozkładu normalnego.
96
nowy punkt
projektowy
97
Ilustracja graficzna zadania
Przykład (c.d.)
Podstawowe kroki procedury graficznej
1. Przyjmij wartość początkową
współrzędnej punktu projektowego
na przykład r* = 50 MPa.
Zaznacz na wykresach FQ i FR
punkty A i B.
2. Poprowadz
w punktach A i B
styczne do FQ i FR.
3. Odczytaj bezpośrednio z rysunku:
e
Re = 56 MPa
�R = 3,5 MPa
e
Qe = 14 MPa �Q = 14,5 MPa
98
Przykład (c.d.)
4. Oblicz �.
Re - Qe
� =
2 2
e e
(�R) +(�Q)
56 -14
= = 2,82
2 2
(3,5) + (14,6)
5. Wyznacz nowy punkt projektowy.
2
e
(�R) �
r* = Re -
2 2
e e
(�R) +(�Q)
2
(3,5) (2,82)
= 56 - = 53,7 MPa
2 2
(3,5) + (14,6)
Z równania g = 0 wynika q* = r* 99
Przykład (c.d.)
6. Wykreśl styczne do FQ i FR
w punktach C i D odpowiadających
nowemu punktowi projektowemu.
7. Odczytaj bezpośrednio z rysunku:
e
Re = 61 MPa
�R = 6,5 MPa
e
Qe = 11,5 MPa �Q = 15,5 MPa
8. Oblicz nowy � i współrzędne
nowego punktu projektowego.
� = 2,94
r* = q* = 53,6MPa
9. Powtarzaj iteracje, aż do uzyskania
zbieżności wyników.
100
Procedura Rackwitza-Fiesslera
Procedura macierzowa z modyfikacją Rackwitza-Fiesslera:
1. Sformułuj funkcję stanu granicznego. Dla poszczególnych
zmiennych losowych Xi określ rozkłady prawdopodobieństwa
i odpowiednie ich parametry.
2. Przyjmij n-1 wartości początkowych zmiennych losowych Xi
uzyskując początkowy punkt projektowy {xi*} (n.p. wybierając
wartości średnie). Rozwiąż równanie stanu granicznego
wartości średnie). Rozwiąż równanie stanu granicznego
g = 0 względem brakującej zmiennej, dzięki czemu
punkt ten będzie leżał na granicy awarii.
3. Dla każdej wartości xi* odpowiadającej rozkładowi innemu
niż normalny wyznacz wartość średnią i odchylenie standardowe
zastępczego rozkładu normalnego. Jeżeli jedna lub więcej wartości xi*
odpowiada rozkładowi normalnemu, jako parametry
zastępczego rozkładu normalnego przyjmij parametry rzeczywiste.
101
Przykład
" Zmodyfikowana procedura macierzowa zostanie zademonstrowana
na przykładzie prostego przypadku dwóch zmiennych nieskorelowanych.
Niech R oznacza nośność a Q - efekt obciążenia.
Funkcja stanu granicznego jest następująca:
g(R, Q) = R - Q
R
R - rozkład logarytmiczno-normalny = 200 i �R = 20
Q
Q
Q - rozkład ekstremalny typu I = 100 i �Q = 12
Q - rozkład ekstremalny typu I = 100 i � = 12
Obliczyć �.
102
Przykład (c.d.)
1. Sformułuj funkcję stanu granicznego.
Określ rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych. Zrobione.
2. Punkt początkowy, przyjęty arbitralnie: r* = 150
Z równania stanu granicznego g = 0 wynika, że: q* = 150
3. Określ parametry zastępczego rozkładu normalnego dla
R - rozkład logarytmiczno-normalny
2
�ł
�ł
�2 �ł
�R �ł
2
�ł �ł
�ł
�ln R = ln�ł1+ = 9,95�10-3 �! �ln R = 0,0998
�ł
R2 �ł
�ł łł
2
Rln R = ln(R)- 0,5�ln R = 5,29
Re = r*(1- ln(r*)+ Rln R)= (150)(1- ln(150)+ 5,29)=192
e
103
�R = r *�ln R = (150)(0,0998)=15,0
Przykład (c.d.)
3. Określ parametry zastępczego rozkładu normalnego dla
Q - rozkład ekstremalny
FQ(q) = exp[- exp(- a(q - u))]
fQ(q) = a{exp(- a(q - u))}exp[- exp(- a(q - u))]
a, u - parametry rozkładu związane z wartością średnią
i odchyleniem standardowym zmiennej Q oblicz następująco:
2
Ą
0,5772
a =
u = Q -
2
6�Q
a
Podstawiając wartości �Q i �Q, otrzymujemy: a = 0,107 u = 94,6
FQ(q*)= 0,997
fQ(q*)= 2,86 �10-4
104
Przykład (c.d.)
1 1
e
�Q = Ć(Ś-1(FQ (q*)))= Ć(Ś-1(0,997))= 28,9
fQ (Q*) 2,86�10-4
e
Qe = q* - �q [Ś-1(FQ (q*))]= 69,5
4. Określ wartości zmiennych zredukowanych
z1* - wartość zredukowana dla r*
z2* - wartość zredukowana dla q*
q* - Q*
r* - R*
*
z* = = 2,78
z1 = = -2,83
2
*
*
�Q
�R
105
Przykład (c.d.)
5. Wyznacz wektor {G}:
"g' "g
e e
G1 = - = - �R = -1�R
"Z1 {zi *} "R
r*,q*
"g' "g
e e
G2 = - = - �Q = +1�Q
"Z2 {zi *} "Q
2
r*,q*
r*,q*
{zi *}
6. Oblicz przybliżenie �:
T
{G} {z*}
� = = 3,78
T
{G} {G}
106
Przykład (c.d.)
7. Wyznacz wektor {ą}:
- 0,460
ńł �ł
{G}
{ą}= =
�ł żł
T
0,888
ół �ł
{G} {G}
8. Określ nowe wartości zi* dla n-1 zmiennych losowych:
*
z1 = �ą1 = (3,78)(- 0,460) = -1,74
z1 = �ą1 = (3,78)(- 0,460) = -1,74
9. Określ r* na podstawie nowego z1*:
* e
r* = Re + z1�R =166
10. Określ q* rozwiązując równanie stanu granicznego g = 0.
q* = r* = 166
107
Przykład (c.d.)
11. Powtarzaj kroki iteracji aż do uzyskania zbieżności wskaz
nika �
oraz współrzędnych punktu projektowego r* i q*.
iteracje
1 2 3
r 150 166 168
r* 150 166 168
q* 150 166 168
� 3.78 3.76 3.76
r* 166 168 168
q* 166 168 168
108
Procedura Rackwitza-Fiesslera
zmienne losowe skorelowane
" Dotychczas rozważaliśmy funkcje stanów granicznych,
w których zmienne losowe były nieskorelowane.
" Jednak, w wielu praktycznych zastosowaniach,
niektóre zmienne losowe mogą być skorelowane
niektóre zmienne losowe mogą być skorelowane
i korelacja ta może mieć poważny wpływ
na wartość obliczonego wskaz
nika niezawodności.
" Problem zmiennych losowych skorelowanych,
można rozwiązać dwojako:
109
Procedura Rackwitza-Fiesslera
zmienne losowe skorelowane
1. Zastosować transformacje współrzędnych.
Może być kłopotliwe w połączeniu z iteracją Rackwitza-Fiesslera,
wykorzystującą parametry zastępczych rozkładów normalnych.
2. Zmodyfikować procedurę macierzową wprowadzając
macierz korelacji [�] - macierz współczynników korelacji
zmiennych losowych równania stanu granicznego.
zmiennych losowych równania stanu granicznego.
Zmodyfikowane wzory przyjmują postać:
T T
{G} {z*} {G} {z*}
staje się:
� = � =
T T
{G} {G} {G} [�]{G}
{G} [�]{G}
staje się:
{ą}= {ą}=
T T
{G} {G} {G} [�]{G}
110
Przykład
" Oblicz wskaz
nik niezawodności � dla funkcji stanu granicznego:
g(X1,X2) = 3X1 - 2X2
�X = 2,45
x = 16,6
1
1
x = 18,8 �X = 2,85
2 2
Cov(X1,X2) = 2,0
Ponieważ brak informacji o rozkładach zmiennych losowych X1 i X2,
przyjmujemy, że są one normalne.
111
Przykład (c.d.)
1. Sformułuj funkcję stanu granicznego.
Określ rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych. Zrobione.
2. Przyjmij początkowy punkt projektowy. Przyjmujemy: X1* = 17.
Z równania g = 0 wynika, że: X2* = 25,5
3. Określanie parametrów zastępczych rozkładów normalnych nie jest
potrzebne, ponieważ obie zmienne mają rozkłady normalne.
4. Oblicz wartości współrzędnych zredukowanych punktu projektowego.
*
z1 = 0,163 z* = 2,37
2
5. Określ wektor {G}
"g' "g
G1 = - = - �X = -3�X
1 1
"Z1 {zi *} "X1 {xi *}
"g' "g
G2 = - = - �X = 2�X
1 1
"Z2 {zi *} "X2 {xi *}
112
Przykład (c.d.)
6. Oblicz przybliżenie wskaz
nika niezawodności �
1
�ł łł
(
1 Cov X1, X2 )
�ł łł
1
�ł
[�]= =
(2,48)(2,83)śł = �ł 1 0,288łł
�łCov X1, X2 śł
�ł0,288 1 śł
( ) 1
�ł śł
�ł �ł
�ł �ł
(2,48)(2,83) 1
�ł �ł
T
T
{G} {z*}
{G} {z*}
� = = 1,55
T
{G} [�]{G}
7. Określ wektor {ą}
- 0,726
ńł �ł
[�]{G}
{ą}= =
�ł żł
T
0,449
ół �ł
{G} [�]{G}
113
Przykład (c.d.)
8. Określ nowe wartości zi* dla n-1 zmiennych losowych:
*
z1 = �ą1 = (- 0,726)(1,55) = -1,3
9. Określ x1* na podstawie nowego z1*:
*
x* = x + z*� = 13,8
x1 = x + z*�X = 13,8
i
1 1
10. Oblicz x2* rozwiązując równanie stanu granicznego g = 0.
x* = 20,7
2
11. Powtarzaj iteracje, aż do uzyskania zbieżności wyników.
114
Przykład (c.d.)
Wyniki iteracji (poprawne rozwiązanie uzyskano po jednej iteracji).
iteracje
1 2
x1* 17 13.8
*
x 25.5 20.7
x2* 25.5 20.7
� 1.55 1.55
x1* 13.8 13.8
x2* 20.7 20.7
115