drgania moje


Sławomir Pieprzak

GRUPA 311C

0x01 graphic

Wyznaczenie częstości drgań własnych metodą

analityczną i przybliżoną metodą Ritz'a oraz porównanie wyników. Drgania podłużne pręta jednostronnie utwierdzonego z masą skupioną na swobodnym końcu.

1. Cel projektu:

0x01 graphic
0x01 graphic
( rys. 1 )

Analizowany układa to pręt pryzmatyczny o przekroju prostokątnym przedstawiony na rysunku nr 1. Pręt ten jest wykonany ze stali z jednej strony utwierdzony a z drugiej podwieszony na sprężynie. Do wyznaczenia częstości własnych przyjmuje następujące parametry:

Pręt:

a = 30 [mm] = 0,03 [m]

b = 20 [mm] = 0,02 [m]

l = 1000[mm] = 1 [m]

E = 2,1*105 [MPa]

ρ = 7850 [kg/m3]

Sprężyna:

k = 600 [N/m]

2. Rozwiązanie analityczne:

Obliczam objętość pręta:

0x01 graphic

Obliczam masę pręta:

0x01 graphic

Równanie drgań wzdłużnych pręta:

0x01 graphic

Metoda Fouriera pozwala na analityczne rozwiązanie tego równania. Przewidujemy że rozwiązaniem będzie postać:

0x01 graphic

Zatem:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozwiązanie dla oscylatora jest następujące:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozwiązanie postaci:

0x01 graphic

Do wyznaczenia stałych A,B,C,D wykorzystuje warunki brzegowe:

I: 0x01 graphic

II: 0x01 graphic

I. 0x01 graphic

0x01 graphic

II. 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Aby istniało rozwiązanie nietrywialnie współczynnik C musi być różny od zera.

Wówczas:

0x01 graphic

0x01 graphic

Przyjmuje za 0x01 graphic

0x01 graphic

KOD ŹRÓDŁOWY Z PROGRAMU MAPLE:

> restart:

> rownanie:=tan(z)=-(2.1*10^5*0.03*0.02*z)/(600*1);

0x01 graphic

> fsolve(rownanie,z=0..0.5):

z[1]:=evalf(%,6);0x01 graphic

> fsolve(rownanie,z=2..4):

z[2]:=evalf(%,6);0x01 graphic

> fsolve(rownanie,z=5..6):

z[3]:=evalf(%,6);0x01 graphic

> fsolve(rownanie,z=8..10):

z[4]:=evalf(%,6);0x01 graphic

> fsolve(rownanie,z=10..12):

z[5]:=evalf(%,6); 0x01 graphic

> plot({-0.21*z,tan(z)},z=(0..(9*Pi)/2),-2..2,color=[green,red]);

0x01 graphic

Obliczam częstości:

Wzór ogólny na częstość: 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

3. Metoda Ritz`a (przybliżona)

Wychodzimy z zasady Hamiltona dla układów zachowawczych, która mówi, że ze wszystkich ruchów możliwych ruchem rzeczywistym jest taki ruch, dla którego funkcjonał:

0x01 graphic

osiąga wartość minimalną.

Zatem rozwiązanie jest postaci:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic

Warunkiem istnienia ekstremum funkcjonału jest 0x01 graphic

Co sprowadza się do układu równań:

0x01 graphic

Aby układ równań posiadał niezerowe rozwiązania, wyznacznik główny musi być równy zero. Wyznaczenie częstości drgań własnych w sposób przybliżony metodą Ritz'a, sprowadza się zatem do rozwiązania równania:

0x01 graphic

Dla kolejnych przybliżeń funkcjami bazowymi.

Przyjmuję jako funkcje bazowe wielomiany:

Przybliżenie funkcją sin:

> restart:

> with(LinearAlgebra):

> y[1]:=x->sin(Pi*x/l):

> y[2]:=x->sin(Pi*x/l)+sin(2*Pi*x/l):

> y[3]:=x->sin(Pi*x/l)+sin(2*Pi*x/l)+sin(3*Pi*x/l):

> y[4]:=x->sin(Pi*x/l)+sin(2*Pi*x/l)+sin(3*Pi*x/l)+sin(4*Pi*x/l):

> for i from 1 to 4 do

E[1,i]:=int(rho*F*y[1](x)*y[i](x),x=0..l);

U[1,i]:=int(E*F*diff(y[1](x),x)*diff(y[i](x),x)+((k*(y[1](x))^2)/2),x=0..l) end do:

> for i from 1 to 4 do

E[2,i]:=int(rho*F*y[2](x)*y[i](x),x=0..l);

U[2,i]:=int(E*F*diff(y[2](x),x)*diff(y[i](x),x)+((k*(y[2](x))^2)/2),x=0..l) end do:

> for i from 1 to 4 do

E[3,i]:=int(rho*F*y[3](x)*y[i](x),x=0..l);

U[3,i]:=int(E*F*diff(y[3](x),x)*diff(y[i](x),x)+((k*(y[3](x))^2)/2),x=0..l) end do:

> for i from 1 to 4 do

E[4,i]:=int(rho*F*y[4](x)*y[i](x),x=0..l);

U[4,i]:=int(E*F*diff(y[4](x),x)*diff(y[i](x),x)+((k*(y[4](x))^2)/2),x=0..l) end do:

> A:=Matrix([

[omega^2*E[1,1]-U[1,1],omega^2*E[1,2]-U[1,2],omega^2*E[1,3]-U[1,3],omega^2*E[1,4]-U[1,4]],

[omega^2*E[2,1]-U[2,1],omega^2*E[2,2]-U[2,2],omega^2*E[2,3]-U[2,3],omega^2*E[2,4]-U[2,4]],

[omega^2*E[3,1]-U[3,1],omega^2*E[3,2]-U[3,2],omega^2*E[3,3]-U[3,3],omega^2*E[3,4]-U[3,4]],

[omega^2*E[4,1]-U[4,1],omega^2*E[4,2]-U[4,2],omega^2*E[4,3]-U[4,3],omega^2*E[4,4]-U[4,4]] ]):

> row:=Determinant(A)=0:

> E:=2.2*10^11; rho:=7850; F:=6*10^(-4); l:=1; k:=1000;

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

> row;

0x01 graphic

> sols:=solve(row,omega);

0x01 graphic

> for k from 1 to 8 do if sols[k]>0 then print(omega[k/2]=evalf(sols[k])) end if

end do;

0x01 graphic
;0x01 graphic
;0x01 graphic
;0x01 graphic
;

FUNKCJA WIELOMIANOWA:

> restart:

> with(LinearAlgebra):

> y[1]:=x->x:

> y[2]:=x->x+x^2:

> y[3]:=x->x+x^2+x^3:

> y[4]:=x->x+x^2+x^3+x^4:

> for i from 1 to 4 do

E[1,i]:=int(rho*F*y[1](x)*y[i](x),x=0..l);

U[1,i]:=int(E*F*diff(y[1](x),x)*diff(y[i](x),x)+((k*(y[1](x))^2)/2),x=0..l) end do:

>

> for i from 1 to 4 do

E[2,i]:=int(rho*F*y[2](x)*y[i](x),x=0..l);

U[2,i]:=int(E*F*diff(y[2](x),x)*diff(y[i](x),x)+((k*(y[2](x))^2)/2),x=0..l) end do:

> for i from 1 to 4 do

E[3,i]:=int(rho*F*y[3](x)*y[i](x),x=0..l);

U[3,i]:=int(E*F*diff(y[3](x),x)*diff(y[i](x),x)+((k*(y[3](x))^2)/2),x=0..l) end do:

> for i from 1 to 4 do

E[4,i]:=int(rho*F*y[4](x)*y[i](x),x=0..l);

U[4,i]:=int(E*F*diff(y[4](x),x)*diff(y[i](x),x)+((k*(y[4](x))^2)/2),x=0..l) end do:

> A:=Matrix([

[omega^2*E[1,1]-U[1,1],omega^2*E[1,2]-U[1,2],omega^2*E[1,3]-U[1,3],omega^2*E[1,4]-U[1,4]],

[omega^2*E[2,1]-U[2,1],omega^2*E[2,2]-U[2,2],omega^2*E[2,3]-U[2,3],omega^2*E[2,4]-U[2,4]],

[omega^2*E[3,1]-U[3,1],omega^2*E[3,2]-U[3,2],omega^2*E[3,3]-U[3,3],omega^2*E[3,4]-U[3,4]],

[omega^2*E[4,1]-U[4,1],omega^2*E[4,2]-U[4,2],omega^2*E[4,3]-U[4,3],omega^2*E[4,4]-U[4,4]]]):

> row:=Determinant(A)=0:

> E:=2.2*10^11; rho:=7850; F:=6*10^(-4); l:=1; k:=1000;

0x01 graphic
;0x01 graphic
0x01 graphic
;0x01 graphic
;0x01 graphic

> row;

0x01 graphic

> sols:=solve(row,omega);

0x01 graphic

> for k from 1 to 8 do if sols[k]>0 then print(omega[k/2]=evalf(sols[k])) end if

end do;

0x01 graphic
; 0x01 graphic
;0x01 graphic
; 0x01 graphic

METODA ANALITYCZNA:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przybliżenie za pomocą funkcji sinusów: 0x01 graphic
;0x01 graphic
;0x01 graphic
;0x01 graphic
;

Przybliżenie za pomocą wielomianów:

0x01 graphic
; 0x01 graphic
;0x01 graphic
; 0x01 graphic

Jak widać przybliżenie funkcją sinusów daje wyniki bardziej zbliżone do wyników otrzymanych w metodzie analitycznej niż przybliżenie funkcją wielomianu. W miarę zwiększenia stopnia przybliżenia uzyskałem dokładniejsze przybliżenia.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Drgania moje, WIEDZA, BHP, podstawy ergonomii
39. DRGANIA RELAKSACYJNE, Pracownia fizyczna, Moje przygotowania teoretyczne
8 opracowanie, Elektrotechnika AGH, Semestr II letni 2012-2013, Fizyka II - Laboratorium, Sprawozdan
39.DRGANIA RELAKSACYJNE, Pracownia fizyczna, Moje raporty
ćw.01 - Drgania harmoniczne sprężyny, Opracowanie moje, Opracowanie wyników
5 W DRGANIA RELAX MOJE , Elektrotechnika AGH, Semestr II letni 2012-2013, Fizyka II - Laboratorium,
Hałas i drgania mechaniczne
Podtopienie moje
drgania mechaniczne
Wykład 7 Drgania sieci krystalicznej
Drgania
drgania2(1)
Praktyczna Nauka Języka Rosyjskiego Moje notatki (leksyka)2
Drgania ukladu o jednym stopniu swobody v2011
Fizyka dla liceum Drgania i fale mechaniczne

więcej podobnych podstron