MODELE INWESTYCYJNE

20.01.2012

Przedmiot jest kontynuacją przedmiotu strategie inwestycyjne. Mamy znać podstawy funkcjonowania rynku kapitałowego, itp. Ale część rzeczy powtórzy, resztę sami sobie powtarzamy.

konsultacje: 404B, czwartki 16-16.30 (jest do naszej pomocy też w czasie konsultacji, korzystać z tego)

konsultacji z mgr Bułą (czyli naszych) nie ma. Jak ktoś chce mieć konsultacje przychodzi do p.prof (jesteśmy studentami prof. w ¾)

egzamin – test jednokrotnego wyboru, obejmuje teorie. Zdawalność powyżej 66% (2/3)

przedmiotu nie da się zaliczyć bez pracy własnej (ten numer nie przejdzie). Zakres pracy własnej jest zdeterminowany dotychczasowym poziomem wiedzy matematyczno-finansowej.

Część merytoryczna

Zakres dzisiejszy:

• Model Sharpe’a, jednoczynnikowy pogłębiony model

• Model CAMP

• Model APT (wieloczynnikowy zwany też modelem arbitrażu cenowego)

• Wieloczynnikowy model Gordona

• Pogłębiona teoria Markowitza

Wszystkie modele są po to stworzone aby optymalizować poziom ryzyka i strukturę portfela. Nieustanne poszukiwanie kompromisu między wzrostem oczekiwanej stopy zwrotu a minimalizacją ryzyka.

Trzy filary do optymalizacji portfela:

• Oczekiwana (lub średnia) stopa zwrotu

• Ryzyko i jego miary (głównie statystyczne miary ryzyka – wariancja, stopa zwrotu, odchylenie stand. stopy zwrotu)

• Związki korelacyjne między stopami zwrotu (poziom kowariancji i współczynnik korelacji liniowej Pearsona)

Model Sharpe’a – jednoczynnikowy model

Istota modelu:

Pochodzą z badań rynków. Wraz z wydłużaniem się horyzontu czasowego inwestycji tym bardziej stopa zwrotu tej akcji jest uzależniona od rynkowej stopy zwrotu. Reszta jest nazwana czynnikiem losowym. Wydłużająca się perspektywa inwestowania upodabnia stopę zwrotu spółki (ri) do rynkowej stopy zwrotu (rn).

W długiej perspektywie czasowej stopa zwrotu rozumiana jako nadzieja matematyczna E(R) pozostaje w liniowej zależności z rynkową stopą zwrotu (stopa zwrotu generowana przez określony indeks giełdowy) dlatego jednoczynnikowy model

Wzór na funkcję liniową y = a +b*x ri = αi + β*Rn

E(ri) = parametr strukturalny i-tej akcji +parametr … i-tej akcji + parametr losowy ξi

E(ri) = αi + βi rn + ξi

Stopa zwrotu dowolnej spółki zależy od rynkowej stopy zwrotu, reszta jest czynnikiem losowym którego wartość oczekiwana w dłuższym czasie wynosi 0.

W długiej perspektywie czasowej każda i-ta akcja upodabnia się do stopy rynkowej. Im dłuższa jest perspektywa czasowa inwestowania tym mniejsze ryzyko inwestycji.

W rachunku ex ante (prognozowane dane) to było wyżej

Funkcja SCL w rachunku ex post (przeszłym) zawiera 2 modyfikacje:

Średnia i-ta akcja.

Wartość oczekiwana jest średnią ważoną (wagami są prawdopodobieństwa wystąpienia tych stanów) ilość stóp/ilość obserwacji

SCL = ri = αi + βi (historyczne) ri (historyczne) (nie występuje czynnik losowy bo są dane historyczne)

Tutaj przedstawiamy graficznie ten wzór

α

Chodzi o minimalizację różnic (metoda najmniejszych kwadratów)

$\sum_{t = 0}^{n}{(\text{ri} - \ \text{αi} - \ \text{βirmt})\hat{}2}$ ma być min.

Powstaje trójkąt prostokątny o kącie α

Przyrosty stopu zwrotu i-tej spółki do … w czasie t daje tg α

Ocena pod dwoma kryteriami:

Punkt przecięcia z y

Kąt nachylenia jako miara systematycznego ryzyka i-tej akcji

Interpretacja kolejnych elementów funkcji SCL:

α wyjaśnia jak w przeszłości rzeczywista stopa zwrotu i-tej spółki kształtowała się na tle oczekiwanej stopie tej spółki

w historycznych danych liczymy: 1. Średnia stopa zwrotu tej spółki 2 średnia stopa np. WIGu 3. Beta i wtedy alfa jest różnicą r średnie i, a czymś tam

Ta odjemna reprezentuje rzeczywiście zrealizowane stopy zwrotu (ile było), odjemnik w postaci iloczynu reprezentuje ten poziom stóp zwrotu jakie powinny się zrealizować w tym czasie ze względu na ryzyko (ile miało być).

Jeżeli αi jest większe od 0 to kursy zachowywały się lepiej niż oczekiwania.

Im wyżej jest punkt przecięcia tym większa jest nadwyżkowa stopa zwrotu.

Jeśli αi = 0 (przecina początek układu współrzędnych) to nie wystąpiła nadwyżkowa stopa – spełniła dokładnie oczekiwania

Jeśli αi < 0 to historyczne kursy są gorsze od oczekiwanych.

Jeśli dotyczy to portfela (min 2 spółek) to jest konieczność liczenia parametru αi dla portfela P, ilość składników k. wypadkową zbioru będzie jego średnia ale nie arytmetyczna.

Wk- wartościowy udział pojedynczej spółki w kapitalizacji portfela

$$\text{αip} = \ \sum_{k = 1}^{n}{\text{wk}*\ \text{αik}}$$

Całkowite ryzyko jakie towarzyszy inwestowaniu w akcje składa się zawsze z sumy dwóch postaci ryzyka: specyficznego (dywersyfikowalne-można dobierać do portfela żeby ograniczać lub nawet wyeliminować) oraz niedywersyfikowalne – niezależne od składników portfela (tymi się zajmujemy-chcemy je zmierzyć)

Miarą ryzyka systematycznego jest kąt nachylenia funkcji SCL.

$$\text{βi} = \ \frac{\text{cor}}{\delta^{2}}$$

$$\text{βi} = \ \frac{\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}{\left( r_{i} - \overset{\overline{}}{r_{i}} \right)(r_{\text{mk}} - \overset{\overline{}}{r_{\text{mk}}})}}{\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}{(r_{\text{mk}} - \ \overset{\overline{}}{{\overset{\overline{}}{r}}_{\text{mk}}}})}$$

Posługujemy się nie nieobciążonym operatorem ale populacją – 1/n

W liczniku kowariancja – nieunormowana miara związku bo oceniamy ja po znaku – interesuje nas tylko znak.

W mianowniku zwykły wzór na wariancję

cov =  σi *  σm *  ρ 

/chyba ten wzór mam do sprawdzenia, coś chyba jest też do uzupełnienia/

Zawsze musi wyjść to samo niezależnie od wzoru (nie mam tu drugiego na betę).

Kowariancja = odchylenie stadn a * odchylenie standardowe b (ogólny wzór)

cov =  σ_a *  σ_b

Kowariancja zawiera się w przedziale od ‘–‘ iloczyn dwóch odchyleń stand do iloczyn odchyleń ze znakiem ‘+’

|ρ_AB| ≤ 1

$$\rho_{n} = \ \frac{\text{cov}\ (a,b)}{\sigma_{a}*\ \sigma_{b}}$$

= 1 – korelacja idealna dodatnia

= -1 – korelacja idealna ujemna

= 0 brak korelacji

Analiza parametru β oraz jego korekty (beta Bluma i beta Vasiček)

Beta = cov/wariancja

Gdyby policzyć kowariancję rynku i rynku to kowariancja jest wariancją stopy zwrotu (w sensie chyba chodzi o to że dzieli się rynek przez rynek, czy tam wariancje przez wariancję).

Beta dla rynku n zawsze jest równe 1.

Jeżeli beta i-tej spółki jest większe od 1 to spółka jest agresywna bo jednostkowa zmiana po x jest większa niż po y, kąt nachylenia jest większa niż 45 stopni – spółka rośnie i spada o więcej niż rynek

Jeżeli beta między (0,1) to spółki degresywne – wrażliwość tych spółek na jednostkowe zmiany rynku jest mniejsza niż proporcjonalna

Jeżeli beta = 0 to instrument jest wolny od ryzyka

Beta < 0 (rzadki przypadek) zachowania stopu zwrotu i-tej spółki są przeciwne do zachowań rynku.

Modele inwestycyjne

05.03.2012

Przypomnienie z interpretacji parametru beta „nie ma nic do zapisania”

Beta jest miarą ryzyka systematycznego tzn. rynkowego. Mierzy tą część ryzyka całkowitego, która nie podlega dywersyfikacji.

Beta dla rynku wynosi zawsze 1

Beta > 1 spółka jest agresywne (ryzyko systematyczne spółki jest większe od ryzyka systematycznego rynku, o tyle więcej ile miejsc dziesiętnych po 1)

Beta < 1 spółka defensywna (degresywna)

Beta = 0 instrumenty wolne od ryzyka (nie może zależeć od rynku)

Korekty parametru beta

Szacowanie danych odbywa się na podstawie danych z przeszłości (historycznych).

Beta jest obciążona pewnym historycznym błędem. Jest inaczej niż z wyliczeń. W praktyce bety mają większe skłonności do korelacji z rynkiem niż to wynika z obliczeń. Ma większą tendencję do oscylowania wokoło 1.

Pierwsza możliwa korekta (prostsza) – Marshall Blume

im większy jest portfel (nie w sensie wartości tylko wielkości składników) tym bardziej stabilna jest beta (bety małych portfeli mają większe tendencje do odchyleń)

błąd oszacowania bety większych portfeli jest mniejszy niż błąd oszacowania mniejszych portfeli.

Wraz z wydłużaniem się horyzontu czasowego dla którego liczymy parametr beta tym większa stabilność tego parametru.

Beta Bluma jest skorygowaną betą surową /w finansach mamy dwie def. bety surowej 1. Nieskorygowana 2. Beta lewarowana. Beta obliczona z giełdy wprost to beta surowa. Bety nie wzięte wprost to są bety lewarowane albo skorygowane/

$$\beta_{B} = \frac{2}{3}\beta_{S} + \frac{1}{3}$$

Ten wzór obniża bety wysokie i podwyższa bety niskie

Beta ½ to beta wysoka, beta

Mankamentem tak rozumianej korekty jest to że ona w prosty sposób uwzględnia błąd próby. Dokładniejszym sposobem korygowania beta jest korekta Vasicka

Beta jest skorygowana błędem próby.

Im większy błąd próby tym większe jego odchylenie od średniej. Im większe odchylenie od średniej tym większy jest kwadrat różnicy czyli większa jest też wariancja.

β_hP β_hi

β_hP Średnia wartość parametru beta z próby (historyczna)

β_hi Parametr beta historyczna danej spółki

Wagami są wariancje … i-tej spółki

Udział ryzyka beta historycznej i-tej spółki

$$\beta_{\text{Vi}} = \frac{\sigma}{}$$

Wzory na kartce

Te dwie metody są po to by uczynić betę dokładniejszą.

Druga koncepcja korygowania beta bierze się z jeżeli beta jest miarą ryzyka systematycznego spółki to najprawdziwsze beta powinno dotyczyć ryzyka związanego z kapitałami własnymi tej spółki. Natomiast beta z giełdy uwzględnia zadłużenie spółki. /wraz z poziomem zadłużenia rośnie poziom ryzyka/.

Beta giełdowa jest betą surową w tym sensie, że uwzględnia poziom zadłużenia spółki, a zatem uwzględnia stopień dźwigni finansowej.

Lewarowanie przy wykorzystaniu dźwigni.

Beta liczona na podst. wzorów z poprzedniego wykładu jest zawsze betą lewarowaną bo uwzględnia …(?)

β_L=

Im wyższy poziom zadłużenia tym niższe beta nielewarowane dla tego samego poziomu bety lewarowanej.

Ryzyko jakie ponosi dawca kap własnego jest większe niż jakie ponosi dawca kapitału obcego. Bo nie ma zagwarantowanego dochodu z tytułu prawa.

Zastosowanie – jeżeli porównuje parametry beta dwóch spółek i wychodzi tyle samo z punktu inwestora na giełdzie ryzyko jest równe, ale z szacując wartość przedsiębiorstwa nie można tego powiedzieć, bo interesuje nas struktura kapitału. Gdy mają różny poziom zadłużenia to ryzyko jednej jest różne od ryzyka drugiej jest inne nawet przy tej samej becie. Trzeba więc betę delewarować.

Ryzyko całkowite spółki.

E(r) = alfa + beta rm + ksi

Beta – miara ryzyka systematycznego

Wariancja – miara ryzyka

E(r) - Miara ryzyka całkowitego

σ² =

Wariancja jest nieunormowaną miarą ryzyka, bo jest nieunormowana wobec średniej (jednostka w jakiej wariancje liczymy nie ma dla nas interpretacji wprost).

Wariancja jest sumą kwadratów odchyleń od średniej i podzielona przez n

Odchylenie standardowe stopy zwrotu jest w punktach procentowych.

Model CAPM (kardynalny) model wyceny aktywów kapitałowych (ważonych ryzykiem)

Jego istotą jest oszacowanie oczekiwanej stopy zwrotu E(r) i E(r) ale raz z uwzględnieniem β, a raz σ²

SML –security market Line, utrzymuje papiery w równowadze (ze względu na ryzyko systematyczne

CML – capital market Line – linia rynku kapitałowego (ze względu na ryzyko całkowite, musi się odnosić do wariancji jako miary ryzyka

SML

Oczekiwana stopa zwrotu E(r) jest sumą dwóch rodzajów premii jakich oczekuje inwestor za ulokowanie kap w ryzykowne aktywa

E(r) =  r_f…

rf – ekwiwalent premii za czas, stopa wolna od ryzyka. Wyznacza próg efektywności który musi być przeznaczony, aby osiągnąć daną stopę zwrotu.

Drugi składnik ((rm-rf)β) – premia za ryzyko ale systematyczne a nie całkowite z powodu bety. – nadwyżka stopy z rynku giełdowego na stopę wolną od ryzyka – premia za ryzyko rynkowe.

Jeżeli mam 6% bez ryzyka, a 15% wynosiła stopa zwrotu z najszerszego wigu to 15-6 = 9. 9% to premia za ryzyko.

(Jeżeli nie ma drugiej części?) to oczekiwana stopa zwrotu to rf

Wykres

Beta – miara ryzyka systematycznego

Poziom stopy zwrotu jakiej oczekuję – r

/w normalnych warunkach rm jest większe od rf/

Na tej linii leżą wszystkie akcje i portfele będące w równowadze.

Przyrostowi ryzyka systematycznego towarzyszy wzrost stopy zwrotu proporcjonalnie do funkcji SML.

Wyznaczamy to po to aby wiedzieć, które portfele nie są w równowadze.

Można nie być w równowadze na dwa sposoby – nad linią albo pod linią SML

A –spółki nadaktywne, stopa zwrotu wyższa niż SML. Portfele niezrównoważone, ale dominuje stopa zwrotu nad ryzykiem. Są one dla inwestora efektywne. Nie oceniamy stopnia tej efektywności bo nie ta miara. (spółki niedoszacowane - kosztują mniej niż są warte)

B – pod funkcją, portfele nie będące w równowadze. Ich stopy zwrotu są zbyt niskie w stosunku do ich ryzyka systematycznego. (spółki przeszacowane-kosztują więcej niż są warte) /koszt – akceptacja określonego poziomu ryzyka/

W dłuższej perspektywie czasu wszystkie portfele i akcje dążą do lokowania się na linii SML - są zrównoważone. (regulują nimi popyt i podaż)

Im dłuższa perspektywa inwestowania tym mniejsze ryzyko (większe prawdopodobieństwo że akcje będą się zachowywały tak jak rynek)

Oczekiwana stopa zwrotu z uwzględnieniem ryzyka całkowitego CML

E(r) = …

Premia za ryzyko całkowite (wariancja i odchylenie)

Cena jednostki całkowitego ryzyka to jest ułamek w tym wzorze

Na CML leża akcje i portfele efektywne.

Nad linią o nadproporcjonalnej efektywności

Pod linią o niedostatecznym poziomie efektywności.

Podst różnica to że w cml wyliczamy ryzyko za oba ryzyka a w sml tylko za ryzyko systematyczne

Modele inwestycyjne

19.03.2012

Model wieloczynnikowy MIM (Multi index model)

Model arbitrażowy /ma trzy różne nazwy/ – APM- model arbitrażu cenowego, APT- teoria arbitrażu cenowego, Ross1976

Te modele biorą się z twórczej krytyki modelu sharpe’a (MIM) i krytyki modelu CAPM (APM).

Źródła krytyki (krytyka konstruktywna, a nie odbierająca walory poznawcze):

Zbyt często nie zgadza się ze akcje stopy zwrotu akcji i portfeli nie zawsze są zgodne ze stopami zwrotu teoretycznymi – rozjazd poznawczy pomiędzy tym co dostajemy, a co powinniśmy dostać. Jest to ‘rozjazd’ dwukierunkowy i nie można go przewidzieć.

• Nadmierna koncentracja na rynkowej stopie zwrotu. Oparcie na rynkowej stopie zwrotu jest uproszczeniem. Względem rynkowej stopy zwrotu ustalam betę (jako miara ryzyka systematycznego) to beta też jest nadmiernym uproszczeniem. Rm zamieniamy na wiele czynników model wieloczynnikowy, beta też rozbita na szereg miar wrażliwości

• Jeżeli beta byłoby w pełni poprawną miarą ryzyka to beta wyliczona ex post z 3 m-cy i z roku powinna być na podobnym poziomie, a nie jest. Za betą muszą stać jakieś czynniki, które pomijamy (a nie pomijamy ich w MIM i APT)

MIM – rozwinięcie Sharpe’a, a APT rozbudowanie CAPM

Metodyczne sposoby pokonania niedostatków modelu Sharpe’a

• Nie wolno się koncentrować na jednym czynniku – Rm zamieniamy na szereg czynników od których jest ona zależna (czynniki które kształtują rynek). Dekompozycja czynników kształtujących kierunek zmian na giełdzie

• Oba modele obierają się o analizę ryzyka systematycznego (lub głównie jego) i to kontynuujemy. Tylko dalej nie ma jednego parametru beta tylko ciąg parametrów beta.

Dekompozycja rynkowej stopy zwrotu i współczynnika beta na wartości Multi.

Wyodrębnienie najmniejszej ilości czynników aby można był omówić o wielo- to dwa.

/to samo też na kartce dla jasności wyrazu z wzorami/

X1 – PKB

X2 – inflacja (I)

β_1i X1

β_2i X2

β_1i - Mierzy jaka jest wrażliwość stopy zwrotu i-tej spółki na jednostkowe zmiany i-tego czynnika.

β_2i – mierzy o ile zmieni się stopa zwrotu i-tej spółki gdy inflacja zmieni się o 1%

E(ri) =

Problem z graficznym prezentowaniem wyników. Jeśli wyodrębnimy jeden czynnik to jest sharpe i prosta SML. Dla dwóch czynników trzeba wprowadzić oś Z.

Jedna oś dotycząca zmiennej zależnej Ri, druga oś to beta1, a trzecia to beta2.

Przy metodzie najmniejszych kwadratów otrzymujemy płaszczyznę najlepszego dostosowania. Szukamy spółek leżących nad tą płaszczyzną – niedowartościowane (atrakcyjne) i pod nią – przewartościowane (nieatrakcyjne).

O ile funkcja SCL jest funkcją dla jednej zmiennej to ta płaszczyzna jest funkcją dla dwóch zmiennych.

Ryzyko całkowite w modelu MIM co do intencji jest rozumiane tak samo jak ryzyko całkowite w modelu jednoczynnikowym – wariancja odchyleń stóp zwrotu (?) (kwadrat różnic).

Ich zachowania są podobne (dekompozycja ryzyka całkowitego):

σ^2 =

dekompozycja w części ryzyko systematyczne i ryzyko specyficzne

Jakie to ma zastosowanie?

MIM jest z reguły lepszy. Błąd jest mniejszy od błędu modelu jednoczynnikowego.

Bez różności postaw inwestorów względem tych samych informacji nie byłoby giełdy. MIM

Model arbitrażowy

Arbitraż –

Hedging – zabezpieczanie się przed ryzykiem.

Ryzyko pełni funkcję antydobra – jeżeli kupuję ryzyko to mi za to płacą, jeśli je sprzedaję to muszę za nie płacić. Zabezpieczenie pozycji jest dobrem (jak się zabezpieczam to muszę płacić, mnie płacą jak oferuję zabezpieczenie)

Handlujemy ryzykiem.

Prawo jednej ceny (?)

Rozważamy portfel składający się z dwóch spółek A (o ryzyku r_A) i B (o stopie zwrotu r_B)

/na kartce/

r_A

r_B

mają ten sam poziom ryzyka

stopa zwrotu ma cztery możliwe ‘wyglądy’

jeśli PA = PB to nie jest możliwy arbitraż

ale jak t=1 i r_{A >} r_B

jest możliwy arbitraż

można stworzyć portfel syntetyczny o zerowym nakładzie początkowym

r_{A –} r_{B arbitrażowa stopa zwrotu}

jeśli tak jest to tak rozumiany arbitraż jest podstawą wyceny akcji, która prowadzi poprzez model wieloczynnikowy do modyfikacji funkcji SML w modelu CAPM

Modele inwestycyjne

02.04.2012

APT

Musi być skojarzone z modelem wieloczynnikowym.

APT to szczególna postać modelu wieloczynnikowego. /Wprost kojarzony z modelem CAPM./

W tej teorii najważniejsze zrozumienie teorii arbitrażowej.

Nabywam akcję dwóch różnych spółek. Cena wyjściowa akcji jest taka sama, ale różne są stopy zwrotu. Arbitraż to osiąganie zysku bez ryzyka poprzez równoczesny zakup i sprzedaż danego towaru na różnych rynkach. Sprzedaje akcje o niższej stopie zwrotu i nabywam akcje o wyższej stopie zwrotu.

/wzór na MIM - przypomnienie na kartce – 1./

(…)

Jeżeli wyceniam portfel na moment obecny to = 0. Jeżeli wyceniam go dynamicznie to stopa zwrotu wolna od ryzyka.

Jeżeli stopa portfela arbitrażowego wynosi 0 to alfai (?) tez jest 0.

Przy pomocy przyrównania wartości portfela do 0 możemy wyliczyć na ile każdy czynnik joty determinuje wartość dowolnej akcji której stopa zwrotu już nie wynosi 0.

/jak MIM przekształca się w APT -2/

Ksi i jest czasem pomijana przy dużej liczbie czynników (dąży do 0) (nie podaje się jaka to jest duża liczba czynników).

Współczynnik wrażliwości Beta ji

Ta różnica dla każdego czynnika oznacza premię dla każdego czynnika.

Jeżeli k dąży do nieskończoności to ksi i dąży do 0.

Musimy znać dekompozycję czynnika (?)

Cel jest we wszystkich modelach taki sam – ile powinienem zarobić przy założeniu nie mniej niż.

Przykład.

Analizuje stopę zwrotu społka A

E(ra) = rf + beta1aλ1a+beta2aλ2a /jest na kartce3/

k = 2 (najmniejsza ilość jaką możemy wyodrębnić

λ = Xi – rf

czynnik 1 – zmiana stopy inflacji.

X1 = 0,07

X2 = 0,08

rf = 5%

β 1a = 0,5

β 2a = 1,5

Jeżeli inflacja zmieni się o 1% to inflacja spółki zmieni się o 5%

/rozw na kartce/

Użyteczność modelu APT

Stopy zwrotu oszacowane modelem APT lepiej aproksymują rzeczywistość niż model CAPM.

Spółka jest niedowartościowana jeśli leży nad linią APT, jeśli jest stopa równa tej z oszacowaną to dobrze oszacowana, jeśli jest niższa to spółka jest przeszacowana

Model wieloczynnikowy oraz APT wyjaśniają większą część wariancji stopy zwrotu względem wyjaśnień uzyskanych z modelu CAPM i modelu Sharpe’a.

Udział czynnika losowego w wyjaśnianiu ryzyka całkowitego jest większy w modelu Sharpe’a i CAPM niż w modelach MIM i APT.

Model Gordona

Model gordona szacuje wartość akcji w pieniądzu (wracamy do ujęcia wartościowego a odchodzimy od ujęcia stop zwrotu.

Wartość obliczona metodą Gordona pomnożona razy sumaryczną wielkość emisji daje wartość spółki.

Zakładamy że jedynym dochodem jaki generuje akcja jest dywidenda, którą będziemy oznaczać DIV lub FCF (free Cash flow).

Model gordona bazuje na rozróżnieniu pomiędzy wartością wewnętrzną akcji, a wartością dochodową akcji.

Wartość wewnętrzna akcji (WWA) i wartość dochodowa akcji (WDA)

WWA – zdyskontowana suma przychodów jakie akcja generuje.

WDA – zdyskontowana suma dochodów jakie akcja generuje.

WWA = Pn*(1+r)^-n + Σ DIVt (1+r)^-t /w ujęciu dyskonta dyskretnego – dla zmiennych…/

Pn - Cena sprzedaży (nominalna wartość)

Strumień dywidend (?)

DIVt - Poziom dywidendy w okresie tetym

Dochód z tytułu różnicy kursu oraz strumień dywidend. (wydatek)

Sprowadzamy to do wartości roku bieżącego (wydatek)

WWA = Pn*e^(-r*n) + Σ DIVt e^(-r*t) /w ujęciu dyskonta ciągłego – uwzględnia diw liczone od logarytmicznej stopy zwrotu/ (pod nr 4)

WDA = Pn (1+r)^-n – Po + Σ DIV (1+r)^-t /dyskretna wartość/

WDA = Pn*e^(-r*n) + Σ DIVt* e^(-r*t) /wartość ciągła/

Pn (1+r)^-n – Po - bieżąca wartość dochodów na różnicy kursów

Po - Wartość zakupu

Wartość dyskretna jest zawsze niższa niż ciągła.

Dyskonto dyskretne zakłada możliwość reinwestycji kapitału jeden raz w jednym okresie a dyskonto ciągłe zakłada reinwestowanie kapitału nieskończoną ilość razy w jednym okresie.

Kategoria kapitalizacja ciągła, dyskretna, a geometryczna stopa zwrotu.

Stopa geometryczna jest zawsze stopą średnią jednookersową (nie można powiedzieć że jednoroczną! Jeden rok to tylko przykład).

Stosowanie dyskonta ciągłego jest lepsze niż dyskretnego . w ciągłej przybliżenie jest dużo bliższe rzeczywistości niż w dyskretnej.

Model gordona jest sposobem szacowania obu wartości akcji przy dodatkowym założeniu że czas t przetrzymywania akcji dąży do nieskończoności. Jeżeli t dąży do nieskończoności to jedynym dochodem jaki generuje akcja jest strumień dywidend bo zdyskontowana cena sprzedaży dąży do 0 więc nie ma dochodu na różnicy kursów.

/5/

Założenia modelu Gordona dla ujęcia stałej wartości dywidendy, stałego wzrostu dywidendy (jednofazowy, dwufazowy i wielofazowy):

Modele inwestycyjne

14.05.2012

Model dwufazowy przy ciągłej numeracji lat.

Pierwszy rok drugiej fazy zaczyna się od n+1 to numeracja jest ciągła.

Jeżeli druga faza zaczyna się od n=1 to każda faza ma swoją numerację.

T=1

$$V = \ \sum_{t1 = 1}^{n}{\frac{\text{DIV}_{0}\ \left( 1 + g1 \right)^{t1}}{\left( 1 + r \right)^{t1}} + \sum_{t2 = 1}^{\infty}{\frac{\text{DIV}_{0}\left( 1 + g1 \right)^{n}\left( 1 + g2 \right)^{t2}}{\left( 1 + r \right)^{n + t2}} = \sum_{t1 = 1}^{n}\frac{\text{DIV}0\ \left( 1 + g1 \right)^{t1}}{\left( 1 + r \right)^{t1}} + \ \frac{\text{DIV}_{0}\left( 1 + g1 \right)^{n}(1 + g2)}{\left( 1 - g2 \right)\left( 1 + r \right)^{n + t2}}\ }}$$

V – cena akcji jaką warto zapłacić w danych warunkach

g1<g2 to model gordona shapiro jednofazowy daje wartości mniejsze niż model dwufazowy

Model Gordona trójfazowy

Mamy dwa okresy graniczne (n1, n2), trzy fazy (g1, g2, g3)

Przy jednolitej numeracji lat

$$V = \ \sum_{t1 = 1}^{\text{nt}1}\frac{\text{DIV}_{0}\ \left( 1 + g1 \right)^{t1}}{\left( 1 + r \right)^{t1}\ } + \ \sum_{t2 = n1 + 1}^{n2}{\frac{\text{DIV}_{0}\left( 1 + n1 \right)^{n}\left( 1 + g2 \right)^{t2 - n1}}{\left( 1 + r \right)^{t2}} + \ \sum_{t3 = n2 + 1}^{\infty}\frac{\text{DIV}_{0}\left( 1 + g1 \right)^{n1}\left( 1 + g2 \right)^{n2}\left( 1 + g3 \right)^{t3 - n1 - n2}}{\left( 1 + r \right)^{t3}}}$$

$$\sum_{t3 = n2 + 1}^{\infty}\frac{\text{DIV}_{0}\left( 1 + g1 \right)^{n1}\left( 1 + g2 \right)^{n2}\left( 1 + g3 \right)^{t3 - n1 - n2}}{\left( 1 + r \right)^{t3}} = \ \ \frac{\text{DIV}_{0}\left( 1 + g1 \right)^{n1}\left( 1 + g2 \right)^{n2 - n1}(1 + g3)}{\left( 1 - g3 \right)\left( 1 + r \right)^{n2 + 1}}$$

Przykładowe pytanie na egzaminie Co oznacza licznik a co oznacza całość wzoru – licznik to wart dywidendy po…, całość bieżąca wartość dywidendy

Pomimo iż analityczna postać tego modelu jest mało przyjazna to jest ona jedną z najczęściej stosowanych szczególnie jeśli chodzi o dochodowe metody wyceny przedsiębiorstwa.

Elementy teorii portfela – model Markowitza

Rodzaje analiz inwestowania w papiery wartościowe:

Mamy trzy podejścia:

• Analiza fundamentalna + wskaźniki (od makro do wskaźników) – szukam najbardziej efektywnych spółek i w nie inwestuję

• Analiza techniczna (nie było na wykładzie bo prof. w nią nie wierzy)- jedynym sygnałem do transakcji są wykresy kupna i sprzedaży

• Analiza portfelowa – konstruuję portfel wieloskładnikowy i kieruję się w tym pewnymi założeniami (teraz zaczynamy analizę portfelową)

Portfel P był do tej pory portfelem jednoskładnikowym (w naszych rozważaniach)

P = {A}

Określona stopa zwrotu rA i ryzyko RA (beta, wariancja albo odchylenie stand). stopa zwr i ryzyko spółki A są jednocześnie stopą i ryzykiem portfela.

m wyższa akceptacja ryzyka tym wyższa oczekiwana stopa zwrotu.

Teraz będzie wieloskładnikowy (każdy portfel który nie jest jednoskładnikowy jest wieloskładnikowy - wiele rodzajów spółek)

P = {A, B}

Składnik A ma st.zwr. rA i ryzyko RA, składnik B ma rB i RB, ale ryzyko portfela nie jest tożsame z ryzykiem któregoś z tych składników.

rp2 = w1r1 + (1−w1)r2

Przy portfelu n-skladnikowym:

$$\text{rpn} = \ \sum_{i = 1}^{n}{\text{wi}*\text{ri}}$$

Ryzyko portfela nie jest średnia ważoną ryzyk tego portfela.

Na ryzyko portfela składa się ryzyko każdego i-tego składnika, ale też składa się kowariancja stóp zwrotu pomiędzy poszczególnymi składnikami tego portfela (cov(ri,rj)) oraz współczynnik korelacji (Rij).

Ryzyko portfelu w ujęciu portfela Markowitza jest pochodną (pochodzi od) ryzyka składników portfela (wariancja albo odchylenie standardowe), kowariancji pomiędzy składnikami portfela oraz współczynnika korelacji pomiędzy składnikami portfela

Założenia modelu Markowitza:

1. Portfel jest wieloskładnikowy (co najmniej dwu)

2. Narzędziami jego optymalizacji jest analiza ilościowa oparta o: stopy zwrotu, wariancje, odchylenia standardowe, kowariancje i korelacje

3. Model dąży do optymalizacji relacji ryzyko-dochód w tym kontekście, że chodzi o równoczesne osiągnięcie dwóch celów: maksymalizacjo stopy zwrotu oraz minimalizacji ryzyka

4. Ścieżką optymalizacji jest taki dobór składników do portfela, w którym stopy zwrotu składników są jak najwyższe, a współczynniki korelacji jak najniższe (najlepiej ujemne)

Macierz korelacji, macierz kowariancji

Opracowujemy portfel czteroskładnikowy (A, B, C, D)

Jest to macierz symetryczna, a po przekątnej występują wariancje poszczególnych składników

(cov-miara kierunku związku-nie mówi o sile)

Macierz kowariancji-wariancji na kartce

Też korelacji

W macierzy korelacji na przekątnej są 1.

Obie macierze są symetryczne.

Wariancja portfela dwuskładnikowego - wzór

$P2 = \{\frac{1}{w1};\ldots$ na kartce reszta wzorów

Jeżeli trzeci składnik wzoru jest wpływem korelacji /ro/ na wariancję to dla ujemnych poziomów korelacji cały trzeci składnik jest ujemny.

Jeżeli ρ jest ujemne to wartość całego trzeciego składnika jest mniejsza od 0 wariancja dwuskładnikowego portfela jest niższa od średnioważonego …

ρ powinno być jak najmniejsze a r jak największe wtedy ryzyka dozy do min.

Ryzyko portfela dwuskładnikowego dla zróżnicowanych poziomów korelacji pomiędzy składnikami portfela ( w szczególności omówimy portfele dla których ρ = 1, = 0, = -1

Na kartce… c.d.n.

MODELE INWESTYCYJNE

28.05.2012

Optymalizacja portfela

Trzy składniki (czynniki?) portfela (?)

Na ryzyko portfela wpływa ryzyko poszczególnych składników, ale też zależności miedzy stopami zwrotu składników portfela (korelacje, mają być jak najniższe).

Ryzyko portfela

Wzór, który jest punktem wyjścia do wykładu (był ostatnio, ale jest teraz na kartce-nr1).

Jeśli korelacja jest ujemna to cały trzeci czynnik (wzoru) jest ujemny

Analizujemy dla ρ = 1 i ρ = 0

Korelacja doskonała (dla 1 zgodna, a dla 0 niezgodna)

Wykres (2)

Gdyby składnik 2 miał wyższe ryzyko od składnika 1 a niższą stopę zwrotu to byłoby nieracjonalne. Jeśli decyduje się na wyższe ryzyko to pod warunkiem wyższej stopy zwrotu.

Wzór (3) (przypadek specyficzny ale najprostszy)

Jeżeli waga drugiego składnika jest wyższa od zera tym bardziej wzrasta ryzyko.

wzór (4) doskonała korelacja ale ujemna ρ = -1

inna jest charakterystyka tych portfeli. Można skonstruować portfel gdzie są instrumenty obarczone ryzykiem, ale sam portfel nie będzie obarczony ryzykiem.

/na wykresie 4)/

Portfele zdominowane i portfele niezdominowane.

Wszystkie portfele lezące na odcinku 1G są to portfele zdominowane czyli gorsze bo dla nich wszystkich można skonstruować portfele alternatywne, który ma ten sam poziom ryzyka, ale wyższy poziom stopy zwrotu. Są one nieefektywne.

Są zdominowane przez portfele leżące na odcinku G2.

Odcinek G2 - dla każdego poziomu ryzyka nie da się skonstruować ryzyka o wyższej stopie zwrotu. Są efektywne. Punkt G jest pierwszy niezdominowany (efektywny).

Dla ρ = -1

Wzór 5 (ryzyko dwuskładnikowego portfela)

Nie ma w rzeczywistości takich portfeli.

ρ = 0

Stopy zwrotu spółki 1 w żadnym stopniu nie są skorelowane ze stopami zwrotu spółki 2.

Potrafimy minimalizować ryzyko, ale nie możemy go wyeliminować

Wykres 6)

Punkt przegięcia to MVP – portfel minimalnej wariancji

Odcinek MVP1 (bez) tu leżą punkty zdominowane

Odcinek MVP2 (z) tu leżą punkty niezdominowane

Przestrzeń x to są wszystkie portfele o ujemnym poziomie korelacji między stopami zwrotu składników tego portfela.

Sama krzywa 1,2 to zbiór portfeli o współczynniku korelacji 0.

Pole y to zbiór wszystkich możliwych portfeli o dodatnim poziomie współczynnika korelacji.

Jeśli zaliczymy też do tego krzywą 1MVP2 to będzie zbiór wszystkich możliwych portfeli o nieujemnym poziomie korelacji.

Graficzna analiza portfeli wieloskładnikowych (więcej niż dwuskładnikowych) wraz z funkcją CML (capital market Line z modelu CAPM).

wykres 7)

leży tu też portfel z rynkową stopą zwrotu i rynkowym ryzykiem (m)

rf normalnie leży poniżej rm

połączenie tych dwóch punktów to powstanie linii CML – jest styczna do 1mvp2

EGZAMIN

Na egzaminie nie będzie niczego czego nie było na wykładzie.

Test (w którym nie ma nic do policzenia)

Zabrać: Długopis, dowód osobisty, pofałdowana kora mózgowa (nie brać kalkulatora)

Ok. 30‑40 pytań jednokrotnego wyboru.

Egzamin będzie łatwy, jak ktoś w tym roku nie zda to będzie wyraz nędzy i rozpaczy poziomu intelektualnego :D

Odpowiedzi typu: „żadna z powyższych” „wszystkie są poprawne”

51% na zaliczenie

Jeśli ktokolwiek będzie ściągał to na zaliczenie jest 67% (dla wszystkich)

Wyniki w wirtualnym dziekanacie. Na wszystkich konsultacjach można dostać wpis. Można być indywidualnie lub zebrać karty.