Definicja
Trójkę (P,+, ∙ ) złożoną ze zbioru P oraz dwóch działań wewnętrznych dodawania + i mnożenia ∙ nazywamy pierścieniem , gdy spełnione są warunki:
1. (P,+) jest grupa abelową
2. dla każdego a,b,cɛP (a∙b)∙c= a∙(b∙c)
3. dla każdego a,b,cɛP a∙(b+c)=a∙b+a∙c (a+b)∙c=a∙c+b∙c
Definicja
Element neutralny grupy (P,+) oznaczamy 0 i czytamy zero pierścienia
Dla każdego aɛP a+0=0+a=a
Definicja
Element odwrotny do aɛP w grupie (P,+) oznaczamy –a
Podstawowe właściwości pierścieni
a∙0=0∙a=0
a∙(-b)=(-a)∙b= -(a∙b)
a∙(b-c)=a∙b-a∙c a-b= a +(-b)
(a-b)∙c=a∙c-b∙c
Stwierdzenie
f↔A f:Vn→Vn
fA ͦ fB=fC C=A∙B
fA+fB=fA+B
f A ͦ fB=fA∙B
Definicja
W dowolnym pierścieniu P, element eɛP nazywamy elementem neutralnym mnożenia, gdy spełniony jest warunek:
Dla każdego aɛP e∙a=a∙e=a
Element e oznaczamy 1 i czytamy jedynka pierścienia.
Uwaga
Jeżeli w pierścieniu istnieją elementy neutralne mnożenia to jest tylko jeden.
Definicja
Jeżeli pierścień ma jedynkę to nazywamy go pierścieniem z jedynka. Jeżeli w pierścieniu mnożenie jest przemienne, to pierścień nazywamy przemiennym.
Definicja
Element a≠0 pierścienia D nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje 0≠bɛD takie ze a∙b=0 lub b∙a=0
Definicja
Pierścień przemienny z 1≠0 i bez dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym.
Uwaga
Pierścień 2 jest pierścieniem całkowitym
Uwaga
W pierścieniu P≠{0} z jedynką, 1≠0.
Definicja
Niech (P,+,·) będzie pierścieniem, niech Ø≠E<P. Jeżeli (E,+|H×H,∙|E×E) jest pierścieniem to nazywamy go pod pierścieniem pierścienia.(Niestety podzbiór E pierścienia P nazywamy pod pierścieniem pierścienia P jeżeli sam jest pierścieniem ze względu na działanie określone w P)
Twierdzenie
Niepusty podzbiór E pierścienia P jest pod pierścieniem pierścienia P ó:
1. dla każdego a,bɛE a-bɛE ((E,+) podgrupa (P,+)) (dla każdego a,bɛH a∙b^-1ɛH)
2. dla każdego a,bɛE a∙bɛE
Definicja
Niepusty podzbiór J pierścienia P nazywamy ideałem pierścienia P, gdy
1. dla każdego a,bɛI a-bɛI ((I,+) podgrupa (P,+))
2. dla każdego aɛI dla każdego cɛP a∙cɛI ˄ c∙aɛI
Uwaga
Każdy ideał jest pod pierścieniem.
Definicja
Ideał pierścienia P nazywamy ideałem trywialnym, gdy
I={0} lub I=P.
Definicja
Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem pierwszym, gdy
Dla każdego a,bɛP a∙bɛI => aɛI ˅ bɛI.
Definicja
Ideał nie trywialny I pierścienia P nazywamy ideałem maksymalnym, gdy
Dla każdego I ideałem w P PﬤJﬤI=> I=J ˄ J=P
(Nie istnieje taki ideał J pierścienia P, dla którego PﬤJﬤI).
Definicja
Niech (P,+, ∙) oraz (P’,Θ,ʘ) będą pierścieniami. Odwzorowanie φ:P→P’ nazywamy homomorfizmem pierścieni, gdy
Dla każdego a,bɛP φ(a+b)= φ(a) Θ φ(b) φ(a∙b)=φ(a) ʘ φ(b)
podstawowe własności homomorfizmu pierścienia
φ(0p)=0p’ φ(-a)=- φ(a) φ(a-b)= φ(a)- φ(b)
Definicja
Jeżeli homomorfizm pierścieni jest odwzorowaniem ,,na” (różnowartościowym) zbioru P na P’ to nazywamy go epimorfizmem (monomorfizmem) pierścieni. Odwzorowanie φ:P→P’ będące epi i monomorfizmem nazywamy izomorfizmem pierścieni.
Kerφ={aεP: φ(a)=0p’}
Imφ={bεP’: ƎaεP b=φ(a)}
Lemat
Niech φ:P→P’ będzie homomorfizmem pierścieni. Wówczas kerφ jest ideałem pierścienia P, a Imφ jest jedynie pod pierścieniem pierścienia P’.
pierścień wielomianów
niech P będzie pierścieniem przemiennym z 1≠0
Definicja
ciąg nieskończony (a0,a1,…,an,…) elementami pierścienia
P nazywamy wielomianem jeśli istnieje takie n0, że dla dowolnych s>n0 ,aS=0
Zbiór wielomianów oznaczamy P[x]. w zbiorze P[x] wprowadzamy działanie
(a0,a1,…,an,…)+(b0,b1,…,bn,…)=(a0+b0,a1+b1,…,an+bn,…)
(a0,a1,…,an,…) ∙(b0,b1,…,bn,…)=(c0,c1,…,cn,…)
cn=Σj=0 do n aj c0=a0∙b0 c1=a1∙b1
Uwaga
strukturę (P[x],+, ∙) jest pierścieniem.
Twierdzenie
Jeżeli w pierścieniu P nie ma dzielników zera to w pierścieniu P[x] nie ma dzielników zera.
Definicja
Niech f=(a0,a1,…,An,0,…) ≠0 oraz dla każdego s>n aS=0 i aN≠0
Wówczas n nazywamy stopniem wielomianu f.
Uwaga
(w pierścieniu przemiennym z jedynką) zachodzi wzór:
x^M-c^M=(x-c)(x^m-1+cx^m-2+…+c^m-1) m>0, cεP
Definicja
Element c pierścienia P nazywamy pierwiastkiem wielomianu fεP[x], gdy f(c)=0
Uwaga
(w pierścieniu przemiennym z jedynką)
cεP jest pierwiastkiem wielomianu fεP[x] óƎgεP[x] f(x)=)(x-c)g(x)
Definicja
element cεP nazywamy pierwiastkiem p-krotnym wielomianu fεP[x], gdy
1. ƎgεP[x] f(x)=(x-c)g(x)
2.~( ƎkεP[x] f(x)=(x-c)^p+1k(x))
Uwaga
W pierścieniu całkowitym (przemiennym z 1 i bez dzielników 0) cεP jest pierwiastkiem p-krotnym wielomianu fεP[x]ó
1. Ǝ gεP[x] f(x)=(x-c)^pg(x)
2. g(c) ≠0
Twierdzenie o algorytmie dzielenia wielomianów
niech φ1 φ2 ϵK[x] oraz φ2≠O.wówczas istnieją wielomiany ψ, RϵK[x] takie, ze φ1=φφ2+R stR=stφ2 lub R=O(φ1|φ2)
wielomiany ψ oraz R są wyznaczone jednoznacznie.
Zasadnicze twierdzenie algebry
Twierdzenie
Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach zespolonych ma w ciele liczb zespolonych co najmniej jeden pierwiastek
Twierdzenie Bezout
Reszta z dzielenia wielomianu φ ϵK[x] przez wielomian (x-c) jest φ(c)
Definicja
Niech φ1,φ2ϵK[x] oraz co najmniej jeden spośród wielomianów φ1,φ2 jest różny od O.
Wielomian σ=(φ1,φ2) nazywamy największym wspólnym dzielnikiem. Wielomian φ1, φ2 gdy spełnione są warunki:
1.wspólczynnik przy najwyższej potędze wielomianu σ jest równy 1
2. σ|φ1 ˄ σ|φ2
3. kakta|φ1 ˄ kakta|φ2 =>kakta|σ
Twierdzenie
Dla dowolnego wielomianu φ1,φ2 ϵK[x], z których co najmniej jeden jest różny od O. istnieją wielomiany x1,x2ϵK[x]
Definicja
Mówimy, że wielomiany φ1,φ2 ϵ K[x] są względnie pierwsze, gdy (φ1,φ2)=1.
Twierdzenie
Dla dowolnych wielomianów φ1,φ2 ϵ K[x](K-ciało) takich, że co najmniej 1 z nich różny od O istnieją wielomiany x1,x2 ϵ K[x], dla których zachodzi równość
(φ1,φ2)=x1φ1+x2φ2
Definicja
Niech φ1,φ2 ϵ K[x] oraz φ1≠O≠φ2. najmniejszą wspólną wielokrotnością wielomianów φ1,φ2 nazywamy wielomianem ψ=[φ1,φ2] o następujących własnościach:
1. współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu ψ jest równy iloczynowi współczynników przy najwyższych potegach wielomianów φ1, φ2
2. φ1|ψ ˄ φ2|ψ
3. φ1|ω ˄ φ2|ω => ψ|ω
Twierdzenie
I dla dowolnych wielomianów φ1,φ2ϵK[x], z których co najmniej jeden jest różny od zera, istnieje dokładnie jeden największy wspólny dzielnik tych wielomianów.
II dla dowolnych wielomianów φ1,φ2ϵK[x] takich, że φ1≠O≠φ2 istnieje dokładnie jedna najmniejsza wspólna wielokrotność tych wielomianów.
Definicja
Trójkę (P,+, ∙ ) złożoną ze zbioru P oraz dwóch działań wewnętrznych dodawania + i mnożenia ∙ nazywamy pierścieniem , gdy spełnione są warunki:
1. (P,+) jest grupa abelową
2. dla każdego a,b,cɛP (a∙b)∙c= a∙(b∙c)
3. dla każdego a,b,cɛP a∙(b+c)=a∙b+a∙c (a+b)∙c=a∙c+b∙c
Definicja
Element neutralny grupy (P,+) oznaczamy 0 i czytamy zero pierścienia
Dla każdego aɛP a+0=0+a=a
Definicja
Element odwrotny do aɛP w grupie (P,+) oznaczamy –a
Podstawowe właściwości pierścieni
a∙0=0∙a=0
a∙(-b)=(-a)∙b= -(a∙b)
a∙(b-c)=a∙b-a∙c a-b= a +(-b)
(a-b)∙c=a∙c-b∙c
Stwierdzenie
f↔A f:Vn→Vn
fA ͦ fB=fC C=A∙B
fA+fB=fA+B
f A ͦ fB=fA∙B
Definicja
W dowolnym pierścieniu P, element eɛP nazywamy elementem neutralnym mnożenia, gdy spełniony jest warunek:
Dla każdego aɛP e∙a=a∙e=a
Element e oznaczamy 1 i czytamy jedynka pierścienia.
Uwaga
Jeżeli w pierścieniu istnieją elementy neutralne mnożenia to jest tylko jeden.
Definicja
Jeżeli pierścień ma jedynkę to nazywamy go pierścieniem z jedynka. Jeżeli w pierścieniu mnożenie jest przemienne, to pierścień nazywamy przemiennym.
Definicja
Element a≠0 pierścienia D nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje 0≠bɛD takie ze a∙b=0 lub b∙a=0
Definicja
Pierścień przemienny z 1≠0 i bez dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym.
Uwaga
Pierścień 2 jest pierścieniem całkowitym
Uwaga
W pierścieniu P≠{0} z jedynką, 1≠0.
Definicja
Niech (P,+,·) będzie pierścieniem, niech Ø≠E<P. Jeżeli (E,+|H×H,∙|E×E) jest pierścieniem to nazywamy go pod pierścieniem pierścienia.(Niestety podzbiór E pierścienia P nazywamy pod pierścieniem pierścienia P jeżeli sam jest pierścieniem ze względu na działanie określone w P)
Twierdzenie
Niepusty podzbiór E pierścienia P jest pod pierścieniem pierścienia P ó:
1. dla każdego a,bɛE a-bɛE ((E,+) podgrupa (P,+)) (dla każdego a,bɛH a∙b^-1ɛH)
2. dla każdego a,bɛE a∙bɛE
Definicja
Niepusty podzbiór J pierścienia P nazywamy ideałem pierścienia P, gdy
1. dla każdego a,bɛI a-bɛI ((I,+) podgrupa (P,+))
2. dla każdego aɛI dla każdego cɛP a∙cɛI ˄ c∙aɛI
Uwaga
Każdy ideał jest pod pierścieniem.
Definicja
Ideał pierścienia P nazywamy ideałem trywialnym, gdy
I={0} lub I=P.
Definicja
Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem pierwszym, gdy
Dla każdego a,bɛP a∙bɛI => aɛI ˅ bɛI.
Definicja
Ideał nie trywialny I pierścienia P nazywamy ideałem maksymalnym, gdy
Dla każdego I ideałem w P PﬤJﬤI=> I=J ˄ J=P
(Nie istnieje taki ideał J pierścienia P, dla którego PﬤJﬤI).
Definicja
Niech (P,+, ∙) oraz (P’,Θ,ʘ) będą pierścieniami. Odwzorowanie φ:P→P’ nazywamy homomorfizmem pierścieni, gdy
Dla każdego a,bɛP φ(a+b)= φ(a) Θ φ(b) φ(a∙b)=φ(a) ʘ φ(b)
podstawowe własności homomorfizmu pierścienia
φ(0p)=0p’ φ(-a)=- φ(a) φ(a-b)= φ(a)- φ(b)
Definicja
Jeżeli homomorfizm pierścieni jest odwzorowaniem ,,na” (różnowartościowym) zbioru P na P’ to nazywamy go epimorfizmem (monomorfizmem) pierścieni. Odwzorowanie φ:P→P’ będące epi i monomorfizmem nazywamy izomorfizmem pierścieni.
Kerφ={aεP: φ(a)=0p’}
Imφ={bεP’: ƎaεP b=φ(a)}
Lemat
Niech φ:P→P’ będzie homomorfizmem pierścieni. Wówczas kerφ jest ideałem pierścienia P, a Imφ jest jedynie pod pierścieniem pierścienia P’.
pierścień wielomianów
niech P będzie pierścieniem przemiennym z 1≠0
Definicja
ciąg nieskończony (a0,a1,…,an,…) elementami pierścienia
P nazywamy wielomianem jeśli istnieje takie n0, że dla dowolnych s>n0 ,aS=0
Zbiór wielomianów oznaczamy P[x]. w zbiorze P[x] wprowadzamy działanie
(a0,a1,…,an,…)+(b0,b1,…,bn,…)=(a0+b0,a1+b1,…,an+bn,…)
(a0,a1,…,an,…) ∙(b0,b1,…,bn,…)=(c0,c1,…,cn,…)
cn=Σj=0 do n aj c0=a0∙b0 c1=a1∙b1
Uwaga
strukturę (P[x],+, ∙) jest pierścieniem.
Twierdzenie
Jeżeli w pierścieniu P nie ma dzielników zera to w pierścieniu P[x] nie ma dzielników zera.
Definicja
Niech f=(a0,a1,…,An,0,…) ≠0 oraz dla każdego s>n aS=0 i aN≠0
Wówczas n nazywamy stopniem wielomianu f.
Uwaga
(w pierścieniu przemiennym z jedynką) zachodzi wzór:
x^M-c^M=(x-c)(x^m-1+cx^m-2+…+c^m-1) m>0, cεP
Definicja
Element c pierścienia P nazywamy pierwiastkiem wielomianu fεP[x], gdy f(c)=0
Uwaga
(w pierścieniu przemiennym z jedynką)
cεP jest pierwiastkiem wielomianu fεP[x] óƎgεP[x] f(x)=)(x-c)g(x)
Definicja
element cεP nazywamy pierwiastkiem p-krotnym wielomianu fεP[x], gdy
1. ƎgεP[x] f(x)=(x-c)g(x)
2.~( ƎkεP[x] f(x)=(x-c)^p+1k(x))
Uwaga
W pierścieniu całkowitym (przemiennym z 1 i bez dzielników 0) cεP jest pierwiastkiem p-krotnym wielomianu fεP[x]ó
1. Ǝ gεP[x] f(x)=(x-c)^pg(x)
2. g(c) ≠0
Twierdzenie o algorytmie dzielenia wielomianów
niech φ1 φ2 ϵK[x] oraz φ2≠O.wówczas istnieją wielomiany ψ, RϵK[x] takie, ze φ1=φφ2+R stR=stφ2 lub R=O(φ1|φ2)
wielomiany ψ oraz R są wyznaczone jednoznacznie.
Zasadnicze twierdzenie algebry
Twierdzenie
Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach zespolonych ma w ciele liczb zespolonych co najmniej jeden pierwiastek
Twierdzenie Bezout
Reszta z dzielenia wielomianu φ ϵK[x] przez wielomian (x-c) jest φ(c)
Definicja
Niech φ1,φ2ϵK[x] oraz co najmniej jeden spośród wielomianów φ1,φ2 jest różny od O.
Wielomian σ=(φ1,φ2) nazywamy największym wspólnym dzielnikiem. Wielomian φ1, φ2 gdy spełnione są warunki:
1.wspólczynnik przy najwyższej potędze wielomianu σ jest równy 1
2. σ|φ1 ˄ σ|φ2
3. kakta|φ1 ˄ kakta|φ2 =>kakta|σ
Twierdzenie
Dla dowolnego wielomianu φ1,φ2 ϵK[x], z których co najmniej jeden jest różny od O. istnieją wielomiany x1,x2ϵK[x]
Definicja
Mówimy, że wielomiany φ1,φ2 ϵ K[x] są względnie pierwsze, gdy (φ1,φ2)=1.
Twierdzenie
Dla dowolnych wielomianów φ1,φ2 ϵ K[x](K-ciało) takich, że co najmniej 1 z nich różny od O istnieją wielomiany x1,x2 ϵ K[x], dla których zachodzi równość
(φ1,φ2)=x1φ1+x2φ2
Definicja
Niech φ1,φ2 ϵ K[x] oraz φ1≠O≠φ2. najmniejszą wspólną wielokrotnością wielomianów φ1,φ2 nazywamy wielomianem ψ=[φ1,φ2] o następujących własnościach:
1. współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu ψ jest równy iloczynowi współczynników przy najwyższych potegach wielomianów φ1, φ2
2. φ1|ψ ˄ φ2|ψ
3. φ1|ω ˄ φ2|ω => ψ|ω
Twierdzenie
I dla dowolnych wielomianów φ1,φ2ϵK[x], z których co najmniej jeden jest różny od zera, istnieje dokładnie jeden największy wspólny dzielnik tych wielomianów.
II dla dowolnych wielomianów φ1,φ2ϵK[x] takich, że φ1≠O≠φ2 istnieje dokładnie jedna najmniejsza wspólna wielokrotność tych wielomianów.