Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim

a) Prędkość wektora - stosunek elementarnego przemieszczenia do elementarnego czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło.

$\mathbf{V =}\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{i}x + \overrightarrow{j}y \right) = \overrightarrow{i}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \overrightarrow{j}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = \overrightarrow{i}v_{x} + \overrightarrow{j}v_{y}\text{\ \ \ \ }\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = v_{x} = \dot{x}$ $\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = v_{y} = \dot{y}$

$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{\dot{x^{2} + \dot{y^{2}}}}\text{\ \ }$ $\left\{ \begin{matrix} x = v_{o}t \\ y = \frac{gt^{2}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ $ $v_{x} = \frac{d}{\text{dt}}\left( v_{0}t \right) = v_{0}$

$v_{y} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{gt^{2}}{2} \right) = gt$ $v = \sqrt{v_{0}^{2} + g^{2}t^{2}} = v(t)$

b) Przyspieszenie to pochodna wektora po czasie

$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{i}v_{x} + \overrightarrow{j}v_{y} \right) = \overrightarrow{i}\frac{dv_{x}}{\text{dt}} + \overrightarrow{j}\frac{dv_{y}}{\text{dt}} = \overrightarrow{i}a_{x} + \overrightarrow{j}a_{y}\frac{dv_{x}}{\text{dt}} = a_{x} = \dot{\dot{v_{x}} = \ddot{x}}$

$\frac{dv_{y}}{\text{dt}} = a_{y} = \dot{v_{y}} = \ddot{y}$ $a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}\sqrt{\dot{{v_{x}}^{2}} + \dot{{v_{y}}^{2}}} = \sqrt{\ddot{x^{2}} + \ddot{y^{2}}}$ $a_{x} = \frac{d}{\text{dt}}\left( v_{0} \right) = 0$

$a_{y} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \text{gt} \right) = g$ $a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}$=g

Droga i prędkość w ruchu płaskim - Długość drogi s jest sumą wszystkich odcinków toru ∆s_i przebytych przez ciało w poszczególnych przedziałach czasu ∆t_i

$$s = \sum_{}^{}{s_{i}} = \int_{A}^{B}\text{ds} = \int_{A}^{B}\sqrt{{(\frac{\text{dx}}{\text{dt}})}^{2} + {(\frac{\text{dy}}{\text{dt}})}^{2}}dt = \int_{\text{tA}}^{\text{tB}}\sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}dt = \int_{\text{tA}}^{\text{tB}}\text{v\ dt}$$

$$s = \int_{}^{}{v_{0}t\ dt = \ \int_{}^{}(}v_{0} + at)dt = \int_{}^{}{v_{0}\ dt + \int_{}^{}\text{at\ dt}} = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$$

Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu płaskim a) rysunek! $\overrightarrow{n}$-wersor normalny $\overrightarrow{a_{n}}$-przyspieszenie normalne $\overrightarrow{a_{i}}$-przyspieszenie styczne $\overrightarrow{\tau}$-wersor pokazuje styczną, wersowek wzdłuż v: $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_{i}} + \overrightarrow{a_{\text{n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}}\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \tau*v \right) = \frac{d\overrightarrow{\tau}}{\text{dt}}*v + \overrightarrow{\tau}\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$

Można wykazać, że pochodna wersora po czasie jest prostopadła i wyraża się wzorem $\frac{v}{p}\frac{d\overrightarrow{\tau}}{\text{dt}} = \overrightarrow{n}\frac{v}{p};\ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{n}\frac{v^{2}}{p} + \overrightarrow{\tau}\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$ $a_{n} = \frac{v^{2}}{p}$ ; $a_{\tau} = \frac{\text{dv}}{\text{dt}};\ \ \ \ a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{i}^{2}}$

Rysunek! $a_{n} = \frac{v^{2}}{p}$ $a_{\tau} = \frac{\text{dv}}{\text{dt}}$ $\overrightarrow{a_{n}} = - \omega^{2}r$ (a ma zwrot przeciwny do r) $\overrightarrow{a_{\tau}} = \overrightarrow{\varepsilon}x\overrightarrow{r}$ $a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{i}^{2}}$ Przyspieszenie normalne jest przyspieszeniem dośrodkowym, wiec można je zapisać jako: $\overrightarrow{a_{n}} = - \omega^{2}r$

Zasady dynamiki z przykładami a) II.ZDN  Aby zmienić pęd ciała należy działać na nie innym ciałem, miarą oddziaływania jest siła. Siła jest przyczyną zmiany ruchu ciała lub jego deformacji. $\overrightarrow{F} = m*\overrightarrow{a};\ \overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m}$ Układ odniesienia, w którym obowiazuje IIZDN nosi nazwę inercjalnego.$\ \overrightarrow{F} = \overrightarrow{i}F_{x} + \overrightarrow{j}F_{y} = m\left( \overrightarrow{i}\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \overrightarrow{j}\frac{d^{2}y}{dt^{2}} \right) = m\overrightarrow{i}\ddot{x} + m\overrightarrow{j}\ddot{y}\ $ $F_{x} = m\ddot{x}$ $F_{y} = m\ddot{y}$ $F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}\text{\ \ \ }$b) I.ZDN wynika z II.ZDN i rozpatruje przypadki, gdy na ciało nie działa żadna siła lub wypadkowa sił jest równa 0. $\overrightarrow{F} = m*\overrightarrow{a} = 0;\overrightarrow{a} = 0;\ \ \overrightarrow{v} = const.$ Wówczas ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością. c) III.ZDN POlefa na wzajemnym oddziaływaniu ciał. Stwierdza, że jeżeli na jakieś ciało działa siła, to należy szukać innego ciała będącego źródłem tej siły do którego przyłożona jest siła przeciwdziałania. Siły występują parami.

Zasada zachowania pędu z przykładem

Rozważmy odosobniony układ n ciał o masach m₁, m₂,…m_n i pędach p. Układ odosobniony to taki, na który nie działają siły zewnętrzne. Wewnątrz tego układu działają siły wewnętrzne. Zmiana pedu każdego z ciał w tym układzie będzie wywołana suma wektorową wszystkich sił działających na ciało.

$\frac{dp_{1}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}\overrightarrow{F_{1j}}$ + $\frac{dp_{2}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}\overrightarrow{F_{2j}}$ +…+ $\frac{dp_{n}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}\overrightarrow{F_{\text{nj}}}$=
$\sum_{i = 1}^{n}\frac{d\overrightarrow{p_{0}}}{\text{dt}} = \sum_{\text{ij}}^{n}\overrightarrow{F_{\text{ij}}}$ $\sum_{i = 1}^{n}{\frac{d\overrightarrow{p_{1}}}{\text{dt}} = 0}$ ; $\frac{d}{\text{dt}}\sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{p_{i}} = 0$ $\sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{p_{i}} = \overrightarrow{p_{c}}$; $\frac{d}{\text{dt}}\left( p_{c} \right) = 0 = > \ p_{c} = \sum_{i = 1}^{n}{}\text{\ \ \ \ \ \ \ }p_{1} = const.$ Pęd całkowity układu odosobnionego nie zmienia się w czasie, jest stały. Natomiast pędy ciał wewnątrz układu się zmieniają, ale jeśli dodamy je do siebie, to zawsze dają nam to samo – pęd całkowity jest niezmienny. Przykłady: -Wagon jadący po szynach-rysunek-p₁ + p₂ + p_c = const p₁ = mV + MV_o = (M + m)V_x1 p₂ = MV_o = (m + M)V_x2 -Deska na lodzie-rysunek- (mV)² + (MV_o)² = [(M+m)V_x3]²

Inercjalne układy odniesienia Układ, w którym spełnione są ZDN nazywa się układem inercjalnym. Jest nim każdy układ pozostający w spoczynku. Okazuje się, że również ukł. Odniesienia przemieszczający się ze stałą prędkością względem układu podstawowego, inercjalnego, jest także inercjalny. Układ równań pozwalający dokonać transformacji współrzędnych OXYZ do O’X’Y’Z’ nosi nazwę transformacji Galileusza. $F_{x} = m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = mx$ $F_{x'} = m\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}$ F_x = F_x′ to samo dla y i z .

$$\frac{d^{2}x^{'}}{dt^{2}} = \frac{d^{2}}{dt^{2}}\left( x - ut \right) = \frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\text{dx}}{\text{dt}} - u \right) = \frac{d^{2}x}{\text{dt}}$$

Nieinercjalne układy odniesienia - ruch postępowy Układy odniesienia w których II ZDN nie stosuje się bezpośrednio, nosza nazwę nieinercjalnych. W układach tych pojawia się dodatkowa siła zwana siłą bezwładności.

$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_{0}} + \overrightarrow{r'}$; $\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}} = \ \frac{d\overrightarrow{r_{0}}}{\text{dt}} + \frac{d\overrightarrow{r'}}{\text{dt}}$ $v\left( t \right) = \overrightarrow{u}\left( t \right) + \overrightarrow{v'}\left( t \right)$ $\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \frac{d\overrightarrow{u}}{\text{dt}} + \frac{d\overrightarrow{v'}}{\text{dt}}$ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_{0}} + \overrightarrow{a'}$; $m\overrightarrow{a} = m\overrightarrow{a_{0}} + m\overrightarrow{a'}$ $m\overrightarrow{a'} = - \ m\overrightarrow{a_{0}} + m\overrightarrow{a}$ $m\overrightarrow{a'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{F_{0}}$ II.ZDN w tym układzie poruszającym się wygląda inaczej niż w układzie nieruchomym, pojawiła się dodatkowa siła zwana siłą bezwładności. Rysunek. N = ma_o + mg

Nieinercjalne układy odniesienia - ruch obrotowy Rozpatrzmy układ wirujący ze stałą prędkością kątową ω wokół nieruchomego, inercjalnego układu odniesienia. Rysunek. $\overrightarrow{F_{\text{od}}} = m\omega^{2}\overrightarrow{r}$ – odśrodkowa $\overrightarrow{F_{c}} = 2m(\overrightarrow{v^{'}}\text{x\ }\overrightarrow{\omega}$) – coriolisa

II. ZDN w układzie obracającym się wygląda następująco. $\ \overrightarrow{F'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{F_{\text{od}}} + \overrightarrow{F_{c}}$

Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej

Rys.$\text{\ \ \ \ m}g_{x} = F_{\text{gx}} - F_{\text{od}} = F_{g}cos\varphi - m\omega^{2}r^{} = G\frac{\text{Mm}}{R^{2}}cos\varphi - m\omega^{2}\text{Rcosφ}$

$mg_{y} = F_{\text{gy}} = \frac{\text{Mm}}{R^{2}}\text{sinφ}$ $mg = \sqrt{({mg_{x})}^{2} + ({mg_{y})}^{2}}\ = > g(\varphi)$

$g\left( \varphi \right) = \sqrt{({g_{x}}^{2} + {g_{y}}^{2}}$ $g\left( \varphi \right) = \sqrt{(G{\frac{M}{R^{2}}cos\varphi - \omega^{2}Rcos\varphi)}^{2} + {(G\frac{M}{R^{2}}sin\varphi)}^{2}}$

Siła Coriolisa na Ziemi $\overrightarrow{F_{c}} = 2m\left( \overrightarrow{v}\text{\ x\ }\overrightarrow{\omega} \right)\text{\ \ }$ a) SKŁADOWA NORMALNA $\overrightarrow{F_{\text{CN}}} = 2m(\overrightarrow{v}\text{\ x\ }\overrightarrow{\omega_{\text{CN}}}$) ω_N = ωsinφ  Odchyla ciała poruszające się na północ w kierunku wschodnim. Jest to przyczyna podmywania brzegów rzek, występowania pasatów. Wartość siły Coriolisa dla auta m=1t jadącego z v=100km/h wynosi ok. 5N,skutek do pominiecia. Dla rakiety o zasięgu 100km-odchylenia to ok. 10km. Rysunki. B) SKŁADOWA STYCZNA $\overrightarrow{F_{\text{Cτ}}} = 2m(\overrightarrow{v}\text{\ x\ }\overrightarrow{\omega_{\text{Cτ}}}$) ω_τ = ωcosφ Składowa styczna powoduje odchylenie ciał spadających na Ziemię. Odchyla ciała spadające na ziemię w kierunku wschodnim. Dla y=100m – odchylenie x=1,5cm. RYS!

Praca, moc, energia Elementarna praca związana jest z elementarnym przemieszczeniem. $dW = \overrightarrow{F}*d\overrightarrow{r} = Fdr*cos\alpha$ F_s = F * cosα;   dW = F_s * ds

$W_{\text{AB}} = \int_{}^{}{= \int_{\text{rA}}^{\text{rB}}{\overrightarrow{F}\text{\ d}\overrightarrow{r} = \int_{A}^{B}{F_{s}\text{\ ds}} =}}\int_{A}^{B}{F_{x}\text{dx}} + \int_{A}^{B}{F_{y}\text{\ dy}}$

MOC- wielkość skalarna, którą definiujemy jako pochodną pracy po czasie albo że jest to stosunek pracy elementarnej do czasu, w którym została wykonana ta praca.

$P = \frac{\text{dW}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{F}*d\overrightarrow{r} \right) = \overrightarrow{F}\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}} = \overrightarrow{F}*\overrightarrow{v}$ ENERGIA KINETYCZNA- praca rozpędzania ciała $dW = \overrightarrow{F}*d\overrightarrow{r};\ \ \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} = m\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}d\overrightarrow{r} = m\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}d\overrightarrow{v} = m\overrightarrow{v}d\overrightarrow{v}$ $W = \int_{\text{vA}}^{\text{vB}}\text{mvdv} = \frac{1}{2}mv^{2}\ |_{\text{vA}}^{\text{vB}} = \frac{1}{2}mv_{B}^{2} - \frac{1}{2}mv_{A}^{2}$ Praca rozpędzania równa jest Ek ciała i każde ciało posiadające prędkość, posiada Ek zdolną do wykonania pracy. $W = \frac{1}{2}mv^{2} = Ek$ ENERGIA POTENCJALNA- energia położenia Energia potencjalna pola grawitacyjnego $E_{p} = - G\frac{\text{Mm}}{r};r = R;\ \text{mg} = G\frac{\text{Mm}}{R^{2}};\ \ \text{mg}R^{2} = \text{GMm};\text{Ep} = - \text{mGR}$

Ep=mgh

Zasada zachowania energii mechanicznej i całkowitej z przykładem

Jeżeli w polu grawitacyjnym ziemskim porusza się jakies ciało, i nie występują opory ruchu to Ec ciała nie ulega zmianie w czasie i w każdej chwili jest sumę Ek i Ep, choć one mogą się zmieniać, ale ich suma nie. Ec=Ek+Ep Ec₂=Ec₁ $\text{Ec}_{1} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} + 0$

$\text{Ec}_{2} = \frac{1}{2}mv^{2} + mgh = \frac{1}{2}m\left( v_{0} - gt \right)^{2} + mg\left( v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2} \right) = \ $ $= \frac{1}{2}m{v_{0}}^{2} + \frac{1}{2}mg^{2}t^{2} - \frac{1}{2}m{2v}_{0}gt + mgv_{0} - \frac{1}{2}g^{2}t^{2}m = \frac{1}{2}\text{mv}_{0}^{2}$ Suma wszystkich rodzajów energii w układzie odosobnionym jest stała. Opróćz energii mechanicznej mamy cieplną, el, promieniowania, chemiczną, jądrową. $\sum_{i}^{}E_{i} = const$

Moment siły, moment pędu i związek między nimi

MOMENT SIŁY $\frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{r}x\overrightarrow{p} \right) = \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}\overrightarrow{p} + \frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}}\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}x\overrightarrow{p} + \overrightarrow{r}x\overrightarrow{F}$ Wektor będacy iloczynem wektorowym wektora wodzącego poprowadzonego od osi obrotu do miejsca gdzie przyłożony jest wektor siły i wektora siły. $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{F}$ Przypadki szczególne:

1. α=0 $\overrightarrow{r}\ $|| $\overrightarrow{F}$ M=0 2.$\alpha = \frac{\pi}{2}$ $\overrightarrow{r}$ prost.$\ \overrightarrow{F}$ M=rF

MOMENT PĘDU Wektor zdefiniowany jako iloczyn wektorowy wektora pędzącego i wektora pędu $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{p}$ Przypadki szczególne: 1. α=0 $\overrightarrow{r}\ $|| $\overrightarrow{p}$ L=0 2.$\alpha = \frac{\pi}{2}$ $\overrightarrow{r}$ prost.$\ \overrightarrow{p}$ L=vp=mvr ZWIĄZEK MIĘDZY M a L $\overrightarrow{M} = \frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}(\overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{p}) = \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}x\overrightarrow{p} + rx\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}} = \overrightarrow{v}x\overrightarrow{p} + \overrightarrow{r}x\overrightarrow{F}$

II zasada dynamiki ruchu obrotowego dla bryły

FΔt=Δp F_ksinα_kΔt=p_k-p_o=Δm_kV_k- Δm_kV_ok F_ksinα_kΔt= Δm_kr_kw_k- Δm_kr_kw_o /*r_k

r_kF_ksinα_kΔt= Δm_kr_k² w_k- Δm_kr_k² w_o r_kF_ksinα_kΔt= Δm_kr_k² (w_k- w_o) -dla wybranego punktu bryły ;

Δt$\ \sum_{k = 1}^{n}{r_{k}F_{k}\text{sinα}}$=(w_k- w_o)$\sum_{k = 1}^{n}{m_{k}r_{k}^{2}}$ -dla wszystkich punktów Bryl ; $\sum_{k}^{}{M_{k}t = (\omega - \omega_{o})\sum_{k}^{}{m_{k}r_{k}^{2}}}$ $\sum_{k}^{}{M_{k} = \frac{(\omega - \omega_{o})}{t}}\sum_{k}^{}I_{k}$ M=I*E ;

Pod wpływem stałego zew momentu siły, bryła obraca się ze stałym

przyspieszeniem kątowym, jest ono wprost proporcjonalne do momentu siły i odwrotnie proporcjonalne

do momentu bezwładności.

Moment bezwładności z przykładem obliczeniowym suma po wszystkich elementach bryły z wybranego elementu bryły jest równa I=$\sum_{k = 1}^{n}{m_{k}r_{k}^{2}}$ ,

I=∫r²dm ; bryły jednorodne mają stałą gęstość $\rho = \frac{m_{k}}{V_{k}}$= const. , Δm_k=ρΔV_{k ,} I=$\rho\sum_{k = 1}^{n}{V_{k}r_{k}^{2}}$ dla bryły jednorodnej ( I=ρ∫r_k²dV). Przykład - Moment bezwładności wydrążonego walca: *znajdź taki element

bryły który ma stałą odległość od osi obrotu i definiujemy jego objętość dV=2πrdrl * wstawiamy dV do wzoru i ustalamy granice całkowania: ( I=ρ∫r_k²dV= ρ∫_R1^R₂r²2πrldr=2πρl∫_R1^R₂r³dr) * I=2πρl$\left\lbrack \frac{1}{4}r^{4} \right\rbrack_{R_{1}}^{R_{2}} =$

$\frac{1}{2}$ πρl($R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) = \ \frac{1}{2}$πρl(R₂² − R₁²) (R₂² + R₁²) * wprowadzamy do wzoru masę bryły

m= ρV = ρ(πR₂²l−πR₁²l)=πρl(R₂² − R₁²) → I=$\frac{1}{2}m(R_{2}^{2} + R_{1}^{2}$) .

Zasada zachowania momentu pędu bryły z przykładem

Kręt bryły względem danej osi obrotu to iloczyn jej momentu bezwładności względem tej osi razy wektor prędkości kątowej. Wszystkie punkty materialne tej bryły mają kręty skierowane w tę samą stronę.. Całkowity kręt bryły będącej sumą krętów tych elementarnych mas wyraża się

wzorem: $\overrightarrow{L}$=$\sum_{}^{}{\overrightarrow{I}}_{i}$=$\sum_{}^{}{\text{\ I}_{i}*\overrightarrow{w_{i}}}$= $\overrightarrow{w}\sum_{}^{}\text{Ii}$=I_i$\overrightarrow{w}$ w układzie odosobnionym, czyli w takim w którym nie działają zewnętrzne momenty siły, kręt ciała jest stały, nie zmienia się w czasie . $\overrightarrow{M} = \frac{\text{dI}}{\text{dt}}\ \ ,\ M = 0\ ,\ \ \ \ \frac{\text{dI}}{\text{dt}} = 0 = > \ \overrightarrow{L} = const$.

Przykład; Baletnica trzymając hantle, robi piruet, po pewnym czasie zbliża do siebie hantle. $\overrightarrow{L} = const$ , I₁w₁=I₂w₂, I₁>I₂ ,$\ \overrightarrow{L}$=$\sum_{}^{}{\overrightarrow{I}}_{i}$= const – dla układu ciał , I₂ zmalało bo masa bliżej osi obrotu. Jeżeli I₂ zmalało to w₁ wzrosło.

Zjawisko precesji mechanicznej Bąk symetryczny to bryła obracająca o symetrii obrotowej, wprawiona w ruch dookoła osi geometrycznej. Oś jest swobodna lub podparta. Jest nim zabawka dziecięca, dysk wyrzucany przez dyskobola,

ziemia obracająca się względem własnej osi, wirujący w atomie elektron. Jeżeli na baka nie działają zewnętrzne momenty siły, to zgodnie z ZZKB jego kręt pozostaje stały w czasie co do wartości i kierunku

$\overrightarrow{M}$=$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ =$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{\text{mg}}$ => M=rmgsin(180−θ) = mrgsin0 , Prędkość kątowa precesji – > $\omega_{p} = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$, Δφ=ω_p Δt, skorzystamy ze związku momentu siły a krętem--> M=$\frac{\text{ΔL}}{\Delta t}$ => L = Mt ,   Lsinθω_pt = rmgsinθt  , $\omega_{p} = \frac{\text{rmg}}{L}$=$\frac{\text{mgr}}{\text{Iω}}$. Prędkość Katowa precesji nie zależy od kąta pochylenia bąka i jest wprost proporcjonalny do max momentu siły ciężkości i odwrotnie proporcjonalnie do własnego krętu bąka. $\overrightarrow{M}$= ($\overrightarrow{\text{ωφ}} \times \overrightarrow{\omega}$)*I , Przeciwnie skierowany, żyroskopowy moment

siły utrzymuje bąka w pochyleniu.

Prawo Hooke’a Można stosować do małych odkształceń. Doświadczenie zależności odkształcenia względnego od naprężenia drutu stalowego-wykres. P-granica proporcjonalności, S-granica sprężystości, Pi-obszar plastyczności, M-max naprężenie, granica wytrzymałości, Z-zerwanie. Podejście mikroskopowe-siły oddziaływania sąsiednich atomów w węzłach sieci krystalicznej można przedstawić w funkcji ich wzajemnej odległości.Powyżej osi działają siły odpychania, poniżej przyciągania. Z wykresu widać, że dla malych zmian odległości pomiędzy atomami w obszarze siły zerowej (blisko położenia równowagi). Zależność siły od odległości jest liniowa. Siła oddziaływania pomiędzy atomami jest wprost proporcjonalna do odległości od położenia równowagi.

Rodzaje deformacji, Wydłużenie proste. $\frac{F}{S}$=$E\frac{l}{l}\ $∆l=l-l_o Prawo Hooke’a p=$\text{\ E}\frac{l}{l} = E\lambda$ E-moduł Younga Wydłużenie w kierunku działania siły towarzyszy zmniejszeniu rozmiarów poprzecznych, czyli grubość pręta h_o, ∆h, i ogólnie dla prostopadłościanu: $\frac{\Delta h}{h} = \frac{\Delta\omega}{\omega} = \upsilon\frac{\Delta l}{l}$ Względna zmiana w kierunkach prostopadłych do kierunku działania naprężenia jest wprost proporcjonalna do względnego wydłużenia w kierunku działania naprężenia. Współczynnikiem proporcjonalności jest stała Poissona- bezwymiarowa liczba mniejsza niż 5. Odkształcenia objętościowe. Pod wpływem naprężenia prostopadłego do powierzchni ciała zmniejsza się jego objętość, bez zmiany kształtu.$p = - \kappa\frac{\Delta v}{v}$ κ − modul scisliwosci  $\frac{1}{\kappa}$-współczynnik ściśliwości. Odkształcenia postaci występuje przy zmianie kształtu ciała pod wpływem naprężenia stycznego. $p_{\tau} = \frac{\Delta x}{h}\text{G\ }$ $\frac{\Delta x}{h} = tg\alpha \approx \alpha$ p_τ = Gα G-moduł sztywności

Drgania harmoniczne proste, energia drgań Stały okres, amplituda drgań jest stała, niezmienna w czasie,.-oscylator harmoniczny ; przykłady :wahadło mat.: F=-kx ; F  ∼  x ; ma=-kx; m$\ddot{x}$=-kx ; m$\ddot{x}$+kx=0 ; $\ddot{x}$+$\frac{k}{m}$x=0 $\ddot{x}$+$\omega_{0}^{2} = 0\ ;\ \omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$ ; x(t)=x₀sin((ω₀t + φ) ;

E_k=$\frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}m\lbrack x_{0}\omega_{0}$cos(ω₀t + φ) ]²=$\frac{1}{2}m{x_{0}}^{2}{\omega_{0}}^{2}$cos²(ω₀t + φ) : E_p=$\frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}m\lbrack x_{0}\omega_{0}$sin(ω₀t + φ) ]²=$\frac{1}{2}m{x_{0}}^{2}{\omega_{0}}^{2}$sin²(ω₀t + φ) : Ec=Ek+Ep=$\frac{1}{2}m{x_{0}}^{2}{\omega_{0}}^{2} = const$ W drganiach harmonicznych prostych Ek oraz Ep SA funkcjami czasu, ale ich suma czyli Ec nie zależy od czasu. To oznacza, że dla oscylatora harmonicznego mamy spełnioną ZZEM czyli Ek zmienia się w Ep i podczas tych drgań nie występują straty energetyczne.

Składanie drgań zgodnie skierowanych, Składanie drgań o tych samych pulsacjach, różnych amplitudach i fazach początkowych ; x₁ = A₁cos(ωt + φ₁) ; x₂ = A₂cos(ωt + φ₂) ; x=x₁+ x₂ =A₁cos(ωt+φ₁)+ A₂cos(ωt + φ₂) = Acos(ωt+Ψ) Dudnienia Składanie drgań zgodnie skierowanych o niewiele różniących się pulsacjach, tych samych amplitudach i zerowych fazach początkowych; x₁ = Acosω₁t ; x₂ = Acosω₂t x=x₁ + x₂ = Acosω₁t + Acosω₂t = A(cosω₁t + cosω₂t) = 2Acos$\frac{\omega_{1}t + \omega_{2}t}{2}$ •cos $\frac{\omega_{1}t - \omega_{2}t}{2}$=2Acos$\frac{\omega_{1} + \omega_{2}}{2}t \bullet$cos$\frac{\omega_{1} - \omega_{2}}{2}t$ = 2Acos$\overset{\overline{}}{\omega}$ tcos$\frac{\omega}{2}$t ; $\overset{\overline{}}{\omega} = \frac{\omega_{1} + \omega_{2}}{2}$ ; ω=ω₁ − ω₂ ; Drganie wypadkowe można uważać za ruch harmoniczny ze średnią pulsacją $\overset{\overline{}}{\omega}$ i wolnozmiennej amplitudzie zmieniającej się z pulsacją $\frac{\omega}{2}$ od 0 do wartości 2A. Tego typu zmianę amplitudy nazywamy dudnieniem. Odległość między maksimami amplitudy drgania wypadkowego to okres dudnień T_d; cos$\frac{\omega}{2}T_{d} = 1$ ; $\frac{\omega}{2}T_{d} = \pi$ ; ω=$\frac{2\pi}{T_{d}}$ ; $T_{d} = \frac{2\pi}{\omega_{1} - \omega_{2}}$= $\frac{1}{V_{1} - V_{2}}\ $;

Składanie drgań prostopadłych

Jedno odbywa się wzdłuż osi x, drugie wzdłuż osi y; a) przypadek ogólny składania drgań o tych samych pulsacjach różnych amplitudach oraz o dowolnym przesunięciu fazowym; x=acosωt ; y=bcos(ωt − φ); przeprowadźmy operację eliminację czasu z tych równań, wówczas bezczasowe równanie opisuje tor drgania wypadkowego, jest nim elipsa wpisana w prostokąt o bokach 2a i 2b dla dowolnego przesunięcia fazowego ; $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{2xy}{\text{ab}}cos\varphi = \sin^{2}\varphi$ , Przypadki szczególne: Prosta. φ=0 , x=acosωt y=bcosωt y=$\frac{b}{a}x$ Okrąg. a=b $\varphi = \frac{\pi}{2}$ x=acosωt y=acos(ωt - $\frac{\pi}{2}$) x=acosωt y=asinωt x²+y²=a²

Drgania tłumione Jeżeli jakieś ciało drga pod wpływem siły harmonicznej i dodatkowo pojawiają się opory ruchu, a więc siła oporu jest proporcjonalna do prędkości drgań to takie drgania nazywamy drganiami tłumionymi, energia tych drgań maleje w czasie, a więc również amplituda drgań maleje w czasie. F_s=-kx ; F_o = −rV ( r- współczynnik oporu) ; F_s+F_o=ma ; ma+rv+kx=0 ; m$\ddot{x} + r\dot{x} + kx = 0$/:m ; $\ddot{x}$+ $\frac{r}{m}\dot{x}$ + $\frac{k}{m}x$=0 ; $\frac{r}{m} = 2\beta$(współ. tłumienia) ; $\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}$ (pulsacja drgań własnych) ; równanie drgań: $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$ ; x=x₀e^−βtsin(ωt + φ) ; rozwiązaniem równania drgań tłumionych jest równanie w którym amplituda maleje z czasem jak : A=A₀e^−βt , a drgania odbywają się z nową pulsacją która jest równa $\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$ ; x= A₀e^−βt sin(ωt + φ)

Parametry drgań tłumionych 1)Dekrement logarytmiczny tłumienia : log. naturalny stosunku dwóch następujących po sobie amplitud czyli amplitud odległych w czasie o okres drgań tłumionych : ∧=ln$\frac{A(t)}{A(t + T)} = ln\frac{A_{0}e^{- \beta t}\ }{A_{0}e^{- \beta(t + T)}}\ $= ln$\frac{A_{0}e^{- \beta t}\ }{A_{0}e^{- \beta t}e^{- \beta T}\ }$=lne^βT=βT 2)czas relaksacji (τ): czas po którym amplituda drgań maleje e razy : A=$\frac{A_{0}}{e};\ $ ln$\frac{A_{0}}{\frac{A_{0}}{e}}$=1=βτ ; β = τ⁻¹ (współczynnik tłumienia jest równy odwrotności czasu relaksacji) ; Niech N będzie liczbą pełnych drgań odpowiadającą czasowi relaksacji wówczas można zapisać: τ=NT ; T=$\frac{\tau}{N}$ ; $\land = \beta T = \frac{1}{\tau}T = \frac{1}{\tau}\frac{\tau}{N} = N^{- 1}$ ; dekrement logarytmiczny tłumienia jest wielkością fizyczną równą odwrotności liczby drgań po których amplituda maleje e razy. 3)rodzaje drgań tłumionych ze wzg. na wielkość tłumienia: *tłumienie bardzo małe ω ≈ ω₀ *−duże ; ω ≠ ω₀ ; $\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$ *drgania krytyczne : β=ω₀ ; ω=0 ; T→∞ *drgania aperiodyczne β > ω₀

Drgania wymuszone Pkt materialny pod wpływem siły sprężystości wykonuje drgania z częstością własną. Gdy pojawiają się opory ruchu częstość ulega zmianie. Można wymusić drgania tego pktu z dowolną inną częstością, jeżeli dodatkowo zadziała siła zewn. zmieniającego się okresowo o nowej częstości : F_w = F_ocosΩ t ; F_s = −kx ;  F_o = −rv ; F_w + F_s + F_o = ma ; ma+rv+kx=F_ocosΩ t ; m$\ddot{x} + r\dot{x} + kx$=F_ocosΩ t/:m ; $\ddot{x}$+ $\frac{r}{m}\dot{x}$ + $\frac{k}{m}x$=$\frac{F_{o}}{m}\text{\ cosΩ}$ t ; $\frac{r}{m} = 2\beta$ ; $\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}\ $; $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_{0}^{2}x$ = $\frac{F_{o}}{m}\text{\ cosΩ}$ t. To jest dynamiczne równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Rozwiązaniem tego równania jest równanie na drgania wymuszone o skokowej amplitudzie, o pulsacji siły wymuszającej i opóźnionej fazie względem siły wymuszonego φ

Równanie fali $y = y_{o}\text{sinω}\left( t - t^{'} \right) = y_{o}\text{sinω}\left( t - \frac{x}{v} \right) = y_{o}\sin\left( \omega t - \frac{\text{ωx}}{v} \right) = y_{o}\sin\left( \frac{2\pi t}{T} - \frac{x2\pi}{\text{Tv}} \right) = y_{o}sin2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\gimel} \right)\ $ ℷ = vT $k = \frac{2\pi}{\gimel}$ y = y_osin(ωt−kx)

Fale stojące rozważamy nałożenie się 2 identycznych fal biegnących w kierunkach przeciwnych: y₁=Asin2 π($\frac{t}{T}$ - $\frac{x}{\lambda}$) oraz y₂=Asin2 π($\frac{t}{T}$ + $\frac{x}{\lambda}$), y=y₁+y₂= A[sin2 π($\frac{t}{T}$ - $\frac{x}{\lambda}$)+ sin2 π($\frac{t}{T}$ + $\frac{x}{\lambda}$)]= 2Asin$\frac{2\ \pi\left( \frac{t}{T}\ - \ \frac{x}{\lambda} \right) + 2\ \pi(\frac{t}{T} + \ \frac{x}{\lambda})\ }{2}\cos\frac{2\ \pi\left( \frac{t}{T}\ - \ \frac{x}{\lambda} \right) - 2\ \pi(\frac{t}{T} + \ \frac{x}{\lambda})}{2}$=2Asin $2\ \pi\frac{t}{T}cos( - 2\pi\frac{x}{\lambda}$)= 2Acos2$\ \pi\frac{x}{\lambda}2\ \pi\frac{t}{T}\ $ ; amplituda fali- A(x)=2Acos2$\ \pi\frac{x}{\lambda}$ ; A(x)=0 -> cos2$\ \pi\frac{x}{\lambda}$=0 -> 2$\ \pi\frac{x}{\lambda}$=$\frac{\pi}{2}$(2m+1) -> x_w=$\frac{2m + 1}{4}$* λ -węzły ; A(x)=1 -> cos2$\ \pi\frac{x}{\lambda}$=1 -> 2$\ \pi\frac{x}{\lambda}$= πm -> x_s=$\frac{m}{2}\ \lambda - \text{strzalki}$.

Prędkość dźwięku w cieczach, ciałach stałych i gazach *w ciałach stałych, podłużne- V_||=$\sqrt{\frac{E}{\rho}}$ -> stal(5050$\frac{m}{s}$)-lód(3260$\frac{m}{s})\ ,\ poprzeczne\ $V=$\sqrt{\frac{G}{\rho}}$ stal(3300m/s) l

ód(1990m/s); *w cieczach: V_||=$\sqrt{\frac{K}{\rho}}$ -> woda 1500m/s , spirytus1180m/s; *w gazach V_||=$\sqrt{\frac{K}{\rho}}$, V=$\sqrt{\frac{\text{pϰ}}{\rho}}$ ; załóżmy że proces przekazu drgań pomiędzy cząsteczkami gazu jest procesem adiabatycznym tzn. zachodzi na tyle szybko że nie ma wymiany ciepła z otoczeniem. Powietrze 340m/s, tlen 320 m/s.

Pomiar prędkości dźwięku a) w powietrzu-metoda Quincek’go $\lambda = cT = \frac{c}{v}$ $\frac{\lambda}{2} = \Delta h \rightarrow \ \lambda = 2\Delta h$ 2∆hv=c b) w ciałach stałych (metalach) – metoda Kundta λ_p = V_pT λ_m = V_mT $\frac{\lambda_{m}}{\lambda_{p}} = \frac{V_{m}}{V_{p}}$ $V_{m} = V_{p}\frac{\lambda_{m}}{\lambda_{p}}$ $\frac{\lambda_{m}}{2} = L \rightarrow \ \lambda_{m} = 2L$ $\frac{\lambda_{p}}{2}n = l \rightarrow \ \ \lambda_{p} = \frac{2l}{n}$ Ciśnienie gazu cząsteczki gazu poruszają się chaotycznie z dużymi prędkościami i zderzają się ze ściankami naczynia doskonale sprężyście wywierając na nich ciśnienie. Rozmiary cząstek i ich oddziaływania pomijamy. Rozważmy kulisty zbiornik o promieniu R z gazem doskonałym. Zderzenie cząsteczki jest doskonale

sprężyste Δp_i=p_icosφ_i-(-p_icosφ_i )=2p_icosφ_i=2m₀v_icosφ_i Δp_i=F_it_i. Skorzystajmy z II ZD (zmiana pędu równa popędowi siły) niech nasza cząsteczka ma prędkość vi i przebywa drogę li w czasie ti;

li=viΔti li=2Rcosφi 2m_oV_icosφi = Fi2Rcosφi $\frac{1}{3}m_{o}n_{o}v^{2} = p$

Temperatura gazu, E_k=1/2m₀v² średnia energia kinetyczna przypisana pojedynczej cząsteczce p=1/3m₀n₀v² m₀v²=3p/n₀ E_k=3p/2n₀ n₀=N/V=p/kT R/N_A=k=1,38*10^-23J/K E_k=3/2KT temperatura jest wielkością statystyczną jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek. Srednia energia kinetyczna pojedynczych cząsteczek gazu jest wprost

proporcjonalna do temperatury. Jak temperatura rośnie to Ek też.

Zasada ekwipartycji energii wartość prędkości poruszającej się w przestrzeni cząsteczki może być określona poprzez jej składowe v²=v²_x+v²_y+v_z² Analogicznie możemy zapisać dla wartości średnich v²=v²_x+v²_y+v_z²

3/2kT=m₀v₂/2=m₀/2 (v²_x+v²_y+v_z² )=m₀v_x²/2+ m₀v_y²/2+ m₀v_z²/2 v²_x=v²_y=v_z² =1/3v²

wszystkie kierunki równouprawnione m₀v_x²/2+ m₀v_y²/2+ m₀v_z²/2=1/2kT to jest zasada ekwipartycji energii czyli jej równomiernego podziału między stopnie swobody Ek=i/2 kT Stopnie swobody i: i=3-1at i=5-2at i=6-3+at

Pojemność cieplna gazów Pojemność cieplna to stosunek ilości ciepła dostarczonego do układu do odpowiadającego mu przyrostu temperatury. $C = \frac{\text{dQ}}{\text{dT}}$ C-pojemność cieplna Q-energia cieplna Pojemność cieplna przypadające na jednostkę masy to ciepło właściwe, a na 1 mol to molowe ciepło właściwe. C=m*c m-masa subst c-ciepło właściwe C=M*c M-masa molowa W przypadku układów zawierających fazy nieskondensowane często konieczne jest jeszcze rozróżnienie warunków, w których mierzona jest pojemność cieplna. *dla przemiany izochorycznej V=const $C_{v} = (\frac{\text{dQ}}{\text{dT}})$ *dla przemiany izobarycznejj p=const $C_{p} = (\frac{\text{dQ}}{\text{dT}})$ $C_{v,1at} = \frac{3}{2}R$ $C_{v,2at} = \frac{5}{2}R$ C_v, 3at = 3R Cp=Cv+R $C_{p,1at} = \frac{5}{2}R$

I zasada termodynamiki z zastosowaniem Ciepło dostarczone do gazu znajdującego się pod tłokiem jest zużywane na wzrost energii wewnętrznej związanej ze wzrostem temp. oraz na pracę jaką wykonuje gaz zwiększając swoją objętość. Q = U + W

a)przemiana izotermiczna, T=const ; U = 0 ;  Q = W ;  całe dostarczone ciepło do gazu jest zużywane na pracę dW=pdV ; pV=nRT ; P=$\frac{\text{nRT}}{V}$ ; dW=$\frac{\text{nRTdV}}{V}$ ; W$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{\text{nRTdV}}{V}$=nRT$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{\text{dV}}{V} =$nRT(lnV₁-lnV₂)=nRT ln $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ =W=Q, b)przemiana izobaryczna, p=const ; Q = U + W ; Q = U + pV ; pV₁=$\frac{m}{\mu}$RT₁ ; pV₂=$\frac{m}{\mu}$RT₂ ; pV₁- pV₂= $\frac{m}{\mu}$RT₁-$\ \frac{m}{\mu}$RT₂ ; pV=$\frac{m}{\mu}$R∆T ; Q = mC_pT ; $C_{p} = \frac{Q}{mT}$ ; mC_pT=$\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}RT + \frac{m}{\mu}RT$ ; $C_{p} = (\frac{i}{2} + 1)\frac{R}{\mu}$(ciepło właściwe) ; C_p = C_pμ ; $C_{p} = (\frac{i}{2} + 1)R$ (ciepło molowe wł.) c)przemiana izochoryczna V=const, W=0 ; Q = V ; Q = mC_pT ; $C_{V} = \ \frac{Q}{mT}$ [$\frac{J}{kg*T}$] ; $mC_{V}T = \frac{i}{2}\frac{m}{\mu}\ RT$ ; $C_{V} = \frac{i}{2}\frac{R}{\mu}$ (właściwe) ; $C_{V} = \frac{i}{2}\text{R\ }$(molowe) ; $C_{p} = C_{V} + \frac{R}{\mu}$ ; C_p = C_V + R, d)przemiana adiabatyczna (równanie adiabaty) Q = 0 (bez wymiany ciepła praca kosztem zmniejszenia energii wewn.);dW=-dU ; dla jednego k mola gazu : pdV=C_VdT ; pdV+C_VdT=0 ; p=$\frac{\text{RT}}{V}$ ; $\frac{\text{RT}}{V}$dV+C_VdT=0 /:T ; R$\int_{}^{}\frac{\text{dV}}{V} +$ $C_{V}\int_{}^{}\frac{\text{dT}}{V}$=0 ; RlnV+C_VlnT=const, ale R=C_p- C_V ; (C_p- C_V)lnV+ C_VlnT=const ; V^{C_p −  C_V}T ^C_V = const ;   $V^{\frac{C_{p} - \text{\ C}_{V}\ }{\text{\ C}_{V}}}$T =const ; V^{ℵ − 1}T = const,  ale T= $\frac{\text{pV}}{R}$ ; PV^ℵ = const ;obliczamy pracę w przemianie adiabatycznej: W=−C_VdT= − C_V(T₂-T₁), dla masy m: W= − $\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}$R(T₂-T₁), e)przemiana politropowa (równanie politropy) – to przemiana przy której ciepło właściwe przyjmuje dowolnie wybraną stałą wartość C: dQ=dU+pdV ; dQ=CdT ; dla jednego k mola gazu : dU= C_VdT ; CdT=pdV+ C_VdT ; przeprowadzając obliczenia analogicznie jak w adiabacie otrzymujemy ale T= $\frac{\text{pV}}{R}$ ; $V^{\frac{C_{p} - \text{\ C}_{V}\ }{\text{\ C}_{V} - C}}$+1T=const ; n= $\frac{C_{p} - \ C}{\text{\ C}_{V} - C}$ ; pVⁿ=const

II zasada termodynamiki, Cykl Carnota

Niemożliwe jest zbudowanie silnika perpetuum mobile 2 rodzaju co oznacza: czyli takiego który zmieniałby ciepło na pracę bez strat energetycznych. $\eta = \frac{W}{Q_{1}}$ ; W=Q₁ −  Q₂ ; η =$\frac{Q_{1} - \ Q_{2}}{Q_{1}}$ ; η- sprawność silnika, Q₁- całkowite ciepło pobrane ze źródła ciepła , Q₂- ciepło oddane.Rozpatrzmy uproszczony silnik na cyklu zamkniętym zwanym cyklem Carnota. Składa się on z dwóch izoterm i dwóch adiabat, jest odwracalny, może działać w obie strony, tzn. pobierać ciepło z chłodnicy i pracę dostarczoną z zewnątrz i oddać ciepło grzejników.

1→2 – rozprężanie izotermiczne T₁=const , V₁=V₂ (rośnie), obliczamy pracę: W₁=$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\text{pdV} = \ \int_{V_{1}}^{V_{2}}{\text{nR}T_{1}\frac{\text{dV}}{V}}$= nRT₁ln$\frac{V_{2}}{V_{1}}$=Q₁ 2→3 rozprężanie adiabatyczne T₁→T₂ , V₃ > V₂ ; W₂=-dU=nC_V(T₁-T₂), ciepło pobrane =0, 3→4 sprężanie izotermiczne T₂=const , V₃→V₄; W₃=∫_V3^V₄pdV=$\int_{V_{3}}^{V_{4}}{\text{nR}T_{2}\frac{\text{dV}}{V}}$= nRT₂ln$\frac{V_{4}}{V_{3}}$=-Q₂ 4→1 sprężanie adiabatyczne T₂-T_1, V₄→V₁ ; W₄ =-dU= nC_V (T₂-T₁) ciepło oddane = 0 ;

𝜂=$\frac{Q_{1} - \ Q_{2}}{Q_{1}}$=$\frac{W}{Q_{1}}$=$\frac{W_{1} + W_{2} + W_{3} + W_{4}}{Q_{1}}$ ; 𝜂=$\frac{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} + \text{nR}T_{2}\ln\frac{V_{4}}{V_{3}}}{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}$= $\frac{\text{nR}(T1 - T2)ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}$= $\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}$ Wzór na sprawność cyklu Carnota mówi nam że ta sprawność zależy od skrajnych temperatur cyklu. Nie zależy od ciała znajdującego się pod tłokiem.

Równanie Bernoulliego z przykładem

Jako wynik przepływu można uważać zniknięcie cieczy w objętości V₁ i pojawianie się jej w obj V₂. Do tego przepływu zastosujemy ZZEM. Masa cieczy w obu obj jest taka sama. S₁V₁= S₂V₂ ,

S₁dx₁=S₂dx_{2 ,} E₁=E_k1+E_p1=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₁dx₁V₁²₊ ρS₁dx₁gh_{1 ;} E₂=E_k2+E_p2=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₂dx₂V₂²₊ ρS₂dx₂gh₂ ;

dW=E₂-E₁ ; Przyrost energii powstaje kosztem pracy ciśnienia na przekrojach. dW=p₁S₁dx₁- p₂S₂dx₂

-> p₁S₁dx₁- p₂S₂dx₂=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₂dx₂V₂²₊ ρS₂dx₂gh₂-$\frac{1}{2}\text{ρS}$₁dx₁V₁²₊ ρS₁dx₁gh₁

_; $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2}$₊ ρgh₁+p₁= $\frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$₊ ρgh₂+p₂=const ; równanie- $\frac{\rho V^{2}}{2} + \rho gh + p = const$

przykład- pozioma rura _; $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2}\ $+p₁ = $\frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$+p₂ ; _; $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2} - \frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$ =p₂-p₁= ρg(h₂−h₁) < 0 rys.

Ciecze lepkie, jedna z metod wyznaczania lepkości

idealnie lepkie ciecze nazywamy Newtonowskimi. $\frac{F}{S} = N\frac{\text{du}}{\text{dx}}$ -> $\tau = \ N\dot{\gamma}$ ; płyn newtonowski(doskonale lepki) model lepkości płynów wprowadzony przez Newtona wykazujący liniową zależność naprężenia ścinającego od szybkości ścinania ,gdzie: N− lepkość dynamiczna, dla płynu newtonowskiego jest

to wartość stała. wyznaczanie lepkości- metoda stokesa: F_s=6π NrV, siła działająca na poruszającą się kulkę w cieczy lepkiej.