Wielomiany Czebyszewa

Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę wielomianów, nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszewa.

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju

Definicja rekurencyjna

Postać jawna

Rozwiązaniem powyższej rekurencji (otrzymanym np. przez metodę równania charakterystycznego rekursji) jest :

Parzystość wielomianów Czebyszewa

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k - nieparzysty:

Postać trygonometryczna

Dla podstawiając za , dla

gdzie i² = − 1

Po zastosowaniu wzoru de Moivre'a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

Wracając do zmiennej x:

(*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia poprzez funkcję trygonometryczną cos i jej odwrotność arccos. Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

Można wykazać, że

ponieważ zachodzi

oraz

zachodzi

a stąd

podstawiają za cos(t) x, otrzymuje się

Zera wielomianów Czebyszewa

Wielomian Czebyszewa T_k(x) posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

Ortogonalność

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni z funkcją wagową :

Dowód

Zastosujmy podstawienie . Mamy wówczas oraz . Stosując we wcześniejszym wzorze:

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego dostajemy

Załóżmy w tym momencie, że i rozpatrzmy obie całki osobno.

Analogicznie:

Zatem:

Widać, że założenie, iż jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe rówanania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy

W przypadku dostajemy co kończy dowód.

Przykłady wielomianów Czebyszewa [edytuj]

T₀ T₁, T₂ T₃ T₄ T₅

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

Własności

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa ma na odcinku [-1;1] najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną) spośród wszystkich wielomianów stopnia k. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

zachodzi nierówność:

Wiedząc, że dla każdego wielomian T_k(x) przyjmuje wszystkie wartości z [−1;1], możemy napisać:

Zastosowania

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej zwiazać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju

Definicja rekurencyjna

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego: