Hipoteza de Broglie’a :

E = hν => ν = E/h

P =h/λ => λ = h/p

Doświadczalne potwierdzenie falowych własności materii.

Cząstka o masie m i ładunku przepuszczoną napięciem V do niezbyt dużych prędkości

½ mv² = eU => v =$\sqrt{\frac{2ev}{m}}$

p = mv = $\sqrt{2meU}$

zgodnie z hipotezą de Broglie’a

λ = h/p = h/$\sqrt{2meU}$ ; λ - długość fali w [Ǻ] ; U – napięcie w [V]

Dla czÄ…stki elektronu:

λ = 12,25/$\sqrt{U}$

Dla U rzędu kilku [V] λ jest rzędu [Ǻ]

Doświadczenie Davissona-Germera :

- potwierdziło hipotezę de Broglie’a

λ =12,25/$\sqrt{54}$ = 1,65Ǻ

- ugięcie promieniowania X w tym samym krysztale Ni :

AB=BC=l l=d cos(90ْ - ϕ )=d sinϕ

Wzór Bragga:

2d sinQ = nλ,n = n = 1,2…rząd max dyfrakcyjnego dla n = 1,

λ = 2*0,91 [Ǻ] sin65ْ = 1,65 [Ǻ];

d = 0,91 [Ǻ];

Ï• = 65Ù’

Prędkość fazowa i grupowa fal de Broglie’a :

Prędkość fazowa:

V_f = λ v prędkość fazowa fali

V_f = h/p*E/p=E/p

V_f = $\frac{\frac{\text{mv}2}{2}}{\text{mv}}$ = v/2 v- prędkość cząstki

Prędkość grupowa:

- ograniczony ciąg falowy, który może być zastąpiony przez zespół nieskończonych fal harmonicznych wąskiego przedziału Δ k (k= 2π /λ  liczba falowa) nazywamy paczką fal

Symetryczne względem osi OX i OY

V_g=dw/dk prędkość grupowa

ω = 2 πν ; k = 2 π /λ

dw = 2 π /h dE ; dk =2 π /h dp

v_g = dw/dk = dE/dp ; E = mv²/2 ; p = mv

dE = mvdv ; dp = mdv ;

v_g = v

cząstka materialna nie może być skojarzona z paczką falową materii, gdyż paczka falowa rozpływa się podczas ruchu

Równanie Schródningera :

Ψ (x,t) = Ae^{-i(ωt-kx)}

ə Ψ (x,t)/ əx = ik Ae^{-i(ωt-kx)} = ik Ψ (x,t)

i² = -1 jednostka urojona

k = 2 π /λ liczba falowa

p = ћk => k = p/ћ , ћ = h/2 π

ə Ψ (x,t)/ əx = i p/ћ Ψ (x,t)

p[Ψ (x,t)] = -iћ$\frac{@}{@x}$ [Ψ (x,t)]

ə Ψ (x,t)/ ət = -iϖAe^{-i(ωt-kx)} = -iϖΨ (x,t)

E = ћϖ => ϖ = E/ћ

ə Ψ (x,t)/ ət = -i E/ћ Ψ (x,t) /*i

i* ə Ψ (x,t)/ ət = E/ћ Ψ (x,t)

E [Ψ (x,t)] = iћ$\frac{@}{@t}$ [Ψ (x,t)]

Wzór?

1/2m(-iÑ›$\frac{@}{@x}$)² + v(x,t)= it$\frac{@}{@t}$

(-iÑ›)²= -Ñ›²

- (Ñ›²/2m * (É™² Ψ (x,t)/ É™x²)) + v(x,t) = iÑ›$\frac{@}{@t}$ równanie operatorowe

- (Ñ›²/2m * (É™² Ψ (x,t)/ É™x²)) + v(x,t) Ψ (x,t) = iÑ› (É™ Ψ (x,t)/ É™t) równanie Schródningera zależne od czasu

Równanie Schródningera niezależne od czasu :

Ψ (x,t) = Ψ (x) ϕ(t)

-(Ñ›²/2m)* (É™² Ψ (x) Ï•(t))/É™x²+ v(x) Ψ (x) Ï•(t) = iÑ› (əΨ (x) Ï•(t))/ É™t

É™² Ψ (x) Ï•(t)/É™x² = Ï•(t) d²Î¨ (x)/dx²

əΨ (x) ϕ(t)/ət = Ψ (x) dϕ(t)/dt

-(Ñ›²/2m) Ï•(t) (d²Î¨ (x)/dx²) + v(x) Ψ (x) Ï•(t) = iћΨ (x) dÏ•(t)/dt /:Ψ (x) Ï•(t)

1/Ψ (x)[ -(Ñ›²/2m) (d²Î¨ (x)/dx²) + v(x) Ψ (x)] = iÑ›(1/Ψ (x)) (dÏ•(t)/dt)

1) 1/Ψ (x)[ -(Ñ›²/2m) (d²Î¨ (x)/dx²) + v(x) Ψ (x)] = G

2) iћ(1/Ψ (x)) (dϕ(t)/dt) = G

dϕ/dt = -(iG ϕ(t)/ћ)

ϕ(t) = e^αt

dϕ(t)/dt = α e^αt = αϕ(t)

αϕ(t) = -(iG ϕ(t)/ћ)

ϕ(t) = cos(Gt/ћ) – i sin(Gt/ћ) = cos(2π Gt/h) - sin(2π Gt/h)

ν = G/h ale ν = E/h => G = E

(d² Ψ (x)/ dx²)) + v(x) Ψ (x) = E Ψ (x) równanie Schródningera niezależne od czasu!!!

Ψ (x,t) = Ψ (x) e^-$\frac{\text{iEt}}{tsh}$

Interpretacja funkcji falowej :

- statystyczna interpretacja Borna funkcji falowej

Ψ = Ψ e^-$\frac{\text{iEt}}{tsh}$

Ψ^∗ = Ψ^∗ e$\frac{\text{iEt}}{tsh}$ ; Ψ^∗ − sprzężone

ΨΨ^∗ = prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dτ

Ψ•Ψ^∗ − gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w jednakowym elemencie objętości

∫ΨΨ^∗ dτ = 1 warunek normalizujący

Obserwując dyfrakcję elektronów nie trzeba wyciągać wniosków, ze cząstki te stają się falami, ale że praca ruchu w mikroświecie ma charakter falowy.

Zasada nieoznaczności Heisenberga :

- rozważamy swobodny elektron poruszający się wdłuż osi X

Ψ = Ae^{-i(ωt-kx)} funkcja charakteryzująca ten elektron

p= h/λ jest ściśle określony

ΨΨ^∗ = Α²

ΨΨ^∗ Δx = Α²Î”x znalezienie elektronu jest jednakowo prawdopodobne w każdym punkcie osi X

ΔxΔk ≥ ½

Δp = ћΔk

ΔxΔp ≥ ћ/2

ΔxΔpx ≥ ћ/2

ΔyΔpy ≥ ћ/2

ΔzΔpz ≥ ћ/2

Nie jest równocześnie możliwa dokładna znajomość położenia i pędu cząstki

ΔEΔt ≥ ћ/2

Im dokładniej chcemy określić czas w którym zaszło jakieś zdarzenie tym bardziej staje się nieokreślona energia rozważanego układu.

Granica stosowalności pojęć klasycznych do mikroświata dane są przez zasadę nieoznaczności Heisenberga