Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie proste:

Jeżeli trójkąt jest trójkątem prostokątnym, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie długości kwadratów długości przyprostokątnych.

|BC| - przyprostokątna |AC| - przyprostokątna |AB| - przeciwprostokątna |CB|^2 + |AC|^2 = |AC|^2

Twierdzenie odwrotne:

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków pewnego trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym.

Inne sformułowanie twierdzenia prostego:

Suma pól powierzchni kwadratów o bokach równych długościom przyprostokątnych w trójk1cie prostokątnym jest równa polu powierzchni kwadratu o boku równym długości przeciwprostokątnej.

Symboliczny zapis: a^2 + b^2 = c^2 Gdzie: a, b - przyprostokątne, c - przeciwprostokątna.

Dowody na twierdzenie Pitagorasa:

Dowód Nassir-ed-Dina:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku oraz podane niżej: kąt przy A = 90°, BC = a, CA = b, AB = c. ∆GAL = ∆ABC ( ∆ AGL jest prosty, ∆CBA = ∆MAC = ∆MAC, AB=AG), LA=CB, GAL = ABC = CAM, zatem LAMK jest linią prostą. Otrzymujemy zatem figury o równych polach: DKMC = CALD´ = CAHI = b^2; oraz KEBM = ABE´L = ABTG = c^2; Ale DECB = CKMC + KEBM, a: DEBC = a^2; a^2 = b^2 + c^2.

Dowód Hoffmana:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku oraz podane niżej: Kąt przy A = 90°, BC = a, CA = b, AB = c. Przedłużamy odcinek CD do punktu N. Wówczas mamy figury o równych polach: PALN = CALD = CAHI = b^2, ABEL = ABFG = c^2 PBEN = CBED = a^2. Ale PBEN = PALN + ABEL, co oznacza, że a^2 = b^2 + c^2.

Dowód Tempelhoffa:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku oraz podane niżej: kąt A = 90°, BC = a, CA = b, AB = c. Zgodnie z rysunkiem zauważamy, że: ∆LDE = ∆ABC, ∆AGH = ∆ABC, LDCA = FBCI = ABEL i IHGF = ICBF, a więc ICBFGH = ACDLEB. Sześciokąty te mają wspólny trójkąt ABC oraz równe trójkąty AGH = LDE, a więc reszty tych wielokątów są równoważne, co oznacza CDEB = CAHI + ABFG, czyli BC^2 = AC^2 + AB^2, a więc ostatecznie: a^2 = b^2 + c^2

---