Rozkład Gaussa

Zmierzono 10 razy wartość rezystancji otrzymując wyniki

LP.	R[Ω]	$$\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}$$	Ri	ΔRi^2	$$\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{10}}{\mathbf{\Delta}\mathbf{R}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$$	ΔRi>3*δ_r
1	10,08	10,08	0	0	25x10^-4	-
2	10,01		0,02	4x10^-4		-
3	10,09		0,01	1x10^-4		-
4	10,07		-0,01	1x10^-4		-
5	10,06		-0,02	4x10^-4		-
6	10,01		0,02	4x10^-4		-
7	10,08		0	0		-
8	10,07		-0,01	1x10^-4		-
9	10,09		0,01	1x10^-4		-
10	10,05		-0,03	9x10^-4		-

Wyznaczyć błąd pomiaru i podać wynik

Algorytm rozwiązania zadania

1. Sprawdzam czy liczba pomiarów n≥10 (n=10)

2. Wyznaczyć wartość średnią pomiaru rezystancji. $\overset{\overline{}}{R} = \ \frac{\sum_{i = 0}^{10}R_{i}}{10}$

3. Dla każdego pomiaru liczę błąd bezwzględny Δ$\mathbf{R}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}\mathbf{= 10,08 - 10,08 = 0}$

4. Dla każdego pomiaru liczę kwadrat błędu bezwzględnego R_i²=(0, 02)²=[2*10⁻²]²=4 * 10⁻⁴ ∖ n5.Liczę sumę kwadratów $\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{10}}{\mathbf{\Delta}\mathbf{R}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 25*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}}$

6. Liczę średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru: $\delta_{r} = \ \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}{R_{i}^{2}}}{10 - 1} =}\sqrt{\frac{\mathbf{25x10}\mathbf{- 4}}{9}} = \frac{5*10^{- 2}}{3} = 1,8*10^{- 2} = 0,018 \approx 0,02$

7. Dla każdego pomiaru sprawdzam kryterium błędu grubego ΔR_i>3 * δ_r ( > 0, 06) 

8. Liczę średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej $\mathbf{\delta}_{\mathbf{r}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\delta}_{\mathbf{r}}}{\sqrt{\mathbf{10}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,02}}{\mathbf{3,16}}\mathbf{= 0,01}$

9. Podaje wynik pomiaru

a) R=$\overset{\overline{}}{R} \pm \delta_{r}$ Kryterium 1-sigmowe

  R = 10, 08Ω ± 0, 01Ω

b) R=$\overset{\overline{}}{R} \pm {3*\delta}_{r}$ Kryterium 3-sigmowe

R = 10, 08Ω ± 0, 03Ω

10. Liczę błąd względny pomiaru

$\mathbf{\delta}_{\mathbf{r}} = \frac{\mathbf{\delta}_{\mathbf{r}}}{R}*100\% = \frac{0,01}{10,08}*100\% = \frac{100}{1008}\% = 0,01\%$

Był to przykład na wyznaczanie błędów przypadkowych metodą Gaussa dla pomiaru pośredniego

Algorytm wyznaczania błędów przypadkowych metodą studenta Gosseta.

1. Sprawdzamy czy liczba pomiarów n < 10;

2. Dla każdej liczby pomiarów n wyznaczam liczbę stopni swobody k k = n − 1;

3. Dla prawdopodobieństwa podanego w treści zadania p i liczby swobody k, odczytuję z tablicy parametr t_p.

4. Wyznaczam średni kwadratowy, średniej arytmetycznej E_w tak jak dla pomiaru bezpośredniego lub pośredniego co wynika z treści zadania.

5. Wyznaczam parametr E jako: |E|=t_p*b_w

6. Podaję wynik pomiaru $\mathbf{w =}\overset{\overline{}}{\mathbf{w}}\mathbf{\pm \ E}$

7. Wyznaczam błąd względny pomiaru $\mathbf{b}_{\mathbf{w}}\mathbf{=}\frac{\left| \mathbf{E} \right|}{\mathbf{w}}\mathbf{*100\%}$

Zadanie

Zmierzono 5x wartość temperatury termometrem oporowym (rezystancyjnym) i otrzymano wyniki (pom. Bezpośredni)

LP.	Ti[[K]	$$\overset{\overline{}}{\mathbf{T}}$$	Ti	ΔTi^2	$$\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{5}}{\mathbf{\Delta}\mathbf{T}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$$	br	Ti>3br	bT
1 2 3 4 5	294,4	294,6	-0,2	4*10^−2	26*10^−2	0,25	-	0,1
	294,5		-0,1	1*10^−2			-
	295,0		-0,4	16*10^−2			-
	294,8		-0,2	4*10^−2			-
	294,7		01	1*10^−2			-

Podać wynik pomiaru z prawdopodobieństwem p= 98% p=0,98 tj%=10^-2 tp=t_0,98=12,28

Rozwiązanie:

1. Sprawdzam czy n<10 (n= 5<10)

2. Wyznaczam liczbę stopni swobody k=n-1= 5-1=4

3. Z tablic odczytuję parametr tp=t_0,98=12,28

4. Wyznaczam średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej

b_T: $\overset{\overline{}}{\mathbf{T}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{5}}\mathbf{T}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{5}}\mathbf{= 294,58 \approx 294,6}$

Δ$\mathbf{T}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{T}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{T}}\mathbf{= 294,4 - 294,6 = - 0,2}$

ΔT_i²=(−0, 2)²−(2 * 10⁻¹)²=4 * 10⁻²s

$\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{5}}{\mathbf{\Delta}\mathbf{T}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 26*1}\mathbf{0}^{\mathbf{- 2}}$

$\mathbf{b}_{\mathbf{r}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{\text{\ \ \ }}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{5}}{\mathbf{\Delta}\mathbf{T}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}}{\mathbf{5 - 1}}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{26*1}\mathbf{0}^{\mathbf{- 2}}}{\mathbf{4}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{*1}\mathbf{0}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{= 2,5*1}\mathbf{0}^{\mathbf{- 2}}\mathbf{= 0,25}$

T_i>3 * 5y(0, 75)

$\mathbf{b}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{b}_{\mathbf{r}}}{\sqrt{\mathbf{5}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,25}}{\sqrt{\mathbf{5}}}\mathbf{= 0,11 \approx 0,1}$

5. Liczę parametr |E| |E|=t_0, 98*b_T=12, 28 * 0, 1 = 1, 228 ≈ 1, 2

6. Podaje wynik pomiaru T=$\overset{\overline{}}{\mathbf{T}}\mathbf{\pm E\ }$ T = 294.6K ± 1, 2K

7. Liczę błąd względny pomiaru

$$\mathbf{b}_{\mathbf{T}}\mathbf{=}\frac{\left| \mathbf{E} \right|}{\overset{\overline{}}{\mathbf{T}}}\mathbf{*100\% =}\frac{\mathbf{1,2}}{\mathbf{294,6}}\mathbf{*100\% =}\frac{\mathbf{1200}}{\mathbf{2946}}\mathbf{= 0,34\%}$$