A
1. Interpolacja Lagrange'a :)
2. Iteracyjne równania liniowe :)
3. Metoda trapezu 58
4. Metoda Kutty 4 rzędu ;)
5. Różniczki wyższego rzędu
6. Równanie Laplace'a i Poissena

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Interpolacja Lagrange’a

Przedstawiony powyżej sposób podejścia do interpolacji nie jest zbyt efektywny, ponieważ macierz X jest macierzą pełną i nie zawsze dobrze uwarunkowaną, co oznacza, że numeryczna procedura jej odwracania może być obarczona dużym błędem.

W interpolacji wielomianowej Lagrange’a dla n+1 węzłów interpolacji

przyjmuje się funkcje bazowe w postaci

Funkcje te są wielomianami stopnia n zbudowanymi w ten sposób, że w funkcji bazowej φ₁ brakuje czynnika (x-x_i). Zatem wielomian interpolacji wyraża się następującym wzorem:

współczynniki a₀ ... a_n tego wielomianu wyznaczamy z równania:

X · A = Y, przy czym macierz X ma postać:

Macierz posiada tylko główną przekątną niezerową w związku z tym układ równań X · A = Y rozwiązuje się natychmiastowo

Można więc wielomian interpolacyjny Lagrange’a zapisać w postaci ułamka:

lub krócej

, j = 0, 1, ..., n

Przykład:

Wyznaczyć wielomian interpolacyjny Lagrange’a funkcji f (x) = e^x w przedziale [0,2 ; 0,5] mając dane:

f (0,2) = 1,2214, f (0,4) = 1,4918, f (0,5) = 1,6487

Należy pamiętać, ze przed przystąpieniem do obliczeń należy sprawdzić czy w wektorze x wartości się nie powtarzają, ponieważ grozi to wystąpieniem błędu dzielenia przez zero.

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

2. Metody iteracyjne

Proces iteracyjnego obliczania wrtości x polega na przyjęciu pewnej wartości początkowej X^o, zwanej przybliżeniem początkowym, a następnie wykonaniu określonych operacji arytmetycznych dających w wyniku X¹ (zwanym pierwszym przybliżeniem). Kolejne przybliżenia oblicza się wykonując te same operacje na ostatnio obliczonym przybliżeniu. Jeżeli ciąg przybliżeń {Xⁿ} zmierza do X, to proces iteracyjny jest zbieżny i tylko wtedy metoda iteracyjna jest efektywna. Metody iteracyjnego rozwiązywania układów równań liniowych można stosować dla układów typu...

Przykład: Sprowadzić układ do postaci AX=B

2x₁+x₂+x₃=4 x₁=-0,5x₂-0,5x₃+2

x₁+x₂-x₃=1 x₂=-x₁+x₃+1

x₁+x₂+x₃=3 x₃=-x₁-2x₂+4

W pierwszej kolejności macierz A zakładamy na dwie macierze D i R przy czym D zawiera tylko główną przekątną macierzy A, natomiast R pozostałe jej elementy.

A = D + R

Równanie A*X=B sprawdziło się dla

D*X+R*X=B D*X=-R*X+B

Ostatnie równanie pomnożymy lewostronnie przez D^-1 i otrzymujemy:

E*X=D^-1*R*X+D^-1*B

Oznaczając –D^-1*R=W i D^-1*B=Z dochodzimy dorównania: X=W*X+Z

Wracając do zadania:

ponieważ

więc jak łatwo sprawdzić mamy taki sam układ jaki znaleziono sposobem „naturalnym”

Metoda iteracji prostej (Jakobiego):

Metoda ta dla równania X=W*X+Z polega na przyjęciu zerowego przybliżenia wektora X=X^o, a następnie przeprowadzenia obliczeń iteracyjnych za pomocą zależności:

Xⁱ⁺¹=W*Xⁱ+Z i=0,1,...

Liczba kroków, które należy wykonać, aby uzyskać wymaganą dokładność rozwiązania, jest z reguły dość duża i istotnie zależy od przyjęcia punktu startowego X^o. Punkt ten najczęściej się dobiera na podstawie dodatkowych informacji o fizycznych aspektach problemu.

Przykład: Metodę iteracji prostej wykorzystano do rozwiązania układu równań będącego różnicową aproksymacją równania Laplace`a z warunkami brzegowymi I rodzaju. Równanie to opisuje stacjonarne pole temperatury w pewnym dwuwymiarowym obszarze, na którego brzegach temperatury są znane. Jako przybliżenie zerowe przyjęto wartość temperatur w wnętrzu obszaru T=50°C, wymiary prostokątne a=b=0,8 cm.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Wzór trapezów

Wyznaczmy wzór kwadratury dla n = 1

wówczas:

Ostatecznie otrzymujemy

powyższe równanie jest znane jako wzór trapezów – widać, że wzór pozwala dokładnie obliczyć całkę dla dowolnej funkcji, dla której druga pochodna jest zero (wtedy reszta jest 0).

Zauważmy, że dla powyższych rozwiązań końce przedziału całkowania są węzłami kwadratury x₀=a oraz x_n=b. Wzory kwadratur oparte na tych węzłach nazywamy wzorami zamkniętymi Newtona – Cotesa. Podobnie wyznaczyć można wzory dla innych n.

złożony wzór trapezów:

(30)

gdzie błąd przybliżenia (31)

oraz

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Metody Rungego-Kutty

Powszechnie na całym świecie stosuje się metody Rungego–Kutty czwartego rzędu. Polegają one na rozwiązaniu zagadnienia:

gdzie t∈ [a,b] oraz y(a)=α (25)

i przedstawieniu różnicy funkcji y(t) w punktach t_i+1 oraz t_i w postaci:

w_i+1 - w_i = lub inaczej w_i+1 – w_i = h0 (t_i,w_i,h) (26)

gdzie m oznacza rząd metody, c_j są stałymi, a

gdzie α_j, β_j, γ_j, _δlj – stałe

h - krok całkowania

Określenie stałych c_j, α_j, β_j otrzymujemy poprzez rozwinięcie funkcji f(t,y) w szereg Taylora w otoczeniu punktu t_i

Metody R-K – metoda 2 rzędu

Metoda wyprowadzona przez rozwinięcie f(t,y) w szereg Taylora 2 rzędu pozwala określić stałe c₁, α₁,β₁, c₂, α₂, β₂ :

Metoda punktu środkowego:

C1 = 0 C2 = 1 α₁ = 0 α₂ = h/2 β1 = 0 β2 = ½ (28)

wówczas możemy zapisać:

k₁=hf (t_i,w_i) k₂=hf (t_i + ½ h, w_i + ½ k₁)

ostatecznie:

w_i+1=w_i+k₂

lub

w_i+1=w_i + hf(t_i + h/2, w_i + h/2 * f(t_i, w_i))

Interpretacja graficzna:

f₁=f(t_i,w_i) f₂=f(t_i + h/2, w_i + h/2 * f₁)

Stosując metody Rungego–Kutty 2 rzędu , rozwiązać następujące równanie różniczkowe:

y’=y-t² + 1 0≤ t ≤2 y(0)=0,5

dla N = 10 wtedy h = 0,2; t_i = i⋅h ; w₀ = 0,5 oraz

metoda punktu środkowego w_i+1 = 1,22 w_i – 0,0088 i² + 0,218

Metoda zmodyfikowana Eulera

w_i+1 = 1,22 w_i - 0,0088 i² + 0,216

Metoda Heana dla i = 0, 1, ..., 9

w_i+1 = 1,22 w_i - 0,0088 i² + 0,2173

Rozwiązanie dokładne ma postać:

y(t) = (t²+1) - 0,5 e^t

Metody R-K rzędu 4

Metoda wyprowadzona przez rozwinięcie f(t,y) w szereg Taylora 4 rzędu, pozwala określić stałe we wzorze (wzór ogólny R-K). Poniżej przedstawiono najczęściej stosowaną metodę 4 rzędu

k₁ = hf (t_i, w_i)

k₂ = hf (t_i + ½ *h, w_i + ½ *k₁)

k₃ = hf (t_i + ½ *h, w_i + ½ *k₂) (37)

k₄ = hf (t_i+h, w_i+k₃)

ostatecznie:

w_i+1=w_i + 1/6 (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) (38)

Interpretacja graficzna:

f₁ = f (t_i, w_i)

f₂ = f (t_i + ½ * h, w_i+1 + h f₁)

f₃ = f (t_i + ½ * h, w_i + ½ * h f₂)

f₄ = f (t_i + h, w_i + h f₃)

linia 3-4 nie jest łamana – jest prosta !!! (na 99%) :)

Metoda R-K jest najczęściej stosowaną metodą do rozwiązywania układów równań różniczkowych ---------- ---------------------------------------------------------------------

6.

Problem ten opisuje równanie Laplace’a 89 str

Równania różniczkowe cząstkowe – warunek brzegowy Neumanna

Warunek brzegowy Neumanna

dla

gdzie: – pochodna normalna poszukiwanej funkcji w punktach należących do brzegu S obszaru R, g(x,y) – zadana funkcja dla punktów (x,y) należących do brzegu S obszaru R.

Oznacza to, że na brzegu obszaru zmienność funkcji u(x,y) w kierunku normalnym dla punktów (x,y) ∈ S jest równa funkcji g(x,y).

Dla zmiennej x

Dla zmiennej y

Równania różniczkowe cząstkowe z warunkiem brzegowym - Równania eliptyczne - Poissona i Laplace’a

Równania różniczkowe cząstkowe eliptyczne znane jako równanie Poissona , dla dwóch wymiarów i prostokątnego układu współrzędnych przyjmuje postać:

(1)

na

z warunkami brzegowymi dla

W powyższym równaniu funkcja f opisuje dane wejściowe na płaszczyźnie dla obszaru R ograniczonego brzegiem S. Równania tego typu są stosowane dla różnych problemów fizycznych, które są niezależne od czasu. Najczęściej stosowane są do obliczenia rozkładu potencjału (np. temperatury) w stanie ustalonym.

Szczególnym przypadkiem równania Poissona gdy f(x,y)=0 jest równanie Laplace’a.

Aby rozwiązać równanie cząstkowe eliptyczne (1) zastosujemy metodę różnic skończonych MRS.

W tym celu weźmiemy dwie liczby całkowite m i n, i zdefiniujemy kroki całkowania h = (b-a)/n oraz k = (c-d)/m. Dzięki temu możemy podzielić: przedział [a,b] na n równych części o szerokości h oraz przedział [c,d] na m równych części o szerokości k.

Umieśćmy siatkę na obszarze R poprzez narysowanie pionowych i poziomych linii przechodzących przez punkty (xi, yj), takich że:

dla i = 0,1, .. n

oraz dla j = 0,1, .. m

Linie x = xi oraz y = yj nazywamy liniami siatki, natomiast ich punkty przecięcia (xi,yj) nazywamy punkami węzłowymi siatki. Dla wewnętrznych punktów węzłowych (xi,yj), które nie należą do brzegu obszaru R, zastosujemy metodę różnic skończonych – MRS. Metoda ta opiera się na zastąpieniu pochodnych cząstkowych rozwinięciem funkcji w szereg Taylora w otoczeniu punktu (xi,yj) – (patrz druga pochodna numeryczna) . Wówczas otrzymujemy:

Dla zmiennej x

(2)

gdzie:

Dla zmiennej y

(3)

gdzie:

Podstawiając wzory (2) oraz (3) do równania Poissona (1) otrzymujemy:

(4)

dla i = 1,2 … n-1 oraz j = 1,2, … m-1

natomiast warunki brzegowe mają postać:

oraz dla j = 0,1, .. m (5)

oraz dla i = 1,2, .. n (6)

Ostatecznie wzór na MRS, podstawiając za (xi,yj) = wij oraz wyłączając oszacowanie błędu zapisujemy:

(7)

dla i = 1,2 … n-1 oraz j = 1,2, … m-1

natomiast warunki brzegowe mają postać:

oraz dla j = 0,1, .. m (8)

oraz dla i = 1,2, .. n (9)

gdzie w_ij jest przybliżeniem u(x_i,y_j).

Analizując równanie (7) można zauważyć, że w celu wyznaczenia przybliżenie rozwiązania w punkcie (xi,yj), potrzebne są wartości przybliżenia rozwiązania w czterech sąsiednich punktach – patrz rysunek obok.

Postać macierzowa

Jak widać poszukujemy rozwiązania równania Poissona dla wewnętrznych węzłów siatki, w tym celu dla każdego punktu siatki układamy równanie (7). Po uwzględnieniu warunków brzegowych otrzymujemy układ (n-1)×(m-1) równań liniowych. Układ równań możemy rozwiązać metodami deterministycznymi bądź iteracyjnymi.

Zakładając, że h = k możemy wyprowadzić uproszczoną postać równania (7) :

(10)

dla i = 1,2 … n-1 oraz j = 1,2, … m-1

natomiast warunki brzegowe są takie same jak (8) i (9) :

Postać iteracyjna

Równanie (7) i (10) można przedstawić również w postaci iteracyjnej, wyprowadzając wij z każdego równania, gdzie l oznacza numer iteracji :

z równania (7) (11)

z równania (10) (12)