6. Obiekty regulacji

Układy automatycznej regulacji projektowane są dla realizacji zadania sterowania konkretnym procesem, charakteryzującym się określonymi właściwościami, a który musi przebiegać zgodnie z określonymi kryteriami, takimi jak dokładność statyczna, dokładność dynamiczna, oscylacyjność, przeregulowanie itp. Dla poprawnego zaprojektowania UAR konieczna jest dogłębna znajomość właściwości obiektu regulacji jak i poprawny wybór regulatora w tym układzie. Rodzajom obiektów regulacji i regulatorom poświęcony jest niniejszy rozdział.

6.1. Rodzaje obiektów regulacji

Pojęcie „obiekt regulacji” (obiekt sterowania) używane jest w dwojakim sensie. W przypadku gdy mówimy o właściwościach statycznych i dynamicznych, obiekt regulacji (sterowania) należy rozumieć jako jeden z członów (elementów) układu, mający wielkość wejściową i wyjściową, określony swym równaniem różniczkowym, transmitancją operatorową lub współrzędnymi stanu. Obiektem jest wówczas proces, którego przebieg podlega regulacji lub sterowaniu, np. proces zmiany poziomu wody w kotle, proces obróbki skrawaniem danego przedmiotu, proces zmiany temperatury w piecu, itd.

W drugim przypadku pojęcie obiektu ma sens aparaturowy. Oznacza ono wówczas aparaturę technologiczną, w której zachodzi proces regulowany lub sterowany, np. kocioł, obrabiarkę, piec. Dla uniknięcia nieporozumień i rozróżniania obu znaczeń, w tym drugim przypadku używane będzie pojęcie ”obiekt automatyzowany”.

Przy badaniu obiektu złożonego, w którym przebieg procesu technologicznego określa wiele wielkości fizycznych, należy wyznaczyć właściwości dynamiczne obiektu dla każdej z tych wielkości oddzielnie. W ten sposób rozpatrujemy obiekt złożony jako zespół odpowiedniej ilości obiektów prostych, których przebiegi przejściowe są wzajemnie niezależne. Zakładamy przy tym, że mamy do czynienia z takimi aparatami i procesami, w których związki wzajemne pomiędzy wielkościami wyjściowymi obiektów prostych albo w ogóle nie istnieją, albo są bardzo słabe i w pierwszym przybliżeniu można je zaniedbać. Warunek ten nie zawsze może być spełniony, ale w większości wypadków założenie to jest słuszne. Stąd w realnych obiektach analizuje się dowolny określony odcinek od elementu wykonawczego do miejsca pomiaru odpowiedniej wielkości wyjściowej.

Obiektem regulacji będziemy dalej nazywać złożony człon dynamiczny, w połączeniu z którym pracuje regulator (rys. 6.1). W skład tego członu wchodzi rozpatrywana część aparatu (właściwy obiekt), czujnik pomiarowy i wszystkie środki pomiarowe wielkości wyjściowej (układ pomiarowy), a także nastawnik, zmieniający wpływ czynnika regulującego zgodnie z sygnałem regulatora (element wykonawczy). Do wyboru typu regulatora i jego nastaw należy znać właściwości dynamiczne każdego członu układu regulacji, gdyż połączenie właściwości wszystkich jego elementów określa warunki pracy regulatora.

Rys. 6.1. Definicja obiektu regulacji w zamkniętym układzie regulacji

Wystarczająco dokładna identyfikacja właściwości obiektów regulacji jest podstawowym warunkiem poprawnego zaprojektowania UAR. Często nie przywiązuje się dostatecznej wagi do tego zagadnienia, ograniczając się do określenia właściwości statycznych i wzorując się na istniejących rozwiązaniach układowych. Tymczasem stały wzrost rozmiarów produkcji i stopnia skomplikowania procesów oraz coraz wyższe wymagania jakościowe i ekonomiczne powodują, że dotychczasowe doświadczenia i intuicja inżynierska nie są już wystarczające do zaprojektowania rozwiązania optymalnego.

W zasadzie właściwości obiektu regulacji powinny zostać określone przez technologów, którzy najlepiej rozumieją fizyczną stronę regulowanego procesu. Często jednak konieczna jest przy tym pomoc automatyka, aby opis właściwości podany był w formie użytecznej dla celów regulacji. W przypadkach procesów złożonych metody analityczne identyfikacji mogą być traktowane jedynie jako pierwsze przybliżenie opisu procesu, a większego znaczenia nabierają metody doświadczalne.

Pod względem właściwości dynamicznych decydujących o sposobie sterowania można wyróżnić cztery najogólniejsze klasy obiektów:

1. Obiekty z samowyrównywaniem czyli obiekty statyczne, osiągające samoistnie stan równowagi dynamicznej przy działaniu każdego ograniczonego pobudzenia zewnętrznego, trwającego dowolnie długo. Obiekty takie uważa się za bezwarunkowo stabilne. Do klasy tej należy większość spotykanych członów technicznych, przesyłowych i wzmacniających.

2. Obiekty całkujące (jedno- lub wielokrotnie), czyli obiekty astatyczne - o odpowiedzi wzrastającej nieograniczenie pod wpływem jednokierunkowego pobudzenia zewnętrznego o ograniczonej wartości. Dla obiektów całkujących jednokrotnie, czyli o astatyzmie pierwszego stopnia, pobudzenie takie musiałoby trwać nieskończenie długo (lub być nieskończonym ciągiem impulsów). Dla obiektów całkujących wielokrotnie, czyli o astatyzmie wyższego stopnia odpowiedź wzrastającą nieograniczenie uzyskuje się już pod wpływem jednokierunkowego, dowolnie krótkiego pobudzenia. Do obiektów astatycznych należą np. człony, w których następuje gromadzenie materiału, człony przetwarzające prędkość na przesunięcie itp.

3. Obiekty niestabilne pulsujące - pod wpływem każdego lub niektórych pobudzeń przechodzące w okresowo powtarzający się ciąg przebiegów o wartościach ograniczonych i niezależnych od pobudzenia (lecz zależnych od wewnętrznych właściwości obiektu i doprowadzania energii, materii itp.). Do obiektów takich należą np. reaktory o samodzielnej pracy cyklicznej.

4. Obiekty niestabilne rozbieżne - pod wpływem każdego lub niektórych pobudzeń wytwarzające przebiegi o wartościach wzrastających nieograniczenie. Dla pracy stabilnej obiekty te muszą być dodatkowo stabilizowane. Niektóre typy lotniczych silników przepływowych są przykładem niestabilnego obiektu regulacji.

W mechanice najczęściej mamy do czynienia ze statycznymi lub astatycznymi obiektami regulacji. Spotykane w praktyce obiekty można ze względu na występujące w nich zjawiska fizyczne zaliczyć do niewielu klas, o właściwościach dających się opisać z dostateczną dokładnością znanymi prawami.

Jako podstawowe klasy takich realizowanych fizycznie obiektów wygodnie jest wyróżnić:

1. bryły sztywne i układy brył sztywnych i elementów elastycznych podlegające działaniu napędów i siły grawitacyjnej - spotykane głównie przy automatyzacji obrabiarek i transportu;

2. taśmy, łańcuchy, liny itp. - spotykane przy produkcji włókienniczej, tworzyw sztucznych i papieru oraz napędach i transporterach;

3. układy przesyłu i magazynowania cieczy i ciał sypkich oraz odlewania i wyciskania;

4. układy uzyskiwania i wymiany energii cieplnej;

5. układy uzyskiwania i przesyłania energii elektrycznej;

6. układy przenikania mas - mieszania, dyfuzji, destylacji, rektyfikacji, suszenia itp.;

7. reaktory chemiczne i jądrowe;

8. obiekty informacyjne - maszyny matematyczne i statystyczne oraz urządzenia przesyłające, magazynujące i przetwarzające dane.

Przy automatyzacji złożonych urządzeń technicznych i procesów zazwyczaj jednocześnie współpracuje ze sobą kilka obiektów elementarnych. W takich przypadkach wygodnie jest, w pierwszym przynajmniej stadium, wyodrębnić człony składowe, a dopiero po ich analizie - zestawić z nich cały układ złożony.

Przy analizie obiektów korzystamy z podstawowych równań dynamiki, elektrodynamiki, termodynamiki i kinetyki chemicznej oraz jądrowej. Przy wyprowadzaniu równań ruchu układów mechanicznych i elektrycznych korzysta się z zasady Hamiltona [7].

Zasada wariacyjna Hamiltona dla układów mających potencjał kinetyczny
stwierdza, że całka działania

w rozpatrywanym czasie od t₁ do t₂ przy rozważaniu wszelkich dających się pomyśleć ruchów ciała przyjmuje wartość najmniejszą dla ruchu, który rzeczywiście występuje, a więc dla tego ruchu wariacja

(6.1)

Z zasady tej bezpośrednio wynikają równania Lagrange'a drugiego rodzaju

(6.2)

przy czym: x­ - uogólniona współrzędna stanu układu;
(a więc x oraz
określają stan układu w przestrzeni fazowej).

Potencjał kinetyczny

gdzie: E_k - energia kinetyczna układu, U - potencjał uogólniony.

Gdy siły uogólnione F_i nie zależą w sposób jawny od przyspieszeń uogólnionych (
), lecz jedynie od czasu, współrzędnych i prędkości uogólnionych:

wówczas potencjał uogólniony

,

E_w - wielkość związana z potencjałem wektorowym.

Konieczność uwzględniania potencjału uogólnionego widać na przykładzie ładunku punktowego q poruszającego się w polu elektromagnetycznym. Wówczas na ładunek działa siła Lorentza:

,

gdzie:
- wektor natężenia pola elektrycznego,
- wektor indukcji pola magnetycznego,
- wektor prędkości ładunku q.

Wektory
i
można wyrazić za pomocą potencjału skalarnego
i potencjału wektorowego
:

,
.

Można wykazać, łącząc trzy ostatnie wzory, że:

,

Potencjał kinetyczny ładunku punktowego poruszającego się w polu elektromagnetycznym:

(6.3)

Gdy na ciało działają dodatkowe, niepotencjalne siły zewnętrzne F_z, prowadzące do strat mocy P, wtedy równania Lagrange'a przybierają postać

(6.4)

lub po podstawieniu podanych poprzednio wielkości

(6.5)

Równania (6.4) i (6.5) są ogólniejsze niż zasada wariacyjna Hamiltona. Przechodzą one w równoważne tej zasadzie równanie (6.2), gdy straty P są niezależne od prędkości uogólnionej
.

W układach mechanicznych o ruchu postępowym zazwyczaj: x - współrzędna liniowa;
- prędkość v;
(gdzie m - masa); w polu potencjalnym siły sprężystości
, gdzie x_r - położenie równowagi; energia potencjalna
, gdzie k_s - stała sprężyny; P - straty na tarcie.

Rys. 6.2. Przykładowe charakterystyki statycznych obiektów mechanicznych

W układach mechanicznych o ruchu obrotowym zamiast współrzędnej liniowej x wprowadza się położenie kątowe ϕ, zamiast prędkości liniowej v - prędkość kątową ω, zamiast masy m - moment bezwładności J, a zamiast siły F - moment siły M.

W układach elektrycznych: x - ładunek q (lub napięcie u);
- prąd;
(gdzie L - indukcyjność);
, gdzie C - pojemność elektryczna, u_z - napięcie zewnętrzne, P = Ri².

W układach złożonych, elektromechanicznych, wielkości E_k, E_p, P są oczywiście sumami składowych wnoszonych przez zjawiska mechaniczne i elektryczne. Liczba niezależnych równań jest równa liczbie stopni swobody układu, przy czym przy występowaniu symetrii niektóre z tych równań wynikają bezpośrednio z warunków symetrii.

Przy obliczaniu pochodnych :

1. należy uważać zmienne x oraz
   za wielkości niezależne;

2. przy wyznaczaniu pochodnej d/dt w pierwszym wyrazie równania (6.2) należy uwzględnić składowe tej pochodnej wynikające ze zmienności wszystkich wielkości zależnych od czasu, występujących w tym wyrazie.

Typowe równania, jakie uzyskuje się w układach mechanicznych lub elektromechanicznych mają postać

(6.6)

gdzie: X, Y, L, R, C - wielkości dobrane do opisu zjawiska (patrz rozdz. 2).

Prowadzi to zazwyczaj, w przypadku obiektów jednowymiarowych do występowania transmitancji typu (rys. 6.2):

przy czym: T, T₁, T₂ - stałe czasowe;
; T_r - okres drgań własnych; k - współczynnik wzmocnienia.

Siły zewnętrzne należy traktować w zastępczym schemacie dwuparametrowym jako źródła sił motorycznych.

Przy rozważaniu układów mechanicznych przechodzi się często z prędkości liniowej lub kątowej na ich całki - przesunięcie liniowe lub kąt. Wówczas do transmitancji dochodzi człon całkowania 1/s i uzyskuje się charakterystyki czasowe typów podanych na rys. 6.3.

Przykładem takiego układu jest serwomotor napędzający zawór lub ster samolotu, dla którego wielkością wyjściową będzie przesunięcie zaworu lub kąt obrotu steru. Występowanie dodatkowego członu całkującego wynika tu z zamiany wielkości wyjściowej występującej w podstawowych rozważaniach energetycznych - na jej całkę.

Rys. 6.3. Charakterystyki obiektów astatycznych pierwszego stopnia (układów mechanicznych z rys. 6.1 po przyjęciu jako wielkości wyjściowej całki wielkości uwzględnianej na tamtym rysunku)

Członami całkującymi są układy magazynowania cieczy i ciał sypkich, jeśli jako wielkość wejściową przyjmuje się strumień doprowadzanego materiału, a jako wielkość wyjściową - ilość materiału w zbiorniku lub (dla zbiorników o przekroju stałym w funkcji wysokości) - poziom materiału w zbiorniku. Gdy odpływ ze zbiornika zależy od ciśnienia wywieranego przez ciecz gromadzącą się w zbiorniku (rys. 6.4), układ ma właściwości nieliniowe, gdyż natężenie wypływającej cieczy jest równe

(6.7)

przy czym: p_w - ciśnienie wewnętrzne działające na zwierciadło cieczy; p_z - ciśnienie zewnętrzne odpływu; b - ciężar właściwy cieczy; H - wysokość słupa cieczy w zbiorniku; c - stała.

Rys. 6.4. Zbiornik cieczy jako obiekt sterowania: a) definicje wielkości; b) charakterystyka statyczna obiektu; c) charakterystyka czasowa zlinearyzowanego obiektu

Dla zbiornika walcowego o przekroju A, dla strumienia dopływającego Q₁ przyjętego jako zmienną niezależną od H, otrzymamy równanie nieliniowe

(6.8)

W przypadku układów stabilizacji wokół założonych wartości Q₁₀, Q₂₀, H₀ można jednak stosować przybliżoną linearyzację równania (6.8) dla przyrostów wielkości H=H₀+h oraz przepływów Q₁= Q₁₀+q₁ i Q₂= Q₂₀+q₂ , przy założeniu, że dla H₀ jest Q₁₀= Q₂₀.

Wtedy

(6.9)

a więc uzyskuje się dla przyrostów h, q₁ zależność

(6.10)

Transmitancja dla przyrostów ma postać

(6.11)

W przypadku zbiorników zamkniętych - gdy zapełnienie zbiornika (poziom H) wpływa również na dopływ Q₁ przez zmianę ciśnienia wewnętrznego w zbiorniku, jako wielkość wejściową przyjmuje się np. przesunięcie zaworu wejściowego i dla układów stabilizacji otrzymuje się analogiczną transmitancję (6.11) o nieco innych wartościach stałej T.

Przedstawiona linearyzacja obiektu nieliniowego przez wprowadzenie pochodnych cząstkowych typu (6.9) znacznie upraszcza analizę układów regulacji stałowartościowej. Jest jednak dopuszczalna w przypadkach, gdy możliwe jest utrzymywanie pracy w zakresie małych odchyleń od założonych wartości podstawowych.

Układy przesuwu taśm, łańcuchów lub lin, transportery oraz rurociągi nieelastyczne cieczy nieściśliwych w zakresie przepływów o pomijalnej bezwładności stanowią człony równomiernie opóźniające wszystkie składowe sygnału. Transmitancja takich członów ma postać

(6.12)

gdzie: T₀ - wprowadzany czas opóźnienia.

Rys. 6.5. Continuum LC: a) dwuparametrowy schemat zastępczy; b) charakterystyka czasowa

Transmitancja ta występuje dla linii przesyłowej, której schemat zastępczy ma postać continuum LC (rys. 6.5) oraz dla linii spełniających warunek Heaviside'a (linii bez zniekształceń). Gdy schemat zastępczy linii przesyłowej ma postać innego continuum, występują -zniekształcenia ze względu na różną prędkość przepływu składowych o różnych częstotliwościach. Np. dla continuum RC o transmitancji

(6.13)

występują zniekształcenia przedstawione na rys. 6.6b.

Rys. 6.6. Continuum RC: a) dwuparametrowy schemat zastępczy; b) charakterystyka

skokowa

Procesy przewodzenia ciepła prowadzą, do schematów zastępczych typu RC (rys. 6.7). Przy wymianie ciepła przez pojedynczą przegrodę wystarczy jednoczłonowy schemat z rys. 6.7a, dla którego transmitancja ma postać

(6.14)

gdzie: T = RC, R - rezystancja przewodzenia; C - pojemność cieplna odbiornika.

Rys. 6.7. Obiekty cieplne: a), b) jednopojemnościowy; c), d) wielopojemnościowy

Przy większej liczbie obszarów oddzielających należy wprowadzić dalsze człony typu RC (rys. 6.6a). W przypadku długiej jednorodnej drogi przenikania ciepła przez materiał o dużym cieple właściwym należy uważać taką drogę za continuum RC o transmitancji (6.13).

Wymienniki cieplne aproksymuje się zazwyczaj układem o transmitancji

(6.15)

gdzie opóźnienie T₀ wynika najczęściej z przepływu konwekcyjnych nośników ciepła (cieczy w ogrzewczych przewodach rurowych, gazów grzejnych itp.), a liczba n członów inercyjnych zazwyczaj nie przekracza pięciu.

Proces mieszania dwóch cieczy A, B, dla których natężenia dopływów do zbiornika wynoszą Q_A, Q_B, odpływ ze zbiornika Q = Q_A + Q_B (rys. 6.7), gdy mieszanie jest dostatecznie szybkie, można określić stężenie wyjściowe c_A2 składnika A równaniem

(6.16)

w którym V - stała objętość cieczy w zbiorniku przy założeniu mieszania objętościowo addytywnego.

Rys. 6.8. Proces mieszania: a) szkic układu; b) charakterystyka czasowa

Transformując równanie (6.16) mamy

(6.17)

dla sygnału wejściowego
otrzymamy transmitancję

(6.18)

Procesy chemiczne stanowią układy o dużej liczbie sygnałów wejściowych takich jak stężenia c_n substratów reakcji, temperatura, ciśnienie itp. Jako sygnał wyjściowy rozważa się zazwyczaj stężenie y wydzielonej substancji wynikowej. Zależności między tymi wielkościami są określone przez równania kinetyki reakcji. Analizując zależności stężenia y od stężeń c_n uzyskuje się najprostsze równania dla reakcji jednocząsteczkowych (rys. 6.9)

dla których

(6.19)

gdzie y - np. stężenie substancji B.

Podobne zależności występują dla reakcji między roztworem a substancją stałą o powierzchni S wymiany cząsteczek (równanie Boguskiego)

(6.20)

Równania te prowadzą do transmitancji

(6.21)

gdzie T=1/k₁ lub T=1/kS.

Reakcje wielocząsteczkowe (rys. 6.9b) spełniają równanie nieliniowe

(6.22)

Rys. 6.9. Typowe przykłady charakterystyk czasowych procesów chemicznych: a) reakcji jednocząsteczkowej; b) reakcji dwucząsteczkowej; c) reakcji odwracalnej. Stężenia: c_A - początkowe substancji wejściowej; c_s - końcowe w reakcji odwracalnej; y - chwilowe substancji wynikowej

Bardziej złożone równania nieliniowe uzyskuje się dla reakcji odwracalnych (rys. 6.9c), reakcji autokatalitycznych lub reakcji z katalizatorami. Przy zagadnieniach stabilizacji tych reakcji wokół wybranego punktu pracy można takie równania nieliniowe linearyzować w sposób analogiczny jak równanie (6.8), przy czym uzyskuje się wtedy najczęściej transmitancję jak dla członów inercyjnych typu (6.21).

Wpływ zjawisk gromadzenia, przepływu i mieszania wprowadza do tych przybliżonych transmitancji człony całkujące 1/s, człony wynikające z opóźnienia (6.12) i człony (6.18).

Obiekty biologiczne są zazwyczaj członami nieliniowymi wykazującymi opóźnienie i właściwości inercyjne. Często spotyka się nakładanie paru procesów o różnych stałych czasowych - o wartościach od ułamka sekundy do wielu godzin. Zjawisko sumowania jest reakcją całkującą. Występuje ono np. przy działaniu promieni jonizujących, przy odkładaniu się substancji źle wydalanych z organizmu itp. Wiele reakcji zachodzących w organizmach żywych charakteryzuje się zmiennym współczynnikiem wzmocnienia. Są to procesy typu adaptacyjnego lub zmęczeniowego.

Obiekty informatyczne stanowią zazwyczaj człony wprowadzające opóźnienia, zniekształcenia i zakłócenia. Wykazują one nieliniowość w postaci progu czułości i zakresu nasycenia (np. przy pełnym wykorzystaniu zdolności przetwarzania lub przesyłania danych).

Transmitancje niektórych częściej spotykanych obiektów regulacji zostały przedstawione w tablicy 6.1.

Tablica 6.1. Transmitancje przybliżone ważniejszych obiektów sterowania

Obiekt	Sygnał		Transmitancja	Współczynniki
		wejściowy			wyjściowy
Silnik elektryczny	Napięcie	Kąt obrotu		Tm - 1 ... 100 s T - 0,2 ... 5 s
Hydrozespół o małym spadku	Prędkość	Prędkość		T - stała czasowa bezwładności mas wody
Zbiornik cieczy	Dopływ	Poziom cieczy		T = 30 ... 100 s
Transporter	Ładunek	Ładunek		T0 = 100 ... 2000 s
Wymiennik ciepła	Temperatura grzejnika	Temperatura wyjściowa		n = 1... 5 T1 = 500 ... 5000 s T0 = 50 ... 100 s
Generatory i zbiorniki gazu	Dopływ	Ciśnienie		T = 0,5 ... 5 s
Rurociągi gazów	Dopływ	Odpływ		T0 = 0,1... 3 s T = 0,01...0,1 s
Rurociągi cieczy	Dopływ	Odpływ		T0 = 5 ... 30 s T = 1 ... 5 s

6.2. Upraszczanie wyrażeń określających właściwości obiektów sterowania

W praktyce konstrukcyjnej urządzeń automatycznych spotykamy się najczęściej z obiektami statycznymi o charakterystyce czasowej monotonicznej zbliżonej do charakterystyki obiektów inercyjnych z opóźnieniem. Znacznie rzadziej spotyka się obiekty statyczne o charakterystyce skokowej z drganiami tłumionymi i obiekty astatyczne. Jeszcze rzadziej przystępuje się do automatyzacji obiektów niestabilnych pulsujących lub rozbieżnych. W przypadku występowania charakterystyki z drganiami lub astatyzmu obiektu, a tym bardziej w przypadku niestabilności, należy przeprowadzić bardzo dokładną analizę właściwości obiektu. W przypadku natomiast najczęściej spotykanych obiektów statycznych inercyjnych możliwe jest traktowanie ich ujednoliconymi metodami przybliżonymi. Zazwyczaj obiekty takie mają schemat zastępczy stanowiący łańcuchowe połączenie sieci RC, continuum RC i członu o opóźnieniu typu transportowego (rys. 6.10a). Należy przy tym pamiętać, że na ogół w obiektach złożonych przepływ sygnału jest połączony z przepływem mocy lub materii, a więc uproszczone przemnażanie transmitancji poszczególnych części obiektu jest błędem. Np. obiekt stanowiący łańcuchowe połączenie bardzo wielkiej liczby identycznych członów inercyjnych RC ma wtedy transmitancję zbliżoną do transmitancji continuum RC, nie będącej iloczynem transmitancji pojedynczych członów.

Rys. 6.10. Najczęściej spotykany obiekt regulacji: a) schemat zastępczy o wydzielonych typowych członach; b) charakterystyka skokowa; c), d) metody wykreślne wyznaczania parametrów układu zastępczego o stałej czasowej (inercji) T i opóźnieniu (transportowego) T₀; e) charakterystyka skokowa

Najczęściej charakterystyka skokowa ma postać z rys. 6.10b. Może ona być aproksymowana krzywą (rys. 6.10c,d) złożoną z dwóch części: części (0, T₀) odpowiadającej opóźnieniu transportowemu T₀ oraz części stanowiącej charakterystykę obiektu inercyjnego pierwszego rzędu o stałej czasowej T.

Przy aproksymacji należy wyznaczyć na charakterystyce punkt przegięcia P. Następnie zaleca się poprowadzenie przez punkt P stycznej, która odcina na osi t stałą T₀ oraz na prostej y = 1 odcinek T₀+T (rys. 6.10c).

Ponieważ jednak krzywa
leży poniżej swej stycznej dla t = 0, więc uzyskuje się wtedy nieco zbyt duże T₀. Dlatego zalecane jest aproksymowanie krzywej na zasadzie danych powyżej punktu P (rys. 6.10d), pamiętając, że funkcja
osiąga wartość y = 0.9817 dla t = 4T, y = 0.9502 dla t = 3T, y = 0.8647 dla t = 2T oraz y = 0.6321 dla t = T (rys. 6.10e oraz tabl. 6.2). Znajdując z charakterystyki wartości t₁, t₂, t₃, t₄ odpowiednio dla y₁ = 0,632, y₂ = 0,865, y₃ = 0,950, y₄ = 0,982, łatwo wyliczyć średnią różnic t₄ - t₃, t₃ -t₂ oraz t₂ - t₁ jako przybliżoną wartość stałej czasowej T oraz średnią różnic t₄ - 4T, t₃ - 3T, t₂ -2T, t₁ - T jako przybliżoną wartość t = T₀.

Tablica 6.2. Charakterystyka skokowa obiektów inercyjnych pierwszego rzędu

t/T	0,69	1,0	2,0	2,30	3,0	3,5	4,0	4,61	5,3
y(t)/y∞	0,5	0,6321	0,86	0,9	0,95	0,97	0,98	0,99	0,995

Oznaczenia: T - stała czasowa; t - czas; y(t) - odpowiedź na sygnał skokowy; y_∞ - y(t) dla czasu nieskończenie długiego

Aproksymowana charakterystyka o stałej czasowej T i opóźnieniu transportowym T₀ odpowiada transmitancji

.

Na ogół przy konstrukcji urządzenia automatycznego opóźnienie transportowe T₀ oraz przybliżona stała czasowa T decydują o doborze układu i jego członów. Dlatego pożyteczne jest zorientowanie się w zakresach wartości tych stałych i ich stosunku T₀/T na podstawie rys. 6.11. Jak wiadomo, stała czasowa decyduje o tłumieniu większych częstotliwości, a opóźnienie T₀ - o odwróceniu fazy sygnału sinusoidalnego przy zastosowaniu sprzężenia zwrotnego. Zbyt duża wartość T₀/T wskazuje, że obiekt może powodować skłonności układu regulacji do wzbudzania się.

Rys. 6.11. Przegląd ważniejszych obiektów w zależności od ich stałych czasowych T i stosunku T/T₀, gdzie T₀ - opóźnienie transportowe

6.3 Doświadczalne wyznaczanie właściwości obiektów

Dokładna nawet znajomość teoretyczna właściwości obiektu wymaga doświadczalnego wyznaczenia wartości współczynników występujących w wyrażeniach matematycznych. W obiektach spotykanych w praktyce zachodzą procesy zazwyczaj zbyt skomplikowane, aby je dokładnie scharakteryzować teoretycznie. Analiza taka jest traktowana na ogół jako pierwsze przybliżenie, wymagające uzupełnienia doświadczalnie zdjętymi charakterystykami statycznymi i dynamicznymi obiektu.

Pomiary powinny dotyczyć wszystkich torów występujących w czasie pracy układu, a więc przekazywania sygnału sterowania do wyjścia obiektu i do członu pomiarowego, torów przekazywania zakłóceń itp.

Pomiar właściwości statycznych lub dynamicznych jest oczywiście podstawowym zagadnieniem w większości dziedzin techniki. Specyficznymi cechami pomiarów obiektów sterowanych jest uniwersalność metod i uwzględnianie zakresu bardzo małych częstotliwości.

Do wyznaczania charakterystyk dynamicznych bywają zazwyczaj stosowane cztery metody:

• skoku jednostkowego (wymuszenia skokowego);

• jednorazowego wymuszenia impulsowego;

• częstotliwościowa (sygnału sinusoidalnego);

• statystyczna (zakłóceń przypadkowych).

Zastosowanie teorii procesów stochastycznych pozwala wyznaczyć dynamiczną charakterystykę obiektu na drodze analizy statystycznej procesów przejściowych przy normalnych eksploatacyjnych wartościach wielkości wejściowych i wyjściowych obiektu, bez wprowadzania specjalnych wymuszeń. Jednak metoda ta wymaga olbrzymiej obróbki materiału doświadczalnego i przy braku specjalistycznej aparatury pomiarowej i oprogramowania do analizy matematycznej nie może być polecana do szerokiego praktycznego zastosowania w warunkach przemysłowych.

Przy wyborze metody doświadczalnego określania właściwości obiektu należy brać pod uwagę:

• charakter postawionego zadania,

• warunki przeprowadzania doświadczeń (ograniczenia technologiczne na zakresy badanych wielkości wyjściowych obiektu),

• charakter normalnych zakłóceń technologicznych (eksploatacyjnych).

Najprostszą jest metoda skoku jednostkowego czyli doprowadzenia sygnału wymuszającego -wymuszenia skokowego. Można ją uzyskać łatwiej i szybciej, aniżeli charakterystyki częstotliwościowe. Jednak odchylenia wielkości wyjściowej od nominalnej przy tej metodzie są zwykle znaczne (ograniczenia technologiczne ?), a normalne zakłócenia eksploatacyjne znacznie fałszują wyniki. Jednocześnie pamiętajmy, że jeśli do wyboru typu i nastaw regulatora w pełni wystarczają charakterystyki skokowe, to przy analizie stabilności układu znacznie bardziej przydatne są charakterystyki częstotliwościowe.

Należy także mieć na uwadze to, że aparat matematyczny wykorzystywany w teorii regulacji automatycznej pozwala na wzajemne przeliczanie obu tych charakterystyk obiektu za pomocą względnie prostych metod przybliżonych, zapewniających wystarczająco dokładne wyniki. W ten sposób, jeśli warunki przeprowadzenia doświadczeń już z góry określają metodę badań, to i tak wyniki mogą być prezentowane w dowolnej formie (charakterystyki skokowej lub częstotliwościowej).

Nieliniowość obiektu; sprzężenie skrośne. Większość rzeczywistych obiektów przemysłowych nie jest ściśle liniowa, co zawsze należy mieć na uwadze przy badaniu ich charakterystyk dynamicznych.

Właściwości statyczne i dynamiczne obiektu, jak i innych członów oraz układów regulacji w całości, charakteryzują określone parametry: współczynniki wzmocnienia, stałe czasowe itp. Nieliniowymi są obiekty (człony, układy), których parametry zmieniają się przy zmianie stanu obiektu - warunków pracy, obciążenia itp. Statyczne charakterystyki obiektu, określające związki pomiędzy wartościami wielkości wyjściowych i wejściowych w stanach ustalonych, będą w tym przypadku liniami krzywymi. Równania różniczkowe stanów nieustalonych (charakterystyki dynamiczne) będą przedstawione w formie równań różniczkowych o współczynnikach zależnych od wartości zmiennych (mówiliśmy o tych zagadnieniach w ramach drugiego wykładu).

Nieliniowość, jeżeli jest znaczna, prowadzi do często spotykanego przypadku zmiany charakterystyk dynamicznych obiektów, zwłaszcza przy dużych wartościach wymuszeń lub znacznych zmianach obciążenia obiektu. Dlatego określenie charakterystyk dynamicznych obiektów, w których przewiduje się zmienne obciążenia w szerokich granicach, należy przeprowadzać w różnych warunkach - choćby przy dwóch wartościach obciążenia - wysokiej i niskiej. Porównanie wyników doświadczeń, przeprowadzonych w różnych warunkach pozwala często na ocenę stopnia nieliniowości obiektu i dopuszczalnych zakresów linearyzacji jego charakterystyk. W obiektach o wąskim zakresie zmian obciążenia wystarczy prowadzić doświadczenia przy warunkach nominalnych.

Wielkość wyjściowa charakteryzująca stan obiektu i przebieg procesu technologicznego, może w poszczególnych wypadkach wskutek wzajemnych sprzężeń skrośnych zależeć od kilku wielkości wejściowych. Wówczas trzeba przeprowadzić doświadczenia z wymuszeniami na każdej z tych wielkości osobno. Porównanie wyników pozwoli ocenić stopień powiązań pomiędzy tymi wielkościami. Dlatego podczas doświadczalnego zdejmowania charakterystyk dynamicznych celowym jest kontrolować, a niekiedy i rejestrować przebiegi w czasie nie tylko wielkości wejściowej i wyjściowej obiektu, lecz także i tych wielkości, których zmiany mogą wpłynąć na przebieg procesu przejściowego. Tak na przykład, przy rejestracji zmian poziomu wody w walczaku kotła parowego przy wymuszeniu na przepływie wody należy rejestrować także przepływ pary i ciśnienie wody w walczaku, a przy wymuszeniu na przepływie pary - zużycie wody zasilającej. Przy rejestracji odpowiedzi temperatury na skok jednostkowy w jednej sekcji pieca wielosekcyjnego należy rejestrować zużycie paliwa nie tylko w tej sekcji, lecz także i w sekcjach sąsiednich.

Pozwala to lepiej kontrolować stałość warunków doświadczenia, ocenić wiarygodność otrzymanych wyników, a niekiedy i wprowadzić niezbędne poprawki do wyników doświadczeń.

6.4. Przykład przemysłowego obiektu regulacji - piec komorowy

Praktyczne metody określania transmitancji operatorowej obiektu regulacji, przydatnej zarówno w zagadnieniach syntezy jak i analizy układów automatycznej regulacji oraz problemy z tym związane przedstawimy poniżej.

Jako przykład obiektu przemysłowego rozpatrzymy elektryczny piec komorowy z nieosłoniętymi elementami grzejnymi [14]. Konstrukcja takiego pieca przedstawiona jest na rys. 6.12. Piece tej grupy pracują zazwyczaj do temperatury ok. 1200°C (niekiedy do 1600°C). Ścianki tych pieców zbudowane są z kilku warstw, najczęściej z warstwy materiału ogniotrwałego 1 i izolacji cieplnej 2.

Przeprowadzimy identyfikację doświadczalną pieca.

Charakterystyka statyczna

Charakterystyka statyczna obiektu regulacji temperatury jest to zależność temperatury granicznej obiektu ϑ_g od mocy grzejnej P w określonych warunkach otoczenia.

Temperatura graniczna obiektu regulacji temperatury jest to temperatura, jaką obiekt osiąga przy określonej wartości mocy grzejnej w stanie cieplnym ustalonym, a więc gdy moc grzejna P jest równa mocy strat P_str.

Doświadczalnie charakterystykę statyczną można wyznaczyć w zakresie maksymalnej temperatury pracy urządzenia ϑ < ϑ_max. Powyżej ϑ_max temperatura graniczna jest pojęciem zastępczym, fikcyjnym i może być wyznaczona jedynie metodą ekstrapolacji.

Wyznaczenie doświadczalne charakterystyki statycznej i odpowiedzi skokowej jest dużo dokładniejsze niż ich wyznaczenie obliczeniowe, dlatego też metodę doświadczalną zaleca się stosować wszędzie tam, gdzie jest to możliwe.

Pomiary doświadczalne w obiektach regulacji temperatury, szczególnie dużej mocy, są bardzo czasochłonne i niejednokrotnie wymagają specjalnej aparatury, toteż często zaleca

Rys. 6.12. Piec elektryczny komorowy PEKO o mocy 13 kW

się stosowanie metody mieszanej, w której bazując na obliczeniach, uzupełnia się je niepełnymi, ale dużo dokładniejszymi danymi doświadczalnymi.

Charakterystykę statyczną wyznacza się zmieniając skokowo moc grzejną doprowadzaną do obiektu i rejestrując po każdej zmianie mocy przebieg zmian temperatury w funkcji czasu, aż do uzyskania przez obiekt stanu możliwie bliskiego cieplnego stanu ustalonego. Ponieważ dojście do praktycznego stanu ustalonego jest bardzo czasochłonne, można znacznie skrócić czas trwania pomiarów powtarzając je kolejno najpierw dla skokowo rosnącej, a następnie dla skokowo malejącej mocy grzejnej, nie uzyskując pełnego stanu ustalonego (rys. 6.13)

Rys. 6.13. Doświadczalne wyznaczanie punktów charakterystyki statycznej pieca;

P(t) i ϑ(t) - moc i temperatura obiektu w funkcji czasu, ϑ_g- temperatura graniczna wyznaczona przy wzroście mocy, ϑ_g- temperatura graniczna wyznaczona przy zmniejszaniu mocy

Rys. 6.14. Charakterystyka statyczna pieca komorowego wykreślona według danych wyznaczonych z rys. 6.13

Przedstawiając wykreślnie kolejne wartości mocy grzejnej i odpowiadające im temperatury graniczne, otrzymuje się dwie krzywe: ϑ_g(P) i ϑ_g(P) i jako poszukiwany przebieg charakterystyki statycznej ϑ_g(P) przyjmuje się dla każdej mocy P, średnie wartości temperatur granicznych (rys. 6.14). Pomiarów dokonuje się dla 5 do 7 wartości mocy w zakresie dopuszczalnej temperatury pracy obiektu. Przebieg ϑ_g(P) dla wyższych temperatur wyznacza się metodą ekstrapolacji (rys. 6.14).

Odpowiedź skokową obiektu można wyznaczyć przy wyznaczaniu charakterystyki statycznej lub w osobnym cyklu pomiarów.

Odpowiedź skokowa i transmitancja zastępcza

Odpowiedź skokowa obiektu jest to zależność temperatury obiektu ϑ od czasu t, otrzymana w odpowiedzi na skokową zmianę mocy grzejnej
(rys. 6.15).

Rys. 6.15. Odpowiedź skokowa obiektu regulacji temperatury: T_akt, T_pas - zastępcza stała czasowa aktywna i pasywna; τ_akt, τ_pas - zastępcze opóźnienie aktywne i pasywne; τ_0,5akt, τ_0,5pas - czas wartości połowicznej aktywny i pasywny

Podawanie dokładnego opisu matematycznego przebiegu odpowiedzi skokowej byłoby zbyt skomplikowane, aby mogło mieć znaczenie praktyczne. Najczęściej odpowiedź tę aproksymuje się krzywą zastępczą odpowiedzi układu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem, wyznaczając graficznie zastępcze stałe czasowe oraz zastępcze czasy opóźnienia. Wartości te wyznacza styczna do odpowiedzi skokowej w punkcie przegięcia (rys. 6.15). Wartości te są funkcją: wartości temperatury, wielkości wymuszenia, kierunku wymuszenia i stanu cieplnego obiektu w chwili wymuszenia.

Zazwyczaj w obiektach elektrotermicznych T_akt < T_pas, przy czym T_akt /T_pas = n­ - współczynnik nieliniowości obiektu wynoszący zazwyczaj 0,5 ÷ 1 (czasem do 1,5).

Gdy T_akt niewiele się różni od T_pas , lub gdy wymagany jest jedynie przybliżony opis właściwości obiektu, wówczas stosuje się pojęcie średniej wartości stałej czasowej

.

Wartości τ_akt i τ_pas na ogół niewiele się różnią i prawie zawsze wystarczy podać jedynie wartość średnią

.

Przy przyjętym sposobie aproksymowania krzywych odpowiedzi skokowej i linearyzacji odcinkowej właściwości obiektu, zastępcza transmitancja operatorowa przyjmie postać

.

Dla pieca komorowego PEKO zarejestrowana doświadczalnie odpowiedź skokowa przedstawiona została na rys. 6.16.

Rys. 6.16. Odpowiedzi skokowe pieca komorowego PEKO o mocy P_n = 13 kW, przy wymuszeniu ΔP = 1,2 kW, ϑ_r ≈ 790 °C

Z charakterystyki tej wyznaczono następujące parametry:

• zastępcze czasy opóźnienia

• stałe czasowe początkowe

• czasy wartości połowicznej

• stałe czasowe nasycenia

oraz średnie wartości:

• zastępczego czasu opóźnienia
  

• stałej czasowej początkowej
  

• stałej czasowej nasycenia
  

Temperaturę w komorze zmierzono termoelementem nieosłoniętym NiCr-NiAl, ∅ = 1 mm, o pomijalnie małej bezwładności cieplnej. W celu zwiększenia dokładności wyznaczania czasu opóźnienia, początkowe odcinki krzywych odpowiedzi rejestrowano dodatkowo przy zwiększonej prędkości posuwu taśmy rejestratora.

Praktycznie stosowana do zagadnień syntezy układu automatycznej stabilizacji temperatury w piecu PEKO na poziomie 700 °C transmitancja wyznaczona z przedstawionych pomiarów oraz na podstawie doświadczeń eksploatacyjnych, ma postać

.

Michał Chłędowski WYKŁADY Z AUTOMATYKI dla mechaników 148

147 6. Obiekty regulacji

---