1.Populacja generalna

Badania statystyczne dotyczą zawsze pewnej zbiorowości, której elementami są obiekty

materialne, lub zjawiska.W statystyce matematycznej badaną zbiorowość statystyczna

nazywa się populacją generalną lub zbiorowością generalną.

Populacja generalna skończona - jeśli zbiór jej elementów jest skończony.

• Przykład

Zbiorowość studentów 2-go roku kierunku WT

Populacja generalna nieskończona - dotyczy zazwyczaj zjawiska, a nie obiektów materialnych.

• Przykład

Zbiorowość wyników pomiarów twardości materiału.

2.Cecha statystyczna

• Elementem populacji generalnej mogą mieć różne właściwości i najczęściej miewają,

• które podlegają obserwacji.Te właściwości nazywa się cechami statystycznymi lub krótko

• cechami. PrzykładW badaniach populacji ludzi np. wiek, wzrost, płeć, kolor włosów

Cechy ilościowe - da się określić lub wyrazić: (wzrost, waga) są to cechy mierzalne

lecz własności jakościowe jak (płeć , kolor włosów) to są cechy niemierzalne

Przeważająca część metod statystycznej matematyki dotyczy analizy cech mierzalnych.

3.Wnioskowanie statystyczne

Podstawowym zagadnieniem pojawiającym się w badaniach częściowych jest możliwość

uogólnienia uzyskanych na podstawie próby wyników na całą populację oraz oszacowanie

popełnionych przy tym błędów. Takie działanie nazywa się wnioskowaniem statystycznym.

4.Próba losowa i warunki dla zapewnienia losowego doboru próby

Próbę otrzymaną w wyniku doboru losowego nazywa się próbą losową.

Warunki dla zapewnienia losowego doboru próby.

• Każdy element populacji generalnej ma dodatnie znane prawdopodobieństwo

znalezienia się w próbie losowej.

• Istnieje możliwość ustalenia prawdopodobieństwa znalezienia się w próbce dl

każdego zespołu elementów populacji.

6.Cecha skokowa i cecha ciągla

Cechy statystyczne (mierzalne), które przyjmują wartości całkowite nazywa się skokami

lub dyskretnymi. Cechy przyjmujące wartości rzeczywiste nazywa się cechami ciągłymi

7.szereg pozycyjny

technicznych

Funkcja niezawodności R(x) wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego

na tym, że czas poprawnej pracy obiektu X nie będzie krótszy, niż pewna wyróżniona wartość x:

R(x)=P(X ≥ x)

Jak łatwo zauważyć:

R(x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)

Dlatego, że zdarzenie losowe

X ≥ x i x < x

są zdarzeniami przeciwnymi i tworzą zupełny układ zdarzeń

Jeżeli zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa to funkcja

niezawodności ma postać: R(x) = 1-[1-exp(-x)] = exp(-x)

8.wykresy rozkłądu normalnego (Gaussa)

Uznawany za najważniejszy rozkład w teorii prawdopodobieństwa. Gęstość prawdopodobieństwa

zmiennej losowej o rozkładzie normalnym:

9. jak wyglada histogram

10.szereg rozdzielczy

Przedziały klasowe oraz ich liczebności, czyli liczby jednostek próby należących do danej

klasy tworzy razem tzw. szereg rozdzielczy. Aby utworzyć szereg rozdzielczy należy:

1.ustalić obszar zmienności R badanej cechy czyli przedział ograniczony najmniejszym i

największym elementem próby R = X_max - X_min

X_max - największy element próby

X_min - najmniejszy element próby

2. wyznaczyć liczbę przedziałów klasowych m próby o liczebności n

1. liczba przedziałów klasowych nie powinna być mniejsza niż 7 i większa niż 15

liczebność w każdym przedziale nie powinna być mniejsza niż 5

2. sposoby określenia m (liczba klas musi się mieścić )

3. podzielić obszar zmienności na klasy i wyznaczyc srodek przedziału klasowego oraz końce

przedziałów klasowych

- szerokość przedziału

4. wyznaczyć liczebność w klasach (od 0 do n)

f= hist (Xb,X)  mathcad

przestrzenią zdarzen elementarnych

Gestosc - ilosc zdarzen okreslona w pewnym przedziale

11.zmienna losowa

Jest to taka zmienna która w wyniku doświadczenia przybiera jedną i tylko jedną wartość ze

zbioru tych wszystkich wartości, jakie ta zmienna może przyjąć. Oznaczenie zmiennych losowych

1. Na ogół końcowymi literami alfabetu np. X, Y..............,

2. Wartości zmiennej losowej (realizująca) oznaczenie małymi literami np. x, y............,

12.rozkład zmiennej losowej

Niech X jest zmienną losową dyskretną, która może przyjmować wartości x₁, x₂, ... odpowiednio

z prawdopodobieństwem p₁, p₂, ... Każdej X przyporządkowane jest pewne prawdopodobieństwo.

To prawdopodobieństwo można traktować jako funkcję określoną w zbiorze wartości, jakie może

przyjmować zmienna losowa X Formy rozkładu:

1.tabela

x x₁ x₂

p p p₂

2.analitycznie

P(X=x_i) = f(x_i) Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

3.graficznie: wykres

13.Wzór i opis rokładu normalnego

(Gaussa )Uznawany za najważniejszy rozkład w teorii prawdopodobieństwa. Gęstość

prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym:

σ > 0

 - wartość oczekiwana

σ - odchylenie standardowe

N(,σ)

14.rozkład bernouliego

Rozkład dwumianowy.dotyczy zmiennej losowej dyskretnej.Wykonuje się serie n

niezaleznych doswiadczen w takich samych warunkach,w wyniku pojedynczego doswiadczenia

może zajsc pewne zdarzenie z pewnym prawdopodobienstwem.Prawdopodobienstwo ze wśród

przeprowadzonych n doswiadczen zrealizuje się x razy to zdarzenie możemy okreslic wzorem

n - liczba naturalna

x = 0, 1...n

p - prawdopodobienstwo p (0,1)

15.dystrubuanta zmiennej losowej

zmienna skokowa -skumulowane prawdopodobieństwo. Dystrybuantą zmiennej losowej nazywa

się funkcję oznaczoną przez F(x), określoną F(x) = P(X<x) Określa ona prawdopodobieństwo tego,

że zmienna losowa X przyjmuje jakąkolwiek wartość mniejszą od z góry przyjętej danej wartości x.

17.reguła 3 sigm

Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o rozkładzie N(,σ) to zachodzi:

P(-3σ  X  +3σ) = 0,9973 tzn. takie prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje takie

wartości, które różnią się od wartości oczekiwanej  nie więcej niż 3 odchylenia standardowego σ.

18.rozkład poissona

Jest to rozklad zdarzen rzadkich.Znajduje zastosowanie wszedzie tam,gdzie obserwuje się

duza liczbe zdarzen,a prawdopodobienstwo sukcesu jest male.Okreslany jest wzorem :

x = 0,1,...,n =n*p

19. rozkład wykładniczy

Zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa, jeśli jej gęstość

prawdopodobieństwa wyraża się wzorem

Parametr  jest związany z wartością oczekiwaną i wariancją

następującymi zależnościami:

dystrybuanta

jednym z podstawowych zastosowań rozkładu jest ocena niezawodności różnego

rodzaju obiektów technicznych

Funkcja niezawodności R(x) wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia losowego

polegającego na tym, że czas poprawnej pracy obiektu X nie będzie krótszy, niż

pewna wyróżniona wartość x:

R(x)=P(X ≥ x)

Jak łatwo zauważyć:

R(x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)

Dlatego, że zdarzenie losowe

X ≥ x i x < x

są zdarzeniami przeciwnymi i tworzą zupełny układ zdarzeń

Jeżeli zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa to funkcja

niezawodności ma postać:

R(x) = 1-[1-exp(-x)] = exp(-x)

20.co to jest hipoteza statystyczna i weryfikacja

Hipoteza statystyczna - to każde przypuszczenie dotyczące wartosci parametru rozkładu

cechy lub postaci rozkladu cechy w populacji

Weryfikacja - podstawowy rodzaj wnioskowania statystycznego

21. Podst wzory na wartość średnią, Odchylenie standartowe, wariancja, odchylenie

przeciętne, współczynnik zmienności, współ. Asymerii

22. hipoteza zerowa i alternatywna

Hipoteza zerowa (H₀) - Jest to hipoteza poddana procedurze weryfikacyjnej, w której zakładamy,

że różnica między analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero.

23.jako rozkład teoretyczny przyjmuje się? odp. rozkład bernoulliego, poissona, normalny

26.co to jest prawdopodobieństwo i gęstość

Prawdopodobieństwo to funkcja P(X), która przyporządkowuje każdemu elementowi zbioru

zdarzeń losowych pewną nieujemną wartość rzeczywistą i ma następujące własności:

P(Ω) = 1, gdzie Ω jest

Jeżeli próba dotycząca jednej cechy mierzalnej nie jest zbyt liczna tzn. dotyczy 30 jednostek

to występuje jej opracowanie polegające na uszeregowaniu w porządku rosnącym danych liczb.

Otrzymamy w ten sposób ciąg liczb - nazywa się szeregiem pozycyjnym

27.procedura postępowania dla zweryfikowania parametrycznej hipotezy zerowej

Zaleznosc miedzy gestoscia a dystrybuantna ?

Znajac gestosc prawd. Można znalesc dystr. Ze wzoru F(x)=calka ab f(x)dx

Gestosc prawd. Jest granica f(x)=

Funkcja niezawodności R(x) wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego

na tym, że czas poprawnej pracy obiektu X nie będzie krótszy, niż pewna wyróżniona wartość x:

R(x)=P(X ≥ x)

Rozkład normalny standaryzowany

otrzymywany przez standaryz
ację zmiennej loso

σ - ma wpływ na kształt wykresu

POZIOM ISTOTNOŚCI

Wartość poziomu istotności określa wartość wystąpienia błędu przy przyjęciu hipotezy zerowej za prawdziwą

Wspolczynnik ufnosci - jest to 1- i jest to prawd. Przyjete z góry , w zasosowaniu praktycznym przyjmuje wartosc 1-≥0,9

1.Populacja generalna

Badania statystyczne dotyczą zawsze pewnej zbiorowości, której elementami są obiekty

materialne, lub zjawiska.W statystyce matematycznej badaną zbiorowość statystyczna

nazywa się populacją generalną lub zbiorowością generalną.

Populacja generalna skończona - jeśli zbiór jej elementów jest skończony.

• Przykład

Zbiorowość studentów 2-go roku kierunku WT

Populacja generalna nieskończona - dotyczy zazwyczaj zjawiska, a nie obiektów materialnych.

• Przykład

Zbiorowość wyników pomiarów twardości materiału.

2.Cecha statystyczna

• Elementem populacji generalnej mogą mieć różne właściwości i najczęściej miewają,

• które podlegają obserwacji.Te właściwości nazywa się cechami statystycznymi lub krótko

• cechami. PrzykładW badaniach populacji ludzi np. wiek, wzrost, płeć, kolor włosów

Cechy ilościowe - da się określić lub wyrazić: (wzrost, waga) są to cechy mierzalne

lecz własności jakościowe jak (płeć , kolor włosów) to są cechy niemierzalne

Przeważająca część metod statystycznej matematyki dotyczy analizy cech mierzalnych.

3.Wnioskowanie statystyczne

Podstawowym zagadnieniem pojawiającym się w badaniach częściowych jest możliwość

uogólnienia uzyskanych na podstawie próby wyników na całą populację oraz oszacowanie

popełnionych przy tym błędów. Takie działanie nazywa się wnioskowaniem statystycznym.

4.Próba losowa i warunki dla zapewnienia losowego doboru próby

Próbę otrzymaną w wyniku doboru losowego nazywa się próbą losową.

Warunki dla zapewnienia losowego doboru próby.

• Każdy element populacji generalnej ma dodatnie znane prawdopodobieństwo

znalezienia się w próbie losowej.

• Istnieje możliwość ustalenia prawdopodobieństwa znalezienia się w próbce dl

każdego zespołu elementów populacji.

6.Cecha skokowa i cecha ciągla

Cechy statystyczne (mierzalne), które przyjmują wartości całkowite nazywa się skokami

lub dyskretnymi. Cechy przyjmujące wartości rzeczywiste nazywa się cechami ciągłymi

7.szereg pozycyjny

technicznych

Funkcja niezawodności R(x) wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego

na tym, że czas poprawnej pracy obiektu X nie będzie krótszy, niż pewna wyróżniona wartość x:

R(x)=P(X ≥ x)

Jak łatwo zauważyć:

R(x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)

Dlatego, że zdarzenie losowe

X ≥ x i x < x

są zdarzeniami przeciwnymi i tworzą zupełny układ zdarzeń

Jeżeli zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa to funkcja

niezawodności ma postać: R(x) = 1-[1-exp(-x)] = exp(-x)

8.wykresy rozkłądu normalnego (Gaussa)

Uznawany za najważniejszy rozkład w teorii prawdopodobieństwa. Gęstość prawdopodobieństwa

zmiennej losowej o rozkładzie normalnym:

9. jak wyglada histogram

10.szereg rozdzielczy

Przedziały klasowe oraz ich liczebności, czyli liczby jednostek próby należących do danej

klasy tworzy razem tzw. szereg rozdzielczy. Aby utworzyć szereg rozdzielczy należy:

1.ustalić obszar zmienności R badanej cechy czyli przedział ograniczony najmniejszym i

największym elementem próby R = X_max - X_min

X_max - największy element próby

X_min - najmniejszy element próby

2. wyznaczyć liczbę przedziałów klasowych m próby o liczebności n

3. liczba przedziałów klasowych nie powinna być mniejsza niż 7 i większa niż 15

liczebność w każdym przedziale nie powinna być mniejsza niż 5

4. sposoby określenia m (liczba klas musi się mieścić )

3. podzielić obszar zmienności na klasy i wyznaczyc srodek przedziału klasowego oraz końce

przedziałów klasowych

- szerokość przedziału

4. wyznaczyć liczebność w klasach (od 0 do n)

f= hist (Xb,X)  mathcad

przestrzenią zdarzen elementarnych

Gestosc - ilosc zdarzen okreslona w pewnym przedziale

11.zmienna losowa

Jest to taka zmienna która w wyniku doświadczenia przybiera jedną i tylko jedną wartość ze

zbioru tych wszystkich wartości, jakie ta zmienna może przyjąć. Oznaczenie zmiennych losowych

1. Na ogół końcowymi literami alfabetu np. X, Y..............,

2. Wartości zmiennej losowej (realizująca) oznaczenie małymi literami np. x, y............,

12.rozkład zmiennej losowej

Niech X jest zmienną losową dyskretną, która może przyjmować wartości x₁, x₂, ... odpowiednio

z prawdopodobieństwem p₁, p₂, ... Każdej X przyporządkowane jest pewne prawdopodobieństwo.

To prawdopodobieństwo można traktować jako funkcję określoną w zbiorze wartości, jakie może

przyjmować zmienna losowa X Formy rozkładu:

1.tabela

x x₁ x₂

p p p₂

2.analitycznie

P(X=x_i) = f(x_i) Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

3.graficznie: wykres

13.Wzór i opis rokładu normalnego

(Gaussa )Uznawany za najważniejszy rozkład w teorii prawdopodobieństwa. Gęstość

prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym:

σ > 0

 - wartość oczekiwana

σ - odchylenie standardowe

N(,σ)

14.rozkład bernouliego

Rozkład dwumianowy.dotyczy zmiennej losowej dyskretnej.Wykonuje się serie n

niezaleznych doswiadczen w takich samych warunkach,w wyniku pojedynczego doswiadczenia

może zajsc pewne zdarzenie z pewnym prawdopodobienstwem.Prawdopodobienstwo ze wśród

przeprowadzonych n doswiadczen zrealizuje się x razy to zdarzenie możemy okreslic wzorem

n - liczba naturalna

x = 0, 1...n

p - prawdopodobienstwo p (0,1)

15.dystrubuanta zmiennej losowej

zmienna skokowa -skumulowane prawdopodobieństwo. Dystrybuantą zmiennej losowej nazywa

się funkcję oznaczoną przez F(x), określoną F(x) = P(X<x) Określa ona prawdopodobieństwo tego,

że zmienna losowa X przyjmuje jakąkolwiek wartość mniejszą od z góry przyjętej danej wartości x.

17.reguła 3 sigm

Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o rozkładzie N(,σ) to zachodzi:

P(-3σ  X  +3σ) = 0,9973 tzn. takie prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje takie

wartości, które różnią się od wartości oczekiwanej  nie więcej niż 3 odchylenia standardowego σ.

18.rozkład poissona

Jest to rozklad zdarzen rzadkich.Znajduje zastosowanie wszedzie tam,gdzie obserwuje się

duza liczbe zdarzen,a prawdopodobienstwo sukcesu jest male.Okreslany jest wzorem :

x = 0,1,...,n =n*p

19. rozkład wykładniczy

Zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa, jeśli jej gęstość

prawdopodobieństwa wyraża się wzorem

Parametr  jest związany z wartością oczekiwaną i wariancją

następującymi zależnościami:

dystrybuanta

jednym z podstawowych zastosowań rozkładu jest ocena niezawodności różnego

rodzaju obiektów technicznych

Funkcja niezawodności R(x) wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia losowego

polegającego na tym, że czas poprawnej pracy obiektu X nie będzie krótszy, niż

pewna wyróżniona wartość x:

R(x)=P(X ≥ x)

Jak łatwo zauważyć:

R(x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)

Dlatego, że zdarzenie losowe

X ≥ x i x < x

są zdarzeniami przeciwnymi i tworzą zupełny układ zdarzeń

Jeżeli zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa to funkcja

niezawodności ma postać:

R(x) = 1-[1-exp(-x)] = exp(-x)

20.co to jest hipoteza statystyczna i weryfikacja

Hipoteza statystyczna - to każde przypuszczenie dotyczące wartosci parametru rozkładu

cechy lub postaci rozkladu cechy w populacji

Weryfikacja - podstawowy rodzaj wnioskowania statystycznego

21. Podst wzory na wartość średnią, Odchylenie standartowe, wariancja, odchylenie

przeciętne, współczynnik zmienności, współ. Asymerii

22. hipoteza zerowa i alternatywna

Hipoteza zerowa (H₀) - Jest to hipoteza poddana procedurze weryfikacyjnej, w której zakładamy,

że różnica między analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero.

23.jako rozkład teoretyczny przyjmuje się? odp. rozkład bernoulliego, poissona, normalny

26.co to jest prawdopodobieństwo i gęstość

Prawdopodobieństwo to funkcja P(X), która przyporządkowuje każdemu elementowi zbioru

zdarzeń losowych pewną nieujemną wartość rzeczywistą i ma następujące własności:

P(Ω) = 1, gdzie Ω jest

Jeżeli próba dotycząca jednej cechy mierzalnej nie jest zbyt liczna tzn. dotyczy 30 jednostek

to występuje jej opracowanie polegające na uszeregowaniu w porządku rosnącym danych liczb.

Otrzymamy w ten sposób ciąg liczb - nazywa się szeregiem pozycyjnym

27.procedura postępowania dla zweryfikowania parametrycznej hipotezy zerowej

Zaleznosc miedzy gestoscia a dystrybuantna ?

Znajac gestosc prawd. Można znalesc dystr. Ze wzoru F(x)=calka ab f(x)dx

Gestosc prawd. Jest granica f(x)=

Funkcja niezawodności R(x) wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego

na tym, że czas poprawnej pracy obiektu X nie będzie krótszy, niż pewna wyróżniona wartość x:

R(x)=P(X ≥ x)

Rozkład normalny standaryzowany

otrzymywany przez standaryz
ację zmiennej loso

σ - ma wpływ na kształt wykresu

POZIOM ISTOTNOŚCI

Wartość poziomu istotności określa wartość wystąpienia błędu przy przyjęciu hipotezy zerowej za prawdziwą

Wspolczynnik ufnosci - jest to 1- i jest to prawd. Przyjete z góry , w zasosowaniu praktycznym przyjmuje wa

---