Granica funkcji

Definicja Heine’go

Liczbę a nazywamy granicą funkcji y = f(x) w punkcie jeśli dla każdego ciągu  argumentów funkcji zbieżnego do  o wyrazach różnych od , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest zbieżny do a.

Fakt, że granicą funkcji przy x dążącym do jest liczba a zapisujemy:

 

Jeżeli  (X - dziedzina funkcji) są dowolnymi funkcjami, to:

• sumą funkcji f i g nazywamy funkcję określoną wzorem:

• różnicą funkcji f i g nazywamy funkcję określoną wzorem:

• iloczynem funkcji f i g nazywamy funkcję określoną wzorem:

• ilorazem funkcji f i g nazywamy funkcję określoną wzorem:

• iloczynem funkcji f przez liczbę rzeczywistą k nazywamy funkcję określoną wzorem:

Jeśli funkcje f i g mają w punkcie  granice odpowiednio a i b, to istnieją w punkcie granice funkcji  i zachodzą związki:

Jeżeli funkcja f jest funkcją wymierną postaci  są wielomianami i punkt nie jest miejscem zerowym wielomianu

Liczbę a nazywamy granicą funkcji, gdy dla dowolnego otoczenia U punktu a istnieje takie sąsiedztwo S punktu , że jeśli

Definicja Cauchy’ego

Liczbę a nazywamy granicą funkcji , gdy dla każdej liczby  istnieje taka liczba  że dla dowolnego prawdziwa jest implikacja:

Możemy to zapisać:

Definicje Heine’go dotyczące granic niewłaściwych funkcji w punkcie.

Funkcja  granicę niewłaściwą , jeśli dla każdego ciągu  argumentów funkcji f zbieżnego do , o wyrazach różnych od , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest rozbieżny do .

Funkcja  granicę niewłaściwą , jeśli dla każdego ciągu  argumentów funkcji f zbieżnego do , o wyrazach różnych od , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest rozbieżny do .

Definicje Cauchy’ego dotyczące granic niewłaściwych funkcji w punkcie.

Funkcja  granicę niewłaściwą , jeśli dla każdej liczby  istnieje taka liczba  że dla dowolnego prawdziwa jest implikacja:

Możemy to zapisać:

Funkcja  granicę niewłaściwą , jeśli dla każdej liczby  istnieje taka liczba  że dla dowolnego prawdziwa jest implikacja:

Możemy to zapisać:

Jeżeli w pewnym sąsiedztwie punktu  funkcja g przyjmuje tylko wartości dodatnie i to funkcja f określona wzorem  granicę niewłaściwą , zaś granicę niewłaściwą .