Ruch bryły sztywnej,
dynamika ruchu obrotowego
OPIS RUCHU BRYA
Y SZTYWNEJ
Bryłą sztywna nazywamy zbiór punktów materialnych (nieskończenie wielu),
których wzajemne położenie nie zmienia się pod wpływem działających sił.
N
Środek masy: ri mi
"
i=1
=
R
sm
N
-dla układu punktów materialnych
mi
"
i=1
n
ri
""mi
+"r dm
i=1
=
R
sm
=
R
sm
-dla bryły sztywnej mc
mc
Ruch postępowy:
n
Ruch bryły sztywnej można rozłożyć na: ruch postępowy
Masm = Fi = Fzewn .
"
środka masy i ruch obrotowy
i=1
Środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa
układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.
1
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||�)
�
�
�
Dla elementarnej masy "mi :
Li = ri �pi
- moment pędu:
Mi = ri �Fi
- moment siły:
d Li
Mi =
d t
vi = �ri sin�i = �rĄ" i
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||�)
�
�
�
Dla elementarnej masy "mi :
Li = ri �pi
- moment pędu:
Mi = ri �Fi
- moment siły:
d Li
Mi =
d t
Dla całej bryły - obrót wokół osi (zakładając L||�):
�
�
�
L = L|| = sin�i = pi sin�i = viri sin�i =
"Li "ri ""mi
i i i
vi = �rĄ" i
�ł �ł
2
= virĄ"i = (rĄ"i�)rĄ"i = �ł "mi �ł�
""mi ""mi "rĄ"i
i i �ł i łł
2
I = "mi
"rĄ"i
i
moment
L = ��
bezwładności:
2
I = d m
+"r
2
Ruch obrotowy ogólnie
ogólnie gdy:
L ||�
�ł �ł�ł �ł
Lx Ixx Ixy Ixz �x
�ł �ł
�ł �ł�ł �ł
�ł �ł
L = � � �! Ly �ł = Iyx I I �y �ł
�ł �ł�ł
�ł
yy yz
�ł �ł
Lz �ł Izx Izy Izz �ł�ł�z �ł
�ł łł
�ł łł�ł łł
Lx = Ixx�x + Ixy�y + Ixz�z
Ly = Iyx�x + Iyy�y + Iyz�z
Lz = Izx�x + Izy�y + Izz�z
Dla każdej bryły sztywnej można zdefiniować trzy prostopadłe osie, zwane głównymi
osiami bezwładności.
" Moment bezwładności ciała względem jednej z tych osi jest maksymalny, względem
drugiej jest minimalny, zaś względem trzeciej  ma wartość pośrednią: II e" III e" IIII,
" Jeśli ciało ma kształt symetryczny główne osie bezwładności są także osiami symetrii
ciała.
Ruch obrotowy wokół osi głównych
�
Transformujemy tensor do układu, którego osie współrzędnych (x ,y ,z ) są równoległe
do osi głównych bezwładności:
�ł �ł�ł �ł Lx' Ix'x' 0 0 �x'
Lx Ixx Ixy Ixz �x �ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł�ł �ł
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł �ł
Ly' = 0 I 0
L = �� �! = Iyx Iyy Iyz �y �ł
�ł �ł�ł �ł �ł �ł �ł�ł� �ł
�łL �ł y' y y'
y
�ł �ł �ł
�ł �ł
Lz' 0 0 Iz'z' �ł�ł�z' �ł
Lz �ł Izx Izy Izz �ł�ł�z �ł
�ł łł �ł łł�ł łł
�ł łł
�ł łł�ł łł
Lx' = Ix'x'�x'
Ly' = Iy'y'�y'
Lz' = Iz'z'�z'
Kiedy L jest równoległy do � ?
�
�
�
1) W ogólnym przypadku L nie jest równoległy
do �
�.
�
�
2) L jest równoległy do � wówczas, gdy osią
�
�
�
obrotu jest jedna z głównych osi
bezwładności (wtedy: gdzie I jest
L = ��
wartością skalarną).
3
Przykład: liczenie momentu bezwładności pręta o masie M i długości L.
Moment bezwładności elementu
o masie dm wynosi x2dm
mc
dm = dx
jeżeli pręt ma stałą gęstość:
L
L / 2
mc L / 2 mcL2
2
I = d mi = x2 d m = x2 d x =
"xi
+" +"
L 12
i
-L / 2 -L / 2
4
Przykładowe momenty bezwładności wokół osi głównych
Twierdzenie Steinera:
2
� = �S + mcd
5
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||� i M|| �
� �
� �)
� �
II zas. dynamiki Newtona dla
d L
M = ruchu obrotowego ogólnie
dt
spełniona
Jeśli:
oraz to:
L = �� M || �
d L d(I�) d �
M = = = I = I�
d t d t d t
M = I�
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
" przypadek szczególny, gdy wektor � jest równoległy do
�
�
�
jednej z osi głównych bezwładności (czyli L||�):
�
�
�
1 1 1 �ł �ł
2
Ek = vi2 = (rĄ"i�)2 = �ł rĄ"i �ł �2
""mi ""mi ""mi
2 2 2
i i �ł i łł
1
2
Ek = I�
2
6
Analogie ruchu obrotowego do ruchu postępowego - uzupełnienie
Ruch postępowy Ruch obrotowy
r, v, a, m �, �, �, I
�
�
�
p = mv L = r � p, L = ��
F M = r � F
dp dL
F = M =
dt dt
F = ma M = I�
1
Ek = mv2 1
Ek = I�2
2 2
przypadek szczególny, L||� oraz M||�
� �
� �
� �
PRZYKA
ADY RUCHU BRYA
Y SZTYWNEJ
Przykład (1):
Znajdz
przyspieszenie liniowe klocka o masie m, przyspieszenie kątowe
bloczka oraz naprężenie nici. Dane są masa bloczka M i jego promień R. (Wszelkie
opory i tarcie pomijamy).
1
Moment bezwładności bloczka wynosi MR2
2
M = RN = I�
Ruch obrotowy
wyp
II zasada
dynamiki
Fwyp = mg - N = ma
Ruch postępowy
Newtona
a
związek miedzy ruchem
� =
postępowym i obrotowym R
I� Ia
mg - = ma mg - = ma
R R2
mg 2m
I� mM
a = = g g 2m
N = = g
I � =
2m + M
m + R 2m + M
R 2m + M
R2
7
Przykład ruchu (3): Toczenie się (bez poślizgu) po równi pochyłej
 równania ruchu
a = �R
Toczenie bez poślizgu:
ruch postępowy
ruch obrotowy
a
mg sin� -T = ma
M = RT = ISM .� = ISM
R
a
T = ISM
R2
mg sin�
a =
m + ISM / R2
np. dla walca:
2
a = g sin�
3
Przykład ruchu (4): Toczenie się (bez poślizgu) po równi pochyłej
 zasada zachowania energii
Z zasady zachowania energii
ruch postępowy
ruch obrotowy
1 1
2
Ekp = mvSM Eko = ISM �2
2 2
1 1
2
mgh = mvSM + ISM�2
2 2
Toczenie bez poślizgu
v = �R
mgh
vSM = 2
m + ISM / R2 4
vSM = gh
np. dla walca
3
8
KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA MOMENTU P
DU I DRUGIEJ
ZASADY DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO
1. Przykład - stołek obrotowy
d L
M = = 0 �! L = const.
d t
L = �� = const.
�
�
�
2. Stała wymuszona oś obrotu
L `" const.
d L
M = `" const.
d t
Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)
Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą łożysk ustalimy w przestrzeni oś obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dążył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a łożyskami. Momenty sił reakcji łożysk spowodują precesję wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba łożysk ponieważ momenty sił są zerowe.
W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych, a tym samym zerowym siłom reakcji łożysk.
9
3. Precesja pod wpływem działającego momentu siły
Precesja bąka pod wpływem siły ciężkości
"L
M =
"t
M = r � mg
M = mgr sin�
"� "L 1 M mgr mgr
M = �pL sin�
�p = E" =
�p = =
"t Lsin� "t Lsin�
L I�
kolejka
Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej
Ziemia nie jest bąkiem swobodnym.
Niejednorodności pola grawitacyjnego w
którym się porusza (niezerowy moment sił
grawitacji) powodują precesję astronomiczną
wektora momentu pędu (w przybliżeniu
równoległą do osi obrotu Ziemi *). Okres
precesji wynosi ok. 26 000 lat.
Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia się w
czasie (wpływ Księżyca) co powoduje nutację.
10
Rower
Żyroskop
Jeśli żyroskop jest w równowadze przy L = 0 to
będzie także w równowadze dla L `" 0.
Jak zachowa się żyroskop gdy zwiększymy lub
zmniejszymy przeciwwagę?
Częstość precesji
(podobnie jak dla
bąka):
mgr mgr
�p = =
L I�
� = 90o
jest proporcjonalna do
odjętej/ dodanej masy m.
horyzont kompas
11
UZUPEA
NIENIE  WYJAŚNIENIE DEMONSTRACJI
Żyroskop - sztuczny horyzont.
12