1. Czym się różni wytrzymałość od mechaniki?

Wytrzymałość zajmuje się badaniem sił wewnętrznych w ciałach stałych, aby odpowiedzieć, czy ciało wytrzyma obciążenie. Dzięki uwzględnieniu odkształceń można obliczyć układy nierozwiązalne na gruncie mechaniki ogólnej (układy niewyznaczalne). Mechanika zajmuje się uproszczonym modelem ciała stałego (sztywnego), gdzie odległości między punktami nie ulegają zmianie.

1. Na wykresie rozciągania zaznaczyć granicę wytrzymałości na rozciąganie, granicę plastyczności, naprężenie dopuszczalne oraz naprężenie obliczane – spełniające warunek wytrzymałości na rozciąganie.

Dla materiałów plastycznych bez wyraźnej granicy plastyczności R_e wprowadzono umowną granicę plastyczności R_0,2.

Umowną granicą plastyczności nazywamy takie naprężenie, które wywołuje w próbce odkształcenie trwałe (plastyczne) wynoszące ε=0,2% (0,002).

1. Definicja naprężenia.

Naprężeniem p w danym punkcie A przekroju abcd danego ciała stałego nazywamy granicę, do której dąży iloraz siły wewnętrznej deltaWi przez elementarne pola deltaFi tego przekroju, gdy pole to dąży do zera. Pojęcie zostało wprowadzone, ponieważ siły międzycząsteczkowe w różnych punktach nie są takie same.

1. Klasyfikacja obciążeń.

Rozciąganie/ściskanie – powodowane przez dwie siły równe co do wartości, przeciwnie skierowane, działające wzdłuż osi pręta. Prętem nazywamy ciało, w którym jeden z wymiarów jest znacznie większy od pozostałych (Najczęściej rozciąganie ma miejsce w przypadku prętów lub cięgien)

Zginanie – postaje wówczas gdy siły obciążające pręt lub ich składowe, są prostopadłe do osi pręta, a linie działania sił znajdują się w pewnych odległościach od siebie i leżą na jednej płaszczyźnie zawierającej oś pręta (na takie obciążenie narażone są belki)

Skręcanie - wywołują dwie pary sił działające w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta (na takie obciążenie narażony jest np. wał napędowy)

1. Zasada Sant-Venanta.

Jest to zjawisko równomiernego rozkładu naprężeń dopiero w pewnej odległości od miejsca przyłożenia obciążenia.W pobliżu punktu A przyłożona jest siła ściskająca P. Ponieważ skończona wartość siły na bardzo mały obszar w otoczeniu punktu A, przez to powstają tu bardzo duże naprężenia i ewentualnie odkształcenia miejscowe. Naprężenia te rozprzestrzeniają się na cały obszar pręta. Przyjmuje się że w odległości ok. 1,5 średnicy od końca pręta rozkład naprężeń jest już równomierny na całej powierzchni przekroju poprzecznego pręta. Jeżeli pole tego przekroju wynosi A to jak wynika z warunku równowagi pręta, naprężenie ściskające wynosi .

1. Prawo Hooke’a dla rozciągania.

Robert Hooke stwierdził, że wydłużenie l pręta pryzmatycznego jest wprost proporcjonalne do siły rozciągającej P i do długości początkowej l pręta, a odwrotnie proporcjonalne do pola A przekroju poprzecznego pręta.

$\varepsilon = \frac{l}{l}$ , $\sigma = \text{εE} = \frac{P}{A}$ , $l = \frac{\text{Pl}}{\text{EA}} = \text{εl} = \frac{\sigma}{E}l$

, gdzie: E – moduł sprężystości przy rozciąganiu, moduł Younga;A – pole przekroju poprzecznego;l – wydłużenie pręta;l – długość początkowa pręta;P – siła rozciągająca;σ- naprężenie rozciągające w pręcie;ε– wydłużenie względne

Dla większości materiałów stosowanych w budowie maszyn prawo Hooke’a można stosować zarówno w przypadku rozciągania, jak i ściskania, przy czym naprężenia rozciągające zaznaczamy znakiem plus (+), a ściskające znakiem minus (-).

1. Prawo Hooke’a dla dwuosiowego stanu naprężenia.

Wyliczamy je z analizy odkształceń w płaskim stanie napięcia. $\varepsilon_{1} = \frac{\sigma_{1}}{E} - v\frac{\sigma_{2}}{E}{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\varepsilon}_{2} = \frac{\sigma_{2}}{E} - v\frac{\sigma_{1}}{E}{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\varepsilon}_{3} = - v\frac{\sigma_{1}}{E} - v\frac{\sigma_{2}}{E}$

Jest to suma odkształceń kostki rozciąganej naprężeniami σ₁ i σ_2. Gdzie; sigma 1, sigma2 – naprężenia główne, E-moduł Younga, v- liczba Poissona, epsilon 1,2,3-wydłużenia

1. Prawo Hooke’a dla trójosiowego stanu naprężenia.

Opisuje związki między odkształceniami i naprężeniami, w przypadku ciała izotropowego.

Rozwiązując powyższe równania względem naprężeń otrzymujemy związki:

W tych wzorach E oznacza moduł sprężystości podłużnej (moduł Younga), G moduł sprężystości poprzecznej (moduł Kirchoffa), zaś v współczynnik Poissona

Wzory są słuszne, gdy żadne z naprężeń nie przekroczyło granicy proporcjonalności (tj. granicy stosowalności prawa Hooke’a)

1. Co oznacza termin: naprężenie dopuszczalne i jak je ustalamy?

Naprężenie dopuszczalne jest to wartość naprężenia nieprzekraczalna w warunkach normalnej pracy (największe naprężenie, które jest jeszcze bezpieczne dla konstrukcji).

Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie k_r wyznacza się ze wzoru:$\mathbf{k}_{\mathbf{r}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{m}}}$

gdzie:R_m – wytrzymałość na rozciąganie; n_m – współczynnik bezpieczeństwa w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie R_m, liczba większa od jedności

W wielu przypadkach należy się zabezpieczyć nie tylko przed zerwaniem danego elementu konstrukcji, lecz również przed powstaniem odkształceń plastycznych. W takich przypadkach naprężenia dopuszczalne k_r wyznacza się jako iloraz granicy plastyczności R_e przez współczynnik bezpieczeństwa n_e odniesiony do granicy plastyczności:$\mathbf{k}_{\mathbf{r}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{e}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{e}}}$

Obliczenie wytrzymałościowe elementu rozciąganego sprowadza się do sprawdzenia, czy spełniony jest warunek:$\mathbf{\sigma}\mathbf{=}\frac{\mathbf{P}}{\mathbf{F}}\mathbf{\leq}\mathbf{k}_{\mathbf{r}}$

W podobny sposób jak dla rozciągania wyznacza się naprężenia dopuszczalne na: ściskanie k_c, zginanie k_g, skręcanie k_s, ścinanie k_t

1. Na czym polega zasada superpozycji i kiedy ją stosujemy?

Zasada superpozycji upraszcza obliczenia w przypadku skomplikowanego układu obciążeń. Polega na rozbiciu danego złożonego układu obciążeń na układy proste tak dobrane, aby ich suma (nałożenie jednych na drugie) dała rozpatrywany układ wyjściowy. Metodę superpozycji można stosować, gdy w żadnym punkcie układu wyjściowego naprężenia nie przekraczają granicy proporcjonalności „sigma prop”. Nie wolno stosować tej metody w przypadkach, gdy działanie jednych sił zmienia charakter działania innych sił (np. nie można gdy pręt jednocześnie ściskany jest siłą P i zginany siłą T, bo pod wpływem T siła P działa też zginająco)

1. Co rozumiemy pod pojęciem układu statycznie niewyznaczalnego?

Układ statystycznie nie wyznaczalny to taki układ w którym liczba niewiadomych reakcji jest większa od znanej ze statyki liczby warunków równowagi. Układy takie są nierozwiązalne na gruncie statyki ciał doskonale sztywnych, ale takie przypadki można rozwiązać uwzględniając odkształcenia ciał wchodzących w skład tego układu. Odkształcenia można przyjmować dowolnie, ale zgodnie z nałożonymi więzami, a ich reakcje muszą opowiadać przyjętym odkształceniom - np. jeżeli pręt się wydłuża to musi wystąpić siła rozciągająca.

1. Co ułatwia rozwiązywanie układu statycznie niewyznaczalnego?jak wyżej w 11.

2. Energia odkształcenia sprężystego w pręcie rozciąganym.

L= P_stat²*(l/2EF)= λ _stat²*(EF/2L)= (P_stat* λ _stat)/2

W czasie odciążenia układu, dzięki sprężystym własnością, pręt jest zdolny wykonać pracę równą energii włożonej w czasie obciążanie. Praca ca określona wzorem to energia sprężysta/en. Potencjalna odkształcenia sprężystego.

1. Jak liczymy naprężenia na płaszczyźnie nachylonej pod kątem do kierunku głównego? Podać wzory dla jednoosiowego i dwuosiowego stanu naprężenia.

Suma rzutów na kierunek 1 sił działających w prętach na rozpatrywaną część pręta – P + F_αp_α = 0

Pole F_α ukośnego przekroju abcd wynosi $F_{\alpha} = \frac{gh}{\text{cosα}}$

Dla α=0 naprężenia p_α stają się równe naprężeniom rozciągającym

Rozłóżmy p_α na dwa kierunki, a otrzymane składowe oznaczmy σ_α oraz τ_α. Otrzymujemy wówczas: σ_α = p_αcosα oraz τ_α = p_αsinα. Po wykorzystaniu wcześniejszych zależności i podstawieniu tożsamości sin2α = 2 sinαcosα

Dodatni kąt α odmierzany jest od kierunku 1do kierunku normalnej (przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara).

Dla przekrojów f-g i g-h

Dla przekroju e-f otrzymujemy:

Rozpatrujemy prostokątny arkusz blachy poddany działaniu naprężeń w kierunku 1 i w kierunku 2. Aby obliczyć naprężenia w przekroju nachylonym do przekroju poprzecznego pod kątem , czyli i zastosujemy zasadę superpozycji. Skutki jednoczesnego działania wielu sił (obciążeń) na układ jest prostą sumą skutków działania wszystkich sił (obciążeń) z osobna. Układ zasadniczy zastępujemy złożeniem układów 1 i 2 ( jest to superpozycja układu 1 obciążonego samymi tylko naprężeniami oraz układu 2 obciążonego naprężeniami ). Wykorzystujemy wzory otrzymane dla jednokierunkowego układu naprężeń.

Układ 1: ’= ’=

Układ 2:

’=[-(90º- α)]= (90 º- α)=

’’=[-2(90 º- α)]= -

Naprężenia w układzie zasadniczym są równe sumie naprężeń otrzymanych dla obu układów składowych.

=’+’’ =’+ ’’

1. Określić zasady konstrukcji koła Mohra dla płaskiego stanu naprężenia gdy dane jest σ₁ i σ₂ i kat α.

Rozpatrzmy naprężenia wynikające z przekroju a-b. Odczytujemy , przy czym a

Tworzymy prostokątny układ współrzędnych σ, τ i na osi odciętych umieszczamy punkt C odległy od środka układu współrzędnych o odległość:

Następnie z punktu C zakreślamy okrąg o promieniu równym:

Teraz odmierzamy kąt od punktu C, zgodnie z kierunkiem trygonometrycznym. W miejscu przecięcia ramienia kąta z okręgiem otrzymujemy punkt N.

Wysokość punktu N odpowiada wartości , natomiast jego odległość od osi rzędnych odpowiada wartości .

Stąd wynikają poniższe wzory:

1. Określić zasady konstrukcji koła Mohra dla płaskiego stanu naprężenia gdy dane są naprężenia σ_x i σ_y oraz τ.

Mając dane σ_x,   σ_y, τ_x i chcąc wyznaczyć naprężenia główne dla takiego układu, najpierw obieramy układ osi współrzędnych σ, τ i na osi σ w odległości σ_x od początku O układu wyznaczamy punkt A, a w odległości σ_y - punkt B. Naprężenie styczne jeśli jest dodatnie na ściance a-b to odkładamy wartość +τ w górę od punktu A i otrzymujemy punkt N, z punktu B zaś odmierzamy -τ i otrzymujemy punkt K. Łączymy punkty N i K prostą, która jest średnicą koła Mohra dla danego układu i otrzymujemy punkt C(środek koła Mohra) oraz punkty N₁, N₂ odpowiadające kierunkom i naprężeniom głównym. Wartości liczbowe tych naprężeń są odpowiednio równe współrzędnym punktów N₁, N₂ koła Mohra. Z rysunku widzimy, że:

$$\sigma_{1} = \overset{\overline{}}{\text{OC}} + \overset{\overline{}}{CN_{1}} = \overset{\overline{}}{\text{OC}} + \overset{\overline{}}{\text{CN}}$$

$$\sigma_{2} = \overset{\overline{}}{\text{OC}} - \overset{\overline{}}{CN_{2}} = \overset{\overline{}}{\text{OC}} - \overset{\overline{}}{\text{CK}}$$

Ponieważ:

$$\overset{\overline{}}{\text{OC}} = \frac{\sigma_{x} + \sigma_{y}}{2}$$

$$\overset{\overline{}}{\text{CN}} = \overset{\overline{}}{\text{CK}} = \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^{2} + \tau^{2}}$$

znając zatem σ_x,   σ_y, oraz τ możemy naprężenia główne obliczyć ze wzorów:

$\left\{ \begin{matrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \end{matrix} = \frac{\sigma_{x} + \sigma_{y}}{2} \right.\ \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^{2} + \tau^{2}}$

1. Określić zasady wyznaczania kierunków i wartości naprężeń głównych dla danego σ_x i σ_y oraz τ. jw.

2. W jaki sposób uwzględnia się zmianę wymiarów poprzecznych pręta? Podać wzory na odkształcenia w trzech kierunkach, do jakiego dochodzi podczas jednoosiowego rozciągania.

symbol ν. Współczynnik różny dla różnych substancji określający ich zachowanie podczas rozciągania. Przy rozciąganiu elementarnej kostki sześciennej, w czasie gdy jeden bok ulega wydłużeniu, dwa inne ulegają proporcjonalnemu skracaniu. Jest to bezwymiarowa stała materiałowa, określająca stosunek (bezwzględną wartość stosunku) odkształceń poprzecznych do odkształcenia podłużnego (osi pręta) dla rozciągania; dla realnych materiałów waha się w granicach od 0 do 0.5 (0 korek, 0.5 - guma), stal ok. 0.27, beton ok. 0.16

gdzie: ε - odkształcenie, n - dowolny kierunek prostopadły do m

L’=L+∆L; d’=d+∆d (przy wydłużaniu pręta ∆d będzie ujemna)

Jeżeli pręt o średnicy d (lub dowolnym innym charakterystycznym wymiarze, np. szerokości) i długości L zostanie poddany rozciąganiu tak, że wydłuży się o ΔL, to jego średnica zmieni się (zmniejszy się, stąd dla uniknięcia wartości ujemnych współczynnika znak minus we wzorze) : ;

Wyodrębniamy z pręta kostkę sześcienną o wymiarach 1x1x1cm rozciąganą w kierunku 1 naprężeniami σ₁.$\varepsilon_{1} = \frac{\sigma_{1}}{E}$; Jeżeli σ₁ nie przekroczą granicy proporcjonalności σ_prop to krawędzie poprzeczne ulegną skróceniu (wydłużenie ujemne), będąc proporcjonalne do wydłużenia ε₁ ε₂ = −vε₁ ε₂ = −vε₁

Wymiary wzdłuż kierunku 1; 2; 3;

$1 + \varepsilon_{1} = 1 + \frac{\sigma_{1}}{E}$ $1 + \varepsilon_{2} = 1 - v\varepsilon_{1} = 1 - v\frac{\sigma_{1}}{E}$ $1 + \varepsilon_{3} = 1 - v\varepsilon_{1} = 1 - v\frac{\sigma_{1}}{E}$
objętość klocka się nie zmniejszy

(1+ε₁)(1+ε₂)(1+ε₃) ≥ 1³

(1+ε₁)(1−vε₁)² ≥ 1

1 − 2vε₁ + vε₁² + ε₁ − 2vε₁² + vε₁³ − 1 ≥ 0

Wzdłużenie względne jest wielkością małą (0,001) wówczas ε² i ε³ można pominąć

−2vε₁ + ε₁ ≥ 0 $v \leq \frac{1}{2}$

1. Jak ustalamy odkształcenia w przypadku dwuosiowego rozciągania? Wyjaśnić i podać wzory.

Rozpatrzmy elementarną kostkę sześcienną metodą super pozycji.

Gdyby tylko działało naprężenie σ1: ${\varepsilon'}_{1} = \frac{\sigma_{1}}{E},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\varepsilon'}_{2} = - v{\varepsilon'}_{1} = - v\frac{\sigma_{1}}{E},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\varepsilon'}_{3} = {\varepsilon'}_{2} = - v\frac{\sigma_{1}}{E}$

Gdyby tylko działało naprężenia σ2: ${\varepsilon''}_{2} = \frac{\sigma_{2}}{E},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\varepsilon''}_{1} = - v{\varepsilon''}_{2} = - v\frac{\sigma_{2}}{E},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\varepsilon''}_{3} = {\varepsilon''}_{1} = - v\frac{\sigma_{2}}{E}$

Ponieważ działają oba wykorzystujemy metodę superpozycji (np. ε₁ = ε’₁ + ε’’₁):$\varepsilon_{1} = \frac{\sigma_{1}}{E} - v\frac{\sigma_{2}}{E}$; $\varepsilon_{2} = \frac{\sigma_{2}}{E} - v\frac{\sigma_{1}}{E}$; $\varepsilon_{3} = - v\frac{\sigma_{1}}{E} - v\frac{\sigma_{2}}{E}$

1. Energia sprężysta i zmiana objętości materiału w trójkierunkowym stanie naprężenia.

Energia sprężysta, czyli praca wykonana przez naprężenia główne, działające na ściankach elementarnej kostki szczesciennej, zgodnie ze wzorem wynosi: (L₁₎= 1/2(σ₁ε₁ + σ₂ε₂ + σ₃ε₃), po zastosowaniu uogólnionego prawa Hooka (L1)=1/2E[σ₁² + σ₂² + σ₃² − 2v(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁)]. Przyrost objętości delta elementarnej kostki jest równa: V = (1 + ε₁)(1 + ε₂)(1 + ε)-1, stąd po odrzuceniu małych wyższego rzędu V = ε₁ + ε₂ + ε₃, a po podstawieniu pr. Hooka V = ((1 + 2υ)/E)(σ₁ + σ₂ + σ₃). W przypadku, gdy ciało poddane jest cisnieniu p, to σ₁ = σ₂ = σ₃ = −p, zmiana objętości elementarnej kostki wynosi $v = - \frac{3p\left( 1 - 2\upsilon \right)}{E} = - \frac{p}{K},\ gdzie\ K\ to\ modul\ scisliwosci$ K=E/3(1-2v)

1. Co rozumiemy pod pojęciem czystego ścinania?

Stan naprężenia w przekrojach, w których występują tylko naprężenia styczne, nazywamy czystym ścinaniem. Można to uzyskać przez rozciąganie i ściskanie naprężeniami równymi co do bezwzględnej wartości, działającymi w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.

1. Prawo Hooke’a dla czystego ścinania.

Jeżeli rozpatrzymy kostkę sześcienną w stanie czystego ścinania, to stwierdzimy przejście sześcianu w równoległościan. Ściany sześcianu pozostaną w dalszym ciągu płaskie, a kąty proste ulegną odkształceniu o kąt g. γ = τ/G

1. Określić związek pomiędzy modułem E i G.

G=E/2(1+v); G- moduł Kirchoffa; moduł sprężystości postaciowej Kirchoffa, uzależnia naprężenia tnące (τ) od kąta odkształcenia postaciowego (γ) : ; [N/m²- G ma wymiar naprężeń]; występuje przy ścinaniu (moduł sprężystości poprzecznej),E- moduł Younga; uzależnia naprężenia (σ) od wydłużenia względnego (jednostkowego) (ε) : ; [N/m²- E ma wymiar naprężeń]; występuje przy rozciąganiu (moduł sprężystości podłużnej),v- liczba Poissona [patrz punkt 19].

1. Narysować koło Mohra dla czystego ścinania.

2. Jak liczymy energię sprężystą przy ścinaniu?

Z ogólnego wzoru na en. Sprężystą w trójwymiarowym stanie napięcia: (L1)=1/2E[σ₁² + σ₂² + σ₃² − 2v(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁)]= 1/2E[σ² + ( − σ²)−2v(−σ²)]= σ²[(1 + v)/E)]. Można też ten sam wynik uzyskać obliczając pracę naprężeń tnących działających na kostkę.

1. Na czym polegają uproszczone obliczenia na ścinanie?

Gdy mamy przypadek, w którym występują naprężenia styczne (tnące) i normalne, gdzie styczne >> normalne, to warunek bezpieczeństwa sprowadza się do sprawdzenia, czy naprężenia tnące nie przekraczają wartości naprężeń dopuszczalnych na ścinanie k_t.

Sposób omówiony na przykładzie [rys]:

Sworzeń łączący płaskownik środkowy o grubości g, z dwoma jednakowymi płaskownikami (grubość h).

Płaskownik środkowy poddany jest działaniu siły rozciągającej: P, dzięki czemu płaskownik górny i dolny będzie rozciągany siłą 0,5P (przez połączenie

sworzniem). Jeśli wartość P będzie zwiększana, to w końcu dojdzie do stanu, w którym sworzeń ulegnie zniszczeniu- przez poślizg/ścięcie (rys 4.4b).

W przekrojach, które ulegną ścięciu działają siły równe T₁ i T₂ (rys 4.4c), które są równe: T₁=T₂=0,5P.

W wyniku działania tych sił, powstają naprężenia tnące τ₁, τ₂ (rys 4.4d).

Rozkład tych naprężeń na przekrojach poprzecznych sworznia nie jest równomierny, ale stosuje się pojęcie średniej wartości naprężenia tnącego równej:, $\tau_{sr} = \frac{T}{F} \leq k_{t}$

gdzie:T- siła tnąca w danym przekroju poprzecznym, F- pole powierzchni przekroju poprzecznego.

Warunek wytrzymałości elementu ścinanego wyraża się: $k_{t} = \frac{\text{wytrzyma}losc\ \text{dora}z\text{na}\ \text{na}\ s\text{cinanie}}{\text{wsp}ol\text{czynnik}\ \text{bezpiecze}n\text{stwa}\ (n)}$

Pod działaniem siły P ulegają jednoczesnemu ścinaniu 2 przekroje poprzeczne sworznia, zatem siła tnąca w każdym przekroju jest równa 0,5P, a średnie naprężenie tnące: $\tau_{sr} = \frac{T}{F} = \frac{P}{2F}$

Uproszczony sposób obliczeń na ścinanie przeprowadza się zazwyczaj dla połączeń nitowanych, śrubowych, klinowych, spawanych.

1. Jak liczymy maksymalne naprężenia i kąt skręcenia pręta.

τ_max=r*M_s/J_0, r-promien przekroju preta, M_s-moment skręcający, J₀- biegunowy moment bezwładności przekroju

φ=M_sl/GJ₀ M_s-moment skręcający, l-dlugosc preta, J₀- biegunowy moment bezwładności przekroju, G-modul odkształcenia postaciowego

Wyprowadzić wzór na biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego.

Biegunowy moment bezwładności przekroju – calka będą funkcja wymiarow przekroju poprzecznego pretaJ_o=∫_F𝜚²dF = πr⁴/32

dF-nieskonczenie maly element przekroju poprzecznego preta

ρ-odleglosc wlokna od osi preta

1. Podać wzory niezbędne do obliczeń wytrzymałościowych wału pełnego.

τ_max=rM_s/τ_max;$\mathbf{W}_{\mathbf{o}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{J}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\varrho}_{\mathbf{\max}}}\mathbf{=}\mathbf{J}_{\mathbf{0}}\mathbf{/r}$;$\mathbf{\ }\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{W}_{\mathbf{o}}}\mathbf{\leq}\mathbf{k}_{\mathbf{s}}$; $\mathbf{W}_{\mathbf{o}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi}\mathbf{d}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{16}}$;$\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}\mathbf{l}}{\mathbf{G}\mathbf{J}_{\mathbf{o}}}\mathbf{\leq}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{\text{dop}}}$

1. Energia sprężysta w pręcie skręcanym.

; – kąt o jaki pręt zostaje skręcony,L – praca wykonana przez siły skręcające,V – energia sprężysta,L – długość pręta

1. Praca i moc momentu skręcającego.

Praca siły P stycznej do wału na drodze ds. wynosi Dl=Pds, gdzie ds.=Prdφ. Ponieważ Pr=Ms, więc Dl=Msdφ, czyli L=Msφ. Z tego wynika, że praca momentu skręcającego jest równa iloczynowi momentu skręcającego i kąta obrotu wału.

1. Momenty bezwładności figur płaskich.

Momentem bezwładności figury płaskiej względem osi z nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól dF tego pola i kwadratów odległości tych pól od osi z. J_z = ∫_FdFy²

1. Jak ustalamy znaki sił normalnych i tnących oraz momentów gnących?

Rodzaje zginania:

- zginanie czyste – jeżeli w danym przekroju układ sił zewnętrznych sprowadza się do jednej tylko składowej Mg

- zginanie z udziałem sił poprzecznych – jeżeli oprócz jednej składowej Mg istnieje również siła tnąca T

- płaskie(proste) – jeżeli siła tnąca T oraz para sił powodująca zginanie pręta działają w jednej płaszczyźnie zawierającej osie główne centralne przekrojów poprzecznych pręta; występuje gdy płaszczyzna zginania pokrywa się z płaszczyzną główną zawierającą oś pręta; oś pręta poddanego zginaniu pozostaje w tej płaszczyźnie

- ukośne – jeżeli nie jest spełniony warunek zginania płaskiego, początkowo prosta oś zginanego pręta staje się krzywą przestrzenną

Ustalanie znaków:

1. Siłę normalną N uważać będziemy za dodatnią, jeżeli ma zwrot zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej danego przekroju belki.

2. Siłę tnącą T uważać będziemy za dodatnią, jeżeli wycięty w myśli element belki siła ta będzie się starała obrócić zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

3. Moment gnący Mg uważać będziemy za dodatni, jeżeli wycięty w myśli element belki stara się wygiąć wypukłością do dołu.

1. Warunek wytrzymałości na zginanie (wzór).

$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W} \leq k_{g}$; kg-naprężenie dop na zginanie,W-wskaźnik wytrzymałości na zginanie względem osi obojętnej

1. Warunek wytrzymałości dla włókien rozciąganych i ściskanych.

Naprężenia w poszczególnych włóknach pręta są proporcjonalne do odległości tych włókien od osi (lub też od warstwy) obojętnej a więc w ogólnym przypadku, dla przekrojów niesymetrycznych względem osi obojętnej, największe naprężenia rozciągające mogą mieć inną wartość bezwzględną niż największe naprężenia ściskające.

Materiały kruche (żeliwo, beton, cegła, kamień) mają większe naprężenia dopuszczalne na ściskanie k_c niż na rozciąganie k_r. Dla tych materiałów należy sprawdzić dwa warunki wytrzymałościowe:

Dla włókien rozciąganych: $\sigma_{g1} = \frac{M_{g}y_{1}}{J_{z}} \leq k_{r}$;Dla włókien ściskanych: $\sigma_{g2} = \frac{M_{g}y_{2}}{J_{z}} \leq k_{c}$

1. Wzór na wskaźnik wytrzymałości przekroju przy zginaniu.∫_FyzdF=J_yz=0

2. Jak projektujemy belki o stałej wytrzymałości?

Aby w każdym przekroju naprężenia maksymalne były równe naprężeniom dopuszczalnym.Wskaźnik wytrzymałości nazginanie w każdym przekroju określonym współrzędną x powinien wynosić: W_z=$\frac{M_{g}}{k_{g}} = P_{x}/k_{g}$

1. Energia sprężysta w prętach zginanych.

Energię sprężystą nagromadzoną w odcinku pręta prostego o długości dx, zginanego momentem Mg, możemy wyrazić w postaci: $dV = \frac{M_{g}^{2}\text{dx}}{2EJ_{z}} = \frac{M_{g}\text{dθ}}{2} = \frac{d\theta^{2}EJ_{z}}{2dx}$; Energia sprężysta w całym pręcie będzie sumą algebraiczną energii nagromadzonych w poszczególnych jego odcinkach i wyrazi się wzorem: $V = \int_{l}^{}\frac{M_{g}^{2}\text{dx}}{2EJ}$.

1. Kiedy stosujemy hipotezy wytrzymałościowe?

Kiedy mamy do czynienia ze złożonymi stanami obciążeń(w budowie maszyn, konstrukcji), charakteryzujące się przestrzennym układem obciążeń. Aby określić, przy jakim współczynniku bezpieczeństwa pracuje element, należy przeprowadzić badanie laboratoryjne. Do niego jednak niezbędne są hipotezy, które podają kryteria oceny stanu wytężenia materiału w złożonym stanie naprężeń w celu ilościowego porównania tego stanu z przypadkiem prostym, jakim jest rozciąganie.

1. Omówić hipotezy wytrzymałościowe.

1. Hipoteza największych naprężeń normalnych s_max (stosuje się do materiałów kruchych (kamień, beton))

2. Hipoteza największego wydłużenia względnego e_max (stosuje się do materiałów kruchych (kamień, beton, żelazo itp.))

3. Hipoteza największych naprężeń tnących l_max (materiały plastyczne)

4. Hipoteza Hubera (materiały plastyczne)

Dla stanu czystego ścinania naprężeniami r obliczenia wytrzymałościowe dla kolejnych hipotez sprowadzają się do warunku:

1. hipoteza s _max,s_red = t ≤ k_r;

2. hipoteza e_max:s_red= t -v(-t )=t (1+v) ≤k_r

3. hipoteza t _max;s_red= t-(- t)=2t ≤k_r

4. hipoteza Hubera s_red=$\sqrt{\frac{1}{2}(t^{2} + t^{2} + \ {(2t)}^{2})}\ = \ \sqrt{3t}$ ≤k_r

s_max – hipoteza największych naprężeń normalnych,

Wady:

- ma znaczenie głównie historyczne, czasami stosowana do materiałów kruchych( kamień, beton)

- w wielu przypadkach nie pokrywa się z doświadczeniami

- zawodzi gdy materiał jest poddany ze wszystkich stron działaniu jednakowych naprężeń normalnych ( rozciągających lub ściskających)

Zalety:

- proste obliczenie naprężeń zredukowanych, które wynoszą: dla rozciągania s_red= s₁k_r, dla ściskania s_red=| s₃|k_r

e_max – hipoteza największego wydłużenia

Wady:

- zawodzi gdy materiał jest poddany ze wszystkich stron działaniu jednakowych naprężeń normalnych (rozciągających lub ścinających)

t_max – hipoteza największych naprężeń tnących

Zalety:

- stwierdzono, że kostka sześcienna może być poddana działaniu cieśnienia hydrostatycznego wielokrotnie większego od wytrzymałości materiału na ściskanie Rc, a mimo to w żadnym punkcie nie powstaną ani odkształcenia plastyczne ani rozkruszenie materiału. Cechą charakterystyczną wyróżniającą taki stan naprężeń jest między innymi to, że koło Mohra dla każdego stanu jest punktem (s₁ =s₂ =s₃)

- wyniki tej hipotezy wykazują większą zgodność z doświadczeniem, szczególnie dla materiałów plastycznych (stal niskowęglowa)

- obecnie hipoteza t_max jest szeroko stosowana, na równi z hipotezą Huberta

- naprężenia zredukowane oblicza się za pomocą prostego wzoru s_red= s₁-s₃k_r (co ułatwia obliczenia)

- najkorzystniejsza dla materiałów wykazujących inne właściwości na rozciąganie i ściskanie

Hipoteza Huberta:

Zalety:

- Wartość wynikająca z hipotezy Huberta najlepiej zgadza się z wynikami doświadczenia dotyczących materiałów plastycznych wykazujących jednakowe własności na rozciąganie i ściskanie (np. stale, plastyczne stopy miedzy, aluminium)

1. Wyjaśnić powody sformułowania hipotezy Hubera, podać podstawowe wzory z wyprowadzeniami.

Ponieważ odkryto zjawisko: Kostka sześcienna poddana wszechstronnemu ściskaniu nie ulega zniszczeniu przy wielokrotnym nawet przekroczeniu wytrzymałości na ściskanie. Cała energia władowana w kostkę idzie na odkształcenie objętościowe. Dlatego można wysunąć tezę, że ciała mogą doznawać nieograniczonych odkształceń objętości, jeżeli postać ich nie ulegnie zmianie, tzn. sześcian pozostanie sześcianem. Wzory: energia odkształcenia objętościowego: $L_{v} = \frac{3\left( 1 - 2v \right)}{2E}p^{2},\ naprezenie\ p = 1/3(\sigma_{1}$+σ₂ + σ₃)²,  L_p = (1 + v)/6E[(σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-1)²],ponieważ σ_pl = σ₁, σ₂ = σ₃ = 0,  wiec L_p = (1 + v)/6E(σ_pl² + σ_pl²)= (1 + v)σ_pl²/3E. Podsumowując:$\sigma_{\text{pl}} = \sqrt{1/2\lbrack(\sigma_{1} - \sigma_{2}){}^{2} + (\sigma_{2} - \sigma_{3}){}^{2} + (\sigma_{3} - 1){}^{2}\rbrack,}$

1. W jaki sposób wykorzystujemy hipotezy wytrzymałościowe w praktyce? Jak w pyt 38

2. Co rozumiemy pod pojęciem naprężenia zredukowanego i jak go liczymy?

Naprężeniem zredukowanym s_red nazywamy naprężenie otrzymane po zastosowaniu przyjętej hipotezy wytrzymałościowej dla danego trójkierunkowego stanu naprężeń, której jest równoważne z naprężeniem przy zwykłym rozciąganiu. Obliczenia wytrzymałościowe dla dowolnego przestrzennego stanu naprężeń sprowadzają się wówczas do sprawdzenia warunku:

Warunek ten, zgodnie z omówionymi hipotezami, będzie miał postać (dla s1 ³ s2 ³ s3):

1. hipoteza s _maxdla rozciągania: s_red = s₁≤ k_rdla ściskania s_red=|s₃| ≤ k_g

2. hipoteza e_maxs_red=s₁ - v(s₂ + s₃)≤ k_r

3. hipoteza t _maxs_red=s₁ - s₃ ≤ k_r

4. hipoteza Hubera

Jeżeli naprężenia w rozpatrywanym przekroju są wynikiem działania wielu rodzajów obciążeń, to:

• gdy naprężenia są tego samego rodzaju (wszystkie naprężenia normalne lub styczne), to naprężenie zastępcze jest sumą algebraiczną tych naprężeń,

• gdy naprężenia są różnego rodzaju, to naprężenie zastępcze wyznaczamy, korzystając z którejś hipotezy wytrzymałościowej.

Podstawą obliczeń wytrzymałościowych jest upewnienie się, iż naprężenie zastępcze jest mniejsze od naprężenia dopuszczalnego k,σ_red < k.Naprężenie dopuszczalne wyznacza się z zależności:

Gdzie:σ_nieb - naprężenie niebezpieczne – w zależności od rodzaju materiału jest nim wytrzymałością na rozciąganie (dla materiałów plastycznych) lub naprężeniem rozrywającym dla materiałów kruchych.

x – współczynnik bezpieczeństwa

1. Podać warunki wytrzymałości na ścinanie, z uwzględnieniem naprężeń zredukowanych, określanych na podstawie znanych hipotez wytrzymałościowych.

1. hipoteza σ_max; hipoteza τ _{max ,} hipoteza Hubera , hipoteza ε_max σ_red = σ₁ – υ(σ₂+σ₃) k_r

Dla czystego ścinania: 1. hipoteza σ_{max :}σ_red = τ k_r, hipoteza τ _max:σ_red =τ-(- τ)= 2 τ k_r,hipoteza Hubera: σ_red=[ ½ * [τ² + τ² + (2τ)²]]^^{1/2 =} τ k_r, hipoteza ε_max:σ_red = τ – υ(-τ) = τ(1+υ) k_r

1. Kiedy i w jaki sposób stosujemy hipotezę Mohra?

Stosujemy dla materiałów wykazujących inne własności wytrzymałościowe na rozciąganie, a inne na ściskanie. Dla naprężeń głównych uszeregowanych w kolejności σ₁>=σ₂>=σ₃ muszą być równocześnie spełnione dwa warunki:$\sigma_{\text{red}} = \sigma_{1} - \sigma_{3}\frac{R_{m}}{\left| R_{c} \right|} \leq k_{r}$ $\sigma_{\text{red}} = \left| - \sigma_{3} + \sigma_{1}\frac{R_{c}}{R_{m}} \right| \leq k_{c}$