1.Różniczką funkcji y=ƒ(x) nazywamy iloczyn tej funkcji przez dowolny przyrost dx zmiennej niezależnej dy=f'(x)dx.

Najczęściej różniczkę wykorzystuje się do obliczania przybliżonych wartości funkcji oraz do wyznaczania błędu względnego.

Różniczka funkcji y=ƒ(x) przy dostatecznie małym przyroście zmiennej niezależnej może być traktowana jako wartość przybliżona przyrostu funkcji dy=ƒ'(x)dx≈Δy.

Jest to przydatne gdy wielkości występujące we wzorze pochodzą z pomiarów i nie są dokładne, lecz podane z pewnym błędem. Można wtedy za pomocą różniczki wyznaczyć błąd bezwzględny wielkości obliczonej ze wzoru oraz błąd względny który,będący stosunkiem błędu bezwzgl. do wartości obliczonej ze wzoru.

2.Jeżeli pochodna ƒ' funkcji ƒ istnieje w pewnym przedziale i jest w tym przedziale różniczkowalna, to jej pochodną nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji ƒ lub drugą pochodną funkcji ƒ i oznaczamy jednym z symboli ƒ”(x), y”,
,
y_x” ,
.

Powyższą definicję można uogólnić na pochodną rzędu n (która jest pochodną rzędu (n-1) funkcji ƒ i stosować zapisy ƒ⁽ⁿ⁾(x), y⁽ⁿ⁾,
,

Pochodne wyższych rzędów funkcji, które są wielomianami mają nast. Własność:wszystkie pochodne wielomianu rzędu wyższego niż jego stopień są równe zeru.

Jeżeli funkcja ma postać lub można ją przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji, których kolejne pochodne można łatwo wyznaczyć (tzn.można znaleźć ogólny wzór na ich n-tą pochodną), to możemy skorzystać ze wzoru Leibniza

y⁽ⁿ⁾=(f ^.g)⁽ⁿ⁾ =f⁽ⁿ⁾g + (
) f ^(n-1)g' + (
) f ^(n-2)g'' +...+(
) f ^(n-k)g^(k) +...+f g⁽ⁿ⁾ gdzie funkcje f = f(x) oraz g = g(x) mają pochodne aż do rzędu n włącznie, natomiast symbol (
) użyty we wzorze jest symbolem Newtona (
) =

3.Badanie monotoniczności funkcji

Badanie monotoniczności funkcji opiera się na wnioskach z twierdzeń Rolle'a i Lagrange'a:

Jeżeli pochodna f' funkcji f jest równa zero w każdym punkcie przedziału (a,b), to funkcja f jest w tym przedziale stała.

Jeżeli pochodna f' funkcji f jest dodatnia w każdym punkcie przedziału (a,b), to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.

Jeżeli pochodna f' funkcji f jest ujemna w każdym punkcie przedziału (a,b), to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.

Wnioski te są słuszne również dla przedziałów niewłaściwych.

Z podanych wniosków wynika, że przedziałami monotoniczności funkcji są przedziały, w których pierwsza pochodna tej funkcji zachowuje znak.

Ekstrema lokalne funkcji

Definicja:

Funkcja y=ƒ(x) określona w pewnym otoczeniu punktu x_o ma w tym punkcie minimum (maksimum) lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu x_o , że dla każdego x z sąsiedztwa punktu x_o spełniona jest nierówność f(x_o) < f(x) ( f(x_o) > f(x) ).

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej:

Jeżeli funkcja różniczkowalna f ma w punkcie x_o ekstremum lokalne, to jej pochodna w tym punkcie jest równa zero ( f'(x_o)=0 )

Warunki wystarczające do istnienia ekstremum lokalnego funkcji różniczkowalnej:

Warunek 1:

Jeżeli f'(x_o)=0 , to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x_o jeżeli pochodna w pewnym sąsiedztwie punktu x_o , przechodząc przez ten punkt zmienia znak, przy czym:

a) jeśli f'(x_o)<0 dla x< x_o i f'(x_o)>0 dla x> x_o , to funkcja f ma w punkcie x_o minimum lokalne.

b) jeśli f'(x_o)>0 dla x< x_o i f'(x_o)<0 dla x> x_o , to funkcja f ma w punkcie x_o maksimum lokalne.

Warunek 2:

Zakładamy, że funkcja f ma pochodne aż do rzędu k włącznie w otoczeniu punktu x_o.

Jeżeli f'(x_o)=0 , to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x_o , jeżeli pierwszą z kolei niezerową pochodną rzędu wyższego niż jeden jest pochodna rzędu parzystego, przy czym:

a)jeśli f^(k)(x_o)>0 , gdzie k=2n , n
N to funkcja f ma w punkcie x_o minimum lokalne

b)jeśli f^(k)(x_o)<0 , gdzie k=2n , n
N to funkcja f ma w punkcie x_o maksimum lokalne

Funkcja wypukła:

Funkcja f jest wypukła, jeśli w pewnym zbiorze wypukłym A⊂ D , czyli takim, że dla każdego

x₁, x₂
A, α
[0,1] f ( α x₁ +(1-α) x₂
A

spełnia warunek f ( α x₁ +(1-α) x_{2 )} ≤ α f x₁ + (1-α) f x₂

czyli w pewnym przedziale jej wykres znajduje się całkowicie nad styczną poprowadzoną do wykresu w dowolnym punkcie tego przedziału.

Funkcja jest wypukła w pewnym przedziale, jeśli jej druga pochodna w każdym punkcie tego przedziału jest dodatnia.

Funkcja wklęsła:

Funkcja f jest wklęsła, jeśli w pewnym zbiorze wypukłym spełnia warunek

dla każdego x₁, x₂
A, α
[0,1] f ( α x₁ +(1-α) x_{2 )} ≥ α f x₁ + (1-α) f x₂

czyli w pewnym przedziale jej wykres znajduje się całkowicie pod styczną poprowadzoną do wykresu w dowolnym punkcie tego przedziału.

Funkcja jest wypukła w pewnym przedziale, jeśli jej druga pochodna w każdym punkcie tego przedziału jest ujemna.

Punkt przegięcia

Warunek konieczny:

Jeżeli punkt x_o jest punktem przegięcia funkcji f , to jej druga pochodna w tym punkcie jest

równa zero ( f”(x_o)=0 ).

Warunki wystarczające:

Warunek 1

Jeżeli f”(x_o)=0 , to funkcja f ma w punkcie x_o punkt przegięcia, jeżeli druga pochodna w pewnym otoczeniu punktu x_o , przechodząc przez ten punkt, zmienia znak, czyli jeśli

f”(x_o)<0 dla x< x_o i f”(x_o)>0 dla x> x_o albo f”(x_o)>0 dla x< x_o i f”(x_o)<0 dla x> x_o

Warunek 2

Zakładamy, że funkcja f ma pochodne aż do rzędu k włącznie w otoczeniu punktu x_o..

Jeżeli f”(x_o)=0 , to funkcja f w punkcie x_o ma punkt przegięcia, jeżeli pierwszą z kolei niezerową pochodną rzędu wyższego niż dwa jest pochodna rzędu nieparzystego

---