1. CELE NAUCZANIA W KLASACH POCZĄTKOWYCH

Trzeba wyraźnie zdawać sobie sprawę z tego, że celem nauczania matematyki jest nie tylko przekazanie pewnych treści merytorycznych wymienionych w programie nauczania, lecz również formowanie pożądanej postawy intelektualnej ucznia, w szczególności pobudzanie aktywności umysłowej i chęci samodzielnego pokonywania trudności, kształcenie umiejętności logicznego i krytycznego myślenia, abstrahowania i matematycznego analizowania zjawisk.

1. Matematyka jest potężnym czynnikiem kształtowania osobowości człowieka, toteż nauczanie tego przedmiotu musi uwzględnić m. in. potrzebę zaspokajania ciekawości i zdobywania wiedzy przez dziecko.

2. Rozpatrywane w szkole abstrakcyjne problemy matematyczne powinny być inspirowane i motywowane konkretnymi zagadnieniami interesującymi uczniów. Powinniśmy uczyć z jednej strony konstruowania abstrakcyjnych modeli matematycznych odpowiadających sytuacjom poznawczym, a z drugiej strony – dostrzegania praktycznych zastosowań. Związek matematyki z życiem winien być obustronny.

3. Przy wyborze treści nauczania powinniśmy myśleć o potrzebach społeczeństwa w wieku XXI.

4. Należy kłaść szczególny nacisk na przygotowanie ucznia do analizowania nowych dla niego sytuacji i szybkiego przystawania się do nich.

5. Należy dążyć do tego, aby na lekcjach matematyki uczniowie jak najwięcej pracowali samodzielnie i podejmując próby rozwiązywania problemów sami dochodzili do pojęć matematycznych.

6. Nauczanie musi być prowadzone tak, aby stopniowo stworzyć w umyśle ucznia całościowy, strukturalny i trwały obraz matematyki.

7. Program nauczania powinien być traktowany elastycznie, a metody nauczania trzeba dostosować do indywidualnych możliwości uczniów. Szczególnie ważne jest nauczanie wielopoziomowe.

8. Troska o ucznia słabego i wysiłek, by przyjść mu z pomocą, nie może wiązać się z zaniedbywaniem uczniów zdolniejszych.

Zasada naukowości

Orzeka ona, że treści nauczania i sposoby ich przedstawiania muszą być zgodne z aktualnym stanem nauki. Polega ona na omawianiu każdego zagadnienia w taki sposób, by nie utrudniać późniejszego przejścia do bardziej abstrakcyjnego i bardziej precyzyjnego ujmowania tego zagadnienia. Z zasadą tą wiąże się także konieczność uwzględniania właściwej kolejności przerabiania materiału. Materiał nauczania należy tak dobierać, by stopniowo w procesie uczenia się, matematyka stała się dla dziecka spójnym układem wiadomości o jasno zarysowanej strukturze. Ważna jest również hierarchia ważności tematów przewidzianych programem nauczania, powinno akcentować się to, co w danym materiale jest ważne, istotne z matematycznego punktu widzenia.

Zasada poglądowości

Polega na przechodzeniu od konkretnych czynności dzieci, poprzez odpowiednią reprezentację graficzną, do pojęć abstrakcyjnych. Zasada ta wymaga takiego opracowania materiału, przy którym wyobrażenia i pojęcia uczniów kształtują się na podstawie aktualnego lub dawnego postrzegania odpowiednich przedmiotów i zjawisk. Do pojęć abstrakcyjnych, będących celem nauczania, prowadzi droga od samorzutnej zabawy, przez celową działalność, najpierw konkretną, potem umysłową. Dziecko jest zdolne do osiągnięcia czegoś w działaniu dużo wcześniej, niż może sobie uświadomić, co naprawdę osiąga. Jeżeli dziecko nie nabędzie odpowiednich doświadczeń umysłowych przez wykonywanie konkretnych czynności, to nie będzie przygotowane do rozumienia związanych z tym pojęć matematycznych. Samodzielnej działalności dziecka nie zastąpi pokaz tych samych czynności przez nauczyciela lub wybranego ucznia. Spostrzeżenia są intensywniejsze, jeżeli uczeń nie tylko ogląda jakiś przedmiot z daleka, ale także bierze go do ręki, manipuluje nim, ewentualnie bada jego smak lub zapach, czyli jeżeli przedmiot oddziaływa nie tylko na analizator wzrokowy ucznia, ale także na inne jego analizatory. Najczęstszymi wykroczeniami wobec zasady poglądowości jest opieranie nauczania na mowie, podawanie gotowych sformułowań oraz uczenie reguł rachunkowych bez uprzedniego wykonania analogicznych działań na konkretach. Z zasady poglądowości jasno wynika niemożność liniowego nauczania matematyki, tzn. kolejnego przerabiania wszystkich tematów bez powracania do zagadnień raz już poruszanych

Zasada świadomego i aktywnego uczenia się

Abstrakcyjny charakter matematyki powoduje szybkie wyczerpywanie się uwagi uczniów oraz z nużenie, obserwowane przez każdego nauczyciela matematyki. Wciąganie uczniów do aktywnej i świadomej pracy nad przedmiotem w czasie lekcji w wysokim stopniu przeciwdziała zanikowi uwagi u uczniów. Aktywny ich udział, polegający czy to na wykonywaniu poleconych prze nauczyciela czynności i zadań, czy szukaniu odpowiedzi na jego pytania, mobilizuje zainteresowanie uczniów i uwagę mimowolną, która nie powoduje znużenia jak uwaga dowolna. Nauczyciel ma tak pokierować zajęciami i zainteresowaniami uczniów, by pobudzić ich do samodzielnego dochodzenia do pewnych prawd matematycznych. O słuszności prawd matematycznych uczeń powinien być przekonany wewnętrznie, na podstawie własnego doświadczenia i własnego rozumowania. Zasada ta dotyczy zarówno opanowania nowego materiału (uczeń powinien rozumieć konkretną sytuację stanowiącą punkt wyjścia rozważań), jak i wykorzystywania już posiadanej wiedzy w sposób planowy i świadomy, wymagający możliwie pełnej samodzielności myślenia i działania. Ogromną role odgrywa myślenie intuicyjne, które lepiej odpowiada naturze dzieci w tym wieku. Jedna z najlepszych form nauczania jest postawienie dzieciom konkretnego problemu, którego rozwiązania wymagać będzie zauważenia pewnych prawidłowości, wprowadzenia pewnych pojęć lub zastosowania nowych metod. Świadomy udział ucznia wiąże się z jego aktywnością. Najważniejsza jest aktywność umysłowa, która powinna być pobudzana przez dostarczenie mu ciekawych problemów oraz motywacji do ich rozwiązywania.

Zasada przystępności nauczania

Z zasady świadomości i aktywności uczniów wynika zasada przystępności – uczeń nie może świadomie i aktywnie zajmować się tym, co nie jest dla niego przystępne. Zasada przystępności wymaga, aby nauczanie było dostosowane do sił i możliwości uczniów.Dostosowanie nauczania do możliwości ucznia wymaga dostosowania programu nauczania oraz samego procesu nauczania. Nieodpowiedni program, jak i źle prowadzony proces nauczania mogą być źródłem poważnych trudności ucznia.Z zasadą przystępności wiąże się zasada stopniowania trudności.

Zasada trwałości wiedzy

Trwałe opanowanie przez ucznia poznanych wiadomości jest szczególnie ważne w nauczaniu matematyki. W matematyce bowiem nieustannie nowe wiadomości opierają się na poprzednich i dlatego mgliste i mętne wiadomości mnie są wystarczającą podstawą, gdy w nauczaniu trzeba przechodzić do zastosowań, czy do nowych wiadomości. Zasada trwałości wymaga trwałego przyswojenia sobie przez ucznia poznanych wiadomości i umiejętności. Na dobre przyswojenie pamięciowe wiadomości składa się zatem zapamiętanie, utrwalenie i możliwość przypomnienia ich sobie w dowolnym czasie.Najlepszą forma utrwalania wiadomości jest rozwiązywanie ciekawych i kształcących zadań. Utrwalanie powinno być połączone z pogłębianiem i systematyzowaniem wiadomości oraz ze stopniowym wiązaniem ich w jedną, zrozumiałą dla ucznia, logiczną całość.

Zasada wiązania teorii z praktyką

Związek matematyki z życiem jest obustronny, z jednej strony rozmaite spotykane na co dzień konkretne problemy praktyczne inspirują rozważania prowadzącego pojęć abstrakcyjnych, a z drugiej strony matematyka jest potężnym narzędziem badania otaczającej ans rzeczywistości. Nauczanie matematyki powinno przyczynić się do kształtowania ogólnego poglądu ucznia na świat oraz do przekonania go o użyteczności zdobywanej wiedzy. Od najmłodszych lat należy zwracać uwagę dziecka na rozliczne, spotykane na każdym kroku powiązania matematyki z życiem

Zasada systematyczności i logicznej kolejności

Termin systematyczność łączy w sobie dwa różne zagadnienia. Jedno z nich to sprawa struktury nabywanej przez uczniów wiedzy, a drugie – to sprawa ciągłości i wytrwałości wysiłków nauczyciela i uczniów. Struktura nabywanej przez człowieka wiedzy może być chaotyczna, jak to się dzieje z wiadomościami zbieranymi w sposób przypadkowy w ciągu życia, lub może być uporządkowana w taki sposób, ze poszczególne wiadomości wiążą się. Wiadomości uporządkowane mogą być tak dobierane, aby nie było wśród nich poważniejszych luk i aby stanowiły pewną całość. W zasadzie systematyczności i logicznej kolejności chodzi właśnie o taką uporządkowaną wiedzę uczniów. Zasada ta oznacza więc także postulat porządkowania w czasie lekcji poznawanego przez uczniów materiału oraz wiązania go z posiadanymi już przez nich wiadomościami. Za przestrzeganiem tej zasady przemawia wzgląd na skuteczność nauczania. Wiadomości usystematyzowane zachowują się trwalej w pamięci, a nowe włączone w poznany system łatwiej są przyswajane. Porządkowanie wiadomości i ich wzajemne wiązanie ze sobą jest ważnym sposobem utrwalania. Ze względu na strukturę poznawanej i przyswajanej przez ucznia wiedzy wskazane jest przestrzeganie w nauczaniu uporządkowanego w sposób logiczny układu materiału oraz porządkowanie i systematyzowanie wiadomości ucznia, wiążąc je z wiadomościami już przez niego posiadanymi.

1. Teorie jedno i wieloczynnikowe rozwoju psychicznego

1. Koncepcje jednoczynnikowe-były typowe dla wcześniejszych prób wyjaśnienia przyczyn zmian rozwojowych.

• Zwolennicy biologizmu uznawali za najważniejsze dziedziczenie i wrodzone dyspozycje psychiczne, z którymi dziecko przyszło na świat i które ujawniły się stopniowo w miarę dojrzewania organizmu. Zdaniem przedstawicieli tego nurtu indywidualność człowieka i jego osobowość są wyznaczone już przed jego urodzeniem

• Zwolennicy empiryzmu uważali, że głównym czynnikiem rozwoju psychicznego jednostki jest środowisko. Dziecko jest WYTWOREM, ODDZIAŁOWAŃ ŚRODOWISKOWYCH. Nawiązywali również, do Locka i do tego, co powiedział, że umysł dziecka podczas jego urodzenia jest „ białą kartą” zapisywaną w ciągu życia przez doświadczenia.

1. Teoria dwuczynnikowa Williama Sterna – Próba pogodzenia wcześniej przedstawionych stanowisk poprzez ukazanie zbieżności i współdziałania dziedziczności i środowiska. Według niego odziedziczone dyspozycje psychiczne są zawiązkami cech przekształcających się w trwałe właściwości dopiero pod wpływem środowiska

2. W latach 60 i 70, ludzie zaczęli pytać o to jak różne czynniki pozostające w interakcji oddziałują na rozwój. Przyjęto założenie, że czynniki genetyczne i środowiskowe nie wywołują zmian, wprost ale wpływają na nie pośrednio. Związek między cechą psychiczną czy sposobem zachowania jednostki a czynnikami można przedstawiać na kontinuum: od cech zachowań silnie uwarunkowanych dziedzicznością a środowiskiem do takich, na które oddziaływanie czynników jest niewielkie

3. WIELOCZYNNIKOWE TEORIE/KONCEPCJE ROZWOJU

-Może to być np. czteroczynnikowa koncepcja zaproponowana przez M. Żebrowską, S. Schumann, M. Przetacznikową, M. Tyczkową:

1. Zadatki wrodzone- anatomiczne i fizjologiczne cechy organizmu takie jak: strukturalne i funkcjonalne właściwości narządów zmysłowych, typ układu nerwowego i związanego z nim układu hormonalnego, budowa ciała. Zadatki te są podłożem materialnym zdolności innych cech indywidualnych, choć nie przesądzają ich ostatecznie. Te same zadatki mogą być podstawą różnych zdolności rozwijanych pod wpływem sposobów działania człowieka warunków społeczno-kulturowych, w których żyje.

2. Aktywność własna jednostki- to jej biologiczne zdeterminowanie czynne uczestnictwo w poznawaniu świata i przeobrażaniu go. Dziecko od urodzenia nie wchłania biernie bodźców z otoczenia, lecz aktywnie zdobywa doświadczenia, najpierw za pośrednictwem osób dorosłych (mama tata, babcia, dziadek, nauczyciel) a potem bardziej samodzielnie dzięki świadomej działalności psychicznej. Aktywność własna jednostki to charakterystyczna i podstawowa cecha każdego organizmu nie tylko przystosowuje się do niego lecz także wywołuje zmiany w swoim otoczeniu

3. Środowisko to czynniki ekologiczne, obejmują wiele składników. Jedna grupa to rozmaite elementy środowiska naturalnego. Warunki klimatyczne, fauna, flora, zasoby mineralne, woda. Druga grupa to komiczne i społeczno kulturowe własności środowiska. Poziom gospodarczy społeczeństwa gęstość zaludnienia stan budownictwa i komunikacji. Zróżnicowanie zawodowe mieszkańców, organizacja szkolnictwa.

4. KSZTAŁCENIE- obejmuje wychowanie uczenie się będące podstawą nabywania doświadczenia indywidualnego. Odgrywa szczególnie ważna rolę w okresie dzieciństwa i młodości, ale także w dalszych stadiach rozwoju.

3. ROZWÓJ INTELIGENCJI OPERACYJNEJ WG J. PIAGETA

+Operacyjne rozumowanie to sposób funkcjonowania intelektualnego, który kształtuje się i dojrzewa zgodnie z rytmem rozwojowym człowieka. W kolejnych okresach i stadiach rozwojowych zmienia się sposób w jaki człowiek ujmuje i porządkuje oraz wyjaśnia rzeczywistość. Zmiany te mają charakter progresywny i przebiegają od form prostych, silnie powiązanych ze spostrzeganiem i wykonywanymi czynnościami, do form coraz bardziej precyzyjnych, zrealizowanych w umyśle, a więc abstrakcyjnych i hipotetycznych.

Koncepcje rozwoju operacyjnego myślenia opracował J. Piaget. Ustalił okresy i stadia rozwojowe przez które przechodzi każdy człowiek. Ma charakter stały i ciągły. Niezwykle istotna jest kolejność, gdyż nie można pominąć żadnej fazy rozwojowej. W swoim modelu Piaget uwzględnił przeciętne tempo rozwoju. Zmieniać się może długość ich trwania. Jeśli w porównaniu z modelem tempo przechodzenia na wyższe poziomy jest dłuższe mówimy o wolniejszym rozwoju, natomiast jeśli trwa krócej mamy do czynienia z rozwojem przyspieszonym.

Rozwój rozumowania operacyjnego polega na zmianie sposobu ujmowania i porządkowania oraz wyjaśniania rzeczywistości. Zmiany te przebiegają od form prostych powiązanych ze spostrzeganiem i wykonywanymi czynnościami do coraz bardziej precyzyjnych, zrealizowanych w umyśle czyli abstrakcyjnych i hipotetycznych.

Pierwszy okres (do ok. 2 roku życia) jest to okres kształtowania się inteligencji praktycznej(Sensoryczno – motoryczny):

-Ukierunkowanie aktywności poznawczej dziecka na poznanie świata rzeczy.

-Dziecko poznaje przestrzeń zmysłami i uczy się poruszać w niej i manipulować przedmiotami.

-Porządkowanie najbliższej przestrzeni

EFEKT: Rozumienie stałości przedmiotów i ich rozmieszczenia wokół własnej osoby

Drugi okres (do ok. 12 r. życia) jest to okres kształtowania operacji konkretnych:

-Chodzi tutaj również o intensywny rozwój czynności umysłowych dzięki którym dziecko może myśleć o realnym świecie i przekształcać go.

-Poznawanie świata rzeczy

Okres ten jest podzielony na dwa podokresy:

*poziom przedoperacyjny (do ok. 7 roku życia) – w tym okresie ma miejsce tworzenie i dojrzewanie pierwszych operacji konkretnych (wiąże się z tworzeniem pojęć liczbowych)

*poziom operacji konkretnych (do ok. 11 roku życia) - zdolność do operacyjnego rozumowania rozszerza się z kategorii liczbowych na kategorie przestrzenno-czasowe. Operacyjne rozumowanie umacnia się i organizuje w system o spoistej, operacyjnej i konkretnej logice. (obejmuje również przestrzeń i czas)

Po tej drodze: DZIECI MAJĄ SYSTEM ROZUMOWANIA O SPOISTEJ LECZ KONKRETNEJ LOGICE

Trzeci okres (od 12 r. życia) jest to okres operacyjnego rozumowania na poziomie formalnym:

-Zależności ujmowane na podstawie sądów, a wnioski są ogólne

-Brak konieczności odwoływania się do konkretów, dziecko jest zdolne do rozumowania abstrakcyjnego (myślenie hipotetyczno-dedukcyjne)

Większość zaburzeń w uczeniu się matematyki jest spowodowana tym, że dzieci nie rozumują operacyjnie, a muszą uczyć się matematyki na sposób szkolny, który wymaga takiego rozumowania.

Ważna jest kolejność:

• pierwsze dwa wskaźniki operacyjnego rozumowania są dzieciom bezwzględnie potrzebne dla uczenia się matematyki już pod koniec klasy zerowej i na początku klasy pierwszej;

• następne wskaźniki operacyjnego rozumowania są konieczne dla sprostania wymaganiom stawianym dzieciom pod koniec klasy pierwszej;

• na początku klasy drugiej dzieci powinny już rozumować operacyjnie, co najmniej w zakresie wszystkich wymienionych wskaźników.

Jeżeli tak nie jest pojawiają się nadmierne trudności w zakresie uczenia się matematyki. Kształtują się mechanizmy obronne, które powodują, że dziecko unika rozwiązywania zadań wymagających wysiłku intelektualnego. Następuje zwolnienie tempa rozwoju umysłowego i nie ma właściwie szans, by dalszy rozwój operacyjnego rozumowania przebiegał prawidłowo. Oznacza to, że pozostałe wskaźniki operacyjnego rozumowania pojawiają się znacznie później. Ważne jest, aby każde dziecko, pod koniec klasy zerowej i najpóźniej na początku klasy pierwszej, rozumiało już operacyjnie w co najmniej dwóch pierwszych wskaźnikach.

1. niski poziom operacyjnego rozumowania, poziom przedoperacyjny

1. średni poziom operacyjnego rozumowani, poziom przejściowy

2. wysoki poziom operacyjnego rozumowania, poziom operacji konkretnych

Za pomocą pomiaru możliwości intelektualnych Skalą inteligencji D. Wechslera nie można jednoznacznie określić przyczyn niepowodzeń w uczniu się matematyki u dzieci z klas początkowych.

Klasyczne testy inteligencji nie wyjaśniają, dlaczego dziecko ma nadmierne trudności w

uczniu się matematyki.

Dorośli i nauczyciele, nie mają elementarnej wiedzy o tym, jak bardzo różni się ich rozumowanie od dziecięcego myślenia. Dlatego:

• Zmuszają dzieci do rozwiązywania zadań nie bacząc, czy są one im dostępne. Ponieważ zadania te wydają się dorosłym łatwe, niemożność rozwiązywania ich przez dziecko interpretują jako przejaw zlej woli lub lenistwa. Dlatego zamiast przybliżyć dziecku treść zadania, są skłonni karać je za to, że rozwiązywanie zadania nie przebiega należycie.

• Narzucają dzieciom swój dorosły sposób rozumowania - przejaw logiki operacyjnej na poziomie konkretnym lub formalnym. Nie dostrzegają, że takie myślenie jest dziecku jeszcze obce i niezgodne z jego sposobem ujmowania rzeczywistości. Jeżeli dziecko ujawnia swój punkt widzenia, jest karcone lub wyśmiewane.

• Przekazują dzieciom polecenia, a także wyjaśniają im problemy za pomocą słów i zwrotów, których one nic znają lub inaczej rozumieją. Dzieci nie potrafią nawet wyrazić słowami, czego nie pojmują, gdyż nie są w stanie powtórzyć nawet tego, co mówił dorosły, a cóż dopiero podjąć dyskusję i określić swe wątpliwości.

Pod wpływem tych nacisków dzieci rezygnują z własnego rozumowania i zastępują go podanym wzorem. Uczą się na pamięć schematów i stosują je niezależnie od tego, czy jest to potrzebne, czy nie. Stają się mało samodzielne i wycofują się z zadań wymagających wysiłku intelektualnego. Boją się cokolwiek powiedzieć, aby się nie ośmieszyć. Tracą krytycyzm i uzależniają się od innych. Uczą się bezradności zamiast samodzielnego rozwiązywani problemów.

4. WSKAŹNIKI OPERACYJNEGO ROZUMOWANIA NA POZIOMIE KONKRETNYM

1. OPERACYJNE ROZUMOWANIE W OBRĘBIE USTALANIA STAŁOŚCI ILOŚCI NIECIĄGŁYCH

• daje efekty w pojmowaniu aspektu kardynalnego liczby naturalnej

• ilość elementów nie zmienia się mimo obserwowanych ich przemieszczeń

• zdolność do operacyjnego ustalania równoliczności zbiorów

• podstawa rozumienia i opanowania 4 podstawowych działań arytmetycznych

• podstawa uchwycenia sensu matematycznego zadań tekstowych

2. OPERACYJNE PORZĄDKOWANIE ELEMENTÓW W ZBIORZE PRZY WYZNACZANIU KONSEKWENTNYCH SERII

• podstawa rozumienia relacji porządkującej i jej własności

• później aspektu porządkowego i miarowego liczby naturalnej

3. OPERACYJNE ROZUMOWANIE W ZAKRESIE USTALANIA STAŁOŚCI MASY (TWORZYWA)

• kształtowanie pojęcia miary i masy

• wnioskowanie: "jest tyle samo", mimo że zmiany przekształcające sugerują, że jest teraz "więcej" lub "mniej"

• ten sposób rozumowania umożliwia zrozumienie zależności w zadaniach tekstowych dot. pomiaru masy lub tworzywa

4. OPERACYJNE ROZUMOWANIE W ZAKRESIE USTALANIA STAŁOŚCI DŁUGOŚCI PRZY OBSERWOWANYCH PRZEKSZTAŁCENIACH.

• podstawa dla kształtowania pojęć geometrycznych

• podstawa dla opanowywania umiejętności mierzenia długości

• daje możliwość zrozumienia zadań tekstowych dotyczących pomiaru długości

5. OPERACYJNE ROZUMOWANIE W ZAKRESIE USTALANIA STAŁEJ OBJĘTOŚCI CIECZY PRZY TRANSFORMACJACH ZMIENIAJĄCYCH JEJ WYGLĄD.

• konieczne dla zrozumienia pomiaru pojemności

• umożliwia zrozumienie zadań tekstowych, w których występują jednostki pojemności

Wyżej wymienione poziomy są charakterystyczne dla dzieci do 2 klasy szkoły podstawowej. Pierwsze dwa wskaźniki: niezbędne na poziomie „starej” zerówki i „starej” klasy 1 (6-7 lat).
Kolejne są niezbędne do sprostania wymaganiom stawianym dzieciom na koniec klasy 1 starej reformy.

Na początku klasy drugiej starej reformy dzieci powinny rozumować operacyjnie co najmniej w zakresie 5 wymienionych wskaźników.

Nie są to wszystkie wskaźniki niezbędne w okresie nauczania początkowego, brakuje np. rozumowania operacyjnego w zakresie zmian zachodzących w czasie. W podręczniku opisane zostały jedynie najbardziej niezbędne (wymagania minimalne) do kontynuacji nauki w wyższym zakresie.

INFORMACJE DODATKOWE

1. ROZUMOWANIE OPERACYJNE - sposób funkcjonowania intelektualnego, który kształtuje się i dojrzewa zgodnie z rytmem rozwojowym człowieka.

W kolejnych okresach i stadiach rozwojowych zmienia się sposób, w jaki człowiek ujmuje i porządkuje oraz wyjaśnia rzeczywistość. Te zmiany o charakterze progresywnym przebiegają od form prostych, silnie powiązanych ze spostrzeganiem i wykonywanymi czynnościami, do form coraz bardziej precyzyjnych,, realizowanych umysłowo - abstrakcyjnych i hipotetycznych.

2. PIAGET, BRUNER, WALL - wprowadzili termin INTELIGENCJA OPERACYJNA , wprowadzając go tym samym do pracy naukowej. Główny twórca - J. Piaget - stąd mowa o teoriach postpiagetowskich i neopiagetowskich.

3. ROZWÓJ ROZUMOWANIA OPERACYJNEGO:

• Nie pojawia się nagle w gotowej formie

• Kształtuje się zgodnie z rytmem rozwojowym człowieka

4. ETAPY ROZWOJU ROZUMOWANIA OPERACYJNEGO

1 Od ok. 18 miesiąca życia

• OKRES KSZTAŁTOWANIA SIĘ INTELIGENCJI PRAKTYCZNEJ (senso-motorycznej)

• aktywność poznawcza ukierunkowana na poznanie świata rzeczy i porządkowanie najbliższej przestrzeni

• efekt: rozumienie stałości przedmiotów i ich rozmieszczenia wokół własnej osoby

2. Do ok. 12 roku życia.

*2 PODOKRESY:

2.1 Do 7 roku życia.

• OKRES PRZEDOPERACYJNY = OKRES WYOBRAŻEŃ PRZEDOPERACYJNYCH

• czas przygotowania i dojrzewania pierwszych operacji konkretnych

2.2 Do ok. 12 roku życia

• zdolność do rozumowania operacyjnego rozszerza się z kategorii liczbowych na kategorie przestrzenno czasowe

• powoli ustala się operacyjne rozumowanie

• umacnia się i organizuje system rozumowania o spoistej, operacyjnej, konkretnej LOGICE

PO OSIĄGNIĘCIU PEŁNYCH KOMPETENCJI ROZPOCZYNIA SIĘ STOPNIOWE PRZECHODZENIE DO NASTĘPNEGO OKRESU - ROZUMOWANIA NA POZIOMIE OPERACYJNYM TYPU FORMALNEGO

5. 7 rok życia - u większości dzieci pojawiają się pierwsze operacje konkretne.

Dziecko zaczyna posługiwać się logiką zbliżoną do logiki dorosłych (Piaget założył, że wszyscy dorośli powinni posługiwać się już rozumowaniem operacyjnym na poziomie formalnym. Nie wszyscy jednak osiągają ten poziom kompetencji).

Jest to preferowany sposób w uczeniu się: matematyki, przyrody, w późniejszym okresie opanowywania początków fizyki, chemii, biologii.

6. Polski system obejmuje obowiązkiem nauki dzieci 6 i 7-letnie (teraz już 5 i 6), w zakresie klasy zerowej i pierwszej. W zerówce wprowadza się już elementy edukacji matematycznej. Pomija się fakt, że różnice w indywidualnym tempie rozwoju umysłowego mogą wynosić nawet 4 lata! (I. Wołoszynowa).

Skutkiem tego jest duża rozbieżność kompetencji w grupie dzieci - niektóre mogą posługiwać się systemami całościowymi, a nie tylko pojedynczymi operacjami konkretnymi. Jednocześnie w tej samej grupie mogą znaleźć się dzieci rozumujące jeszcze na poziomie przedoperacyjnym.

7. DZIECI:
7.1 NA WYSOKIM POZIOMIE MYŚLENIA

• łatwo radzą sobie z wymaganiami szkolnymi,

• zadania dostosowane są do ich możliwości poznawczych,

• potrafią posługiwać się symulowaniem (na palcach, patyczkach),

• Rozumieją polecenia, gdyż rozumują operacyjnie,

• Lubią lekcje matematyki, chętnie odrabiają prace domowe

7.2 NA POZIOMIE ŚREDNIM

• treści matematyczne są dla nich trudno dostępne i wymagają wzmożonego wysiłku

• zajęcia matematyczne zaczynają się mieścić w ich strefie najbliższego rozwoju – decydujące znaczenie ma pomoc dorosłych, cierpliwość zrozumienie barier

7.3 NA POZIOMIE NAJNIŻSZYM

• mają trudności z każdym zadaniem, nie rozumieją o czym mówi nauczycielka,

• męczą się, boją się kary, że nic nie potrafią,

• nudzą się, bo nie rozumieją zadań

• obecność na lekcjach nic nie wnosi, gdyż treści matematyczne są poza ich zasięgiem

5. J. Piaget: „Abstrakcja jest tylko jakimś oszustwem i dewiacją umysłu, jeśli nie stanowi ukoronowania nieprzerwanego ciągu uprzednich czynności konkretnych”

5. Trzy typy reprezentacji wg J. Brunera

• enaktywna - reprezentacja ubiegłych zdarzeń za pośrednictwem reakcji ruchowej, czyli kilku trafnie dobranych czynności ułożonych w serię tak, by powstał schemat reprezentowanego działania ( np. czynność dołączania 3 kasztanów do 2 kasztanów już leżących).⇐definicja z wykładu.

- reprezentacja przez działanie ( forma enaktywna), polegająca na przedstawieniu treści czynności i demonstracje (ruchy ciała).Myślenie opiera się na czynnościach motorycznych i nie wykorzystuje ani wyobraźni, ani słów. Dla dziecka bawiącego się zabawką, ruchy wykonywane w trakcie zabawy stanowią jego wewnętrzną reprezentację zabawki. Reprezentacje enaktywne funkcjonują w ciągu całego naszego życia, przejawiają się w wielu czynnościach motorycznych(np. rzucanie piłką, pływanie), których uczymy się przez praktykę, które nie są wewnętrznie reprezentowane przez słowa lub obrazy. ⇐dodatkowa definicja

W pierwszych miesiącach życia w poznawaniu rzeczywistości najważniejszą funkcję odgrywa akt działania - dotyk, ruch, koordynacje ruchowe i związane z nimi doświadczenia. Spostrzeżenia odgrywają rolę wspomagającą. Dlatego dziecko, któremu zasłonięto przedmiot, będzie go szukało penetrując przestrzeń ruchami rąk i przemieszczaniem swojego ciała. W tej sytuacji działanie ma przewagę nad wzrokiem.

N.C Kephart – Pierwszym źródłem wiedzy o rzeczywistości jest poznawanie rękami, chwytanie, ustalanie jakości przedmiotów i nadawanie im znaczenia. Żadne inne dane (wzrokowe, słuchowe, węchowe) nie są tak silne, jak dane kinestetyczne. Doświadczenia zgromadzone na poziomie enaktywnym są wiodące w ustalaniu stałości kształtu czy stałości wielkości.

Manipulowanie przedmiotami umożliwia integrację innych spostrzeżeń, dzięki czemu powstaje wspólny system informacji zmysłowej o przedmiotach otaczających dziecko.

• Ikoniczna - reprezentacja graficzna(forma ikoniczna) oparta na wykorzystywaniu środków wizualnych, graficznych ( np. grafy, pętle). Reprezentowanie otoczenia przez obrazy umysłowe. Obrazy te mogą być wzrokowe, słuchowe, węchowe lub dotykowe. Dostarczają środków, dzięki którym dziecko może wytworzyć i rozwinąć obraz otoczenia nawet, jeśli nie potrafi opisać go słowami. ⇐dodatkowa definicja

Reprezentacja ikoniczna podsumowuje zdarzenia przez wybiórczą organizację spostrzeżeń i wyobrażeń, przez czasową, przestrzenną i jakościową strukturalizację pola spostrzeżeniowego oraz przekształcone obrazy tych struktur.

Inaczej mówiąc zdarzenia dane człowiekowi w doświadczeniu mogą być reprezentowane w postaci syntetycznych obrazów.

U dziecka coraz większego znaczenia nabierają spostrzeżenia wzrokowe i dziecko zaczyna posługiwać się dwiema reprezentacjami. W wyniku rozwoju poznawczego dziecko angażuje oba systemy reprezentacji. Dzięki temu jego zachowania stają się co raz bardziej sensowne i ekonomiczne.

Dziecko, któremu zasłonięto przedmiot spostrzega zaistniałą sytuację i już wie, że to iż przedmiotu nie widać, nie oznacza, że go nie ma. Należy jedynie odwrócić zaobserwowana zmianę. Spostrzega, gdzie znikł przedmiot i tam kieruje swoją aktywność ruchową. Efekt zniknięcia przedmiotu równoważy jego odsłonięcie.

• Dziecko jest przekonane o stałości przedmiotów.

• Spostrzeżeniom wzrokowym podporządkowane są inne czynności.

• Nastąpiła integracja spostrzegania i działania, co umożliwia kształtowanie złożonych czynności na poziomie sensoryczno-motorycznym

• Symboliczna – najwyższą formą reprezentacji, która może wytworzyć się w umyśle dziecka jest, wg Brunera reprezentacja symboliczna (najwyższy poziom zaawansowania), która wykracza poza działanie i wyobrażenia i wymaga językowej reprezentacji. W tym momencie „dziecko staje się zdolne do reprezentowania świata za pomocą języka, a później za pomocą innych systemów symbolicznych, takich jak liczny i muzyka.

Ten rodzaj reprezentacji pozwala na posługiwanie się bardziej elastycznymi i abstrakcyjnymi formami myślenia, dzięki czemu jednostka może nie tylko nazywać i reprezentować rzeczywistość, ale także oddziaływać na nią i przekształcać.

Bruner nie badał już tak jak Piaget kolejnych etapów rozwoju, tylko spojrzał na rozwój  poprzez trzy różne sposoby przedstawiania świata (rozumienia), które choć mogą występować wszystkie razem, to jednak są charakterystyczne dla danych etapów rozwoju jednostki. Te przedstawiania, czyli reprezentacje to system reguł za pomocą, których dziecko tworzy sobie pojęcie stałości zdarzeń, z jakimi się zetknęło.

Bruner uważa, że stadium dominowania reprezentacji enaktywnej odpowiada etapowi rozwoju sensomotorycznemu, natomiast reprezentacja ikoniczna jest dominującą na etapie myślenia konkretnego, reprezentacja symboliczna dominuje zaś na etapie myślenia formalnego.

6. Zadania jako źródło doświadczeń matematycznych dziecka

Rozwiązywanie zadań pełni w nauczaniu matematyki szczególną rolę. Jest to dla dzieci główne źródło doświadczeń logicznych i matematycznych.
Są one na lekcjach matematyki (one- czyli doświadczenia logiczne i mat.)

• Uogólniane i wówczas stanowią podstawę dla kształtowania pojęć

• Organizowane w sprawności i umiejętności

• Interioryzowane (przyswajane) i w takim przypadku przyczyniają się do tworzenia w umysłach dzieci operacji intelektualnych

Na początku tych złożonych procesów znajduje się rozwiązywanie zadań matematycznych!
Ważne jest, aby rozpoczynając naukę w szkole dziecko miało pozytywne nastawienie do wysiłku intelektualnego i potrafiło wytrzymać napięcia, które towarzyszą rozwiązywaniu zadań matematycznych, nawet tych najprostszych. Jeśli dziecko unika samodzielnego rozwiązywania zadań lub nie potrafi racjonalnie kierować swoim zachowaniem podczas prób ich rozwiązywania następuje zubożenie zakresu doświadczeń logicznych i matematycznych.

• Może wówczas nastąpić zaburzenie lub nawet blokada procesu uczenia się matematyki!

Intelektualne bariery w rozumieniu sensu zadań tekstowych w szkole

Dzieci w życiu codziennym rozwiązują bardzo złożone problemy. Sytuacje życiowe dzieci przekształcają w zadania do rozwiązania- są to zadania z niepełnymi informacjami i ryzykiem wyboru. Dzieci jednak świetnie sobie z nimi radzą – poszukują brakujących danych, dostosowują warunki zadania do własnych możliwości wykonawczych i rozwiązują je.

Problem mają natomiast nawet z najprostszymi „zadaniami gotowymi” (zadania tekstowe) , które muszą rozwiązywać w szkole., ponieważ zadania te są „problemami zamkniętymi”. Wymagają one konkretnej odpowiedzi- takiej której oczekują dorośli. Tego typu zadania nie zawsze są dostosowane do możliwości wykonawczych dzieci, stąd kłopoty dzieci z ich rozwiązywaniem. Dzieci często próbują poradzić sobie z danym zadaniem poprzez dostosowanie go do własnych możliwości wykonawczych- zmieniają sens pytania końcowego, pomijają niektóre dane. Czynią zadanie bardziej podobnym do własnych doświadczeń życiowych, gdyż wtedy łatwiej im je rozwiązać.
Dobre rozwiązanie! Pozwolić dziecku, by „samo” (z pomocą dorosłego) ułożyło treść zadania, które będzie bliskie jego życiowym doświadczeniom, wówczas zapewne bez trudu je rozwiąże.

6.1 Zadania matematyczne jako sytuacje trudne

Rozwiązywanie zadań matematycznych umożliwia:

• opanowanie podstawowych pojęć matematycznych,

• kształtowanie posługiwania się metodami matematycznymi w rozmaitych sytuacjach życiowych,

• rozwijanie postawy intelektualne wyrażającej się w twórczym, logicznym o krytycznym myśleniu, samodzielnym pokonywaniu trudności i matematycznym analizowaniu zjawisk

Uwaga pedagogów skoncentrowana jest na strukturze logicznej zadań i matematycznych strategiach rozwiązywania.

Efekty kształcenia zależne są od nastawienia dzieci do zadań i ich sposobu funkcjonowania podczas ich rozwiązywania. Dla tych dzieci, które miały duże trudności w uczeniu się matematyki ten problem stał się dla nich tak nieznośny emocjonalnie, że uważały to za sytuacje w której trzeba się bronić. U dzieci stwierdzono również obniżoną odporność emocjonalną i ogromną łatwość do poddawania się frustracji. Prowadzi to do blokady procesu uczenia się matematyki.

Zadania tekstowe

Sprawiają one dzieciom najwięcej kłopotów. Są to zadania tekstowe, które składają się z historyjki typu problemowego, bliskiej dzieciom, bo powiązanej tematycznie z ich doświadczeniami. Każda z tych historyjek zawiera wielkości dane, niewiadomą oraz warunek określający związki pomiędzy tymi elementami. Dane są wyrażone liczbami, a zależności pomiędzy wielkościami określone słownie. Każde z tych zadań ma pytanie końcowe, które dotyczy wartości poszukiwanej.

Od połowy lat siedemdziesiątych kiedy wprowadzono nowy program nauczania matematyki i czynnościowe jej nauczanie, dzieci nie tylko rozwiązują gotowe zadania, ale analizują je i przekształcają, a także samodzielnie składają nowe zadania.

Zadania celowo źle sformułowane zostały wprowadzone jako nowy typ zadań w celu rozwijania zdolności do krytycznej analizy informacji zawartych w zadaniach. Konwencja zadania jest tradycyjna jednak zawierają elementy dysonansu poznawczego (za mało lub nadmiar danych, sprzeczny układ danych, brak pytania końcowego). Dodatkowo wprowadzono stosowanie różnorodnych schematów graficznych takich jak pętle, grafy strzałkowe czy tabelki.

Czynności poznawcze składające się na rozwiązanie zadania:

• zapoznanie się z treścią i zrozumienie sensu historyjki

• dokonanie analizy i uświadomienie sobie, co jest wielkością daną, co poszukiwaną, jakie są zależności, czego dot. pytanie końcowe,

• przełożenie tego wszystkiego na język matematyki,

JEST TO MATEMATYZACJA SYTUACJI ŻYCIOWEJ PRZEDSTAWIONEJ W ZADANIU

6.2 Zachowania dzieci podczas pokonywania trudności zawartych w zadaniach matematycznych

1. pokonywanie trudności jest integralną częścią uczenia się matematyki. Dlatego niezwykle ważna jest analiza funkcjonowania dzieci podczas pokonywania takich trudności. Na tej podstawie można określić mechanizmy regulujące zachowania dzieci podczas rozwiązywania zadań.

2. dzieci emocjonalnie odporne skupiają uwagę na tym, co i jak zrobić w sytuacji trudnej, aby osiągnąć cel np. rozwiązać zadanie. Spostrzeżenie trudności i związane z tym emocje wyzwalają koncentrację tych dzieci na zadaniu, co prowadzi do wzmożonej aktywności poznawczej. Następuje rozwiązanie zadania, a potem odczucie intensywnej przyjemności i głębokiej satysfakcji z pokonania trudności. Jednak i te dzieci, przy silnych zagrożeniach i nadmiernych trudnościach, reagują frustracją. W takich sytuacjach następuje charakterystyczna zmiana ich aktywności. Zamiast kierować ją na rozwiązanie zadania, kierują ją na obronę własnej osobowości. Starają się dostępnymi środkami przerwać konieczność zajmowania się zadaniem, które stanowi trudność nie do pokonania.

3. dzieci nieodporne psychicznie znacznie wcześniej zachowanie swoje sterują na frustrację. Samo dostrzeżenie trudności powoduje gwałtowny wzrost emocji ujemnych i silne poczucie zagrożenia. Próbują wycofać się z zadania, a kiedy się to nie udaje , podejmują chaotyczne próby wyjścia z sytuacji trudnej. To powoduje pogorszenie się poziomu czynności potrzebnych do wykonania zadania, obniża motywację i wyzwala wiele innych reakcji obronnych. Dzieci nieodporne psychicznie zamiast dążyć do rozwiązania zadania i pokonania trudności, starają się ze wszystkich sił ochronić przed zagrożeniem i czynią to nawet przy zadaniach o stosunkowo niskim stopniu trudności. Trudność zawarta w zadaniu oznacza zagrożenie, więc dzieci swą aktywność kierują na obronę przed zadaniem.

7. Dojrzałość szkolna do uczenia się matematyki, wrażliwość i podatność w zakresie uczenia się matematyki

Dojrzałość do uczenia się matematyki ,problem wrażliwości i podatności w zakresie uczenia się matematyki na sposób szkolny. Badania dotyczące niepowodzeń w uczeniu się matematyki wykazują ,że doznają je dzieci ,które rozpoczynają naukę w szkole bez dojrzałości koniecznej do uczenia matematyki w warunkach klasowo-lekcyjnych. Około 43% dzieci nie posiada należytych kompetencji intelektualnych potrzebnych do nauki matematyki w szkole. Dorośli ucząc dzieci prostych umiejętności matematycznych zbyt słabo kształtują te procesy psychiczne, które są konieczne do uczenia matematyki w szkole. Powodem jest słaba znajomość tego, co składa się na dojrzałość do uczenia matematyki na sposób szkolny. W programie wychowania przedszkolnego zwraca się dużo uwagi dojrzałości, lecz problem ten jest ujęty jednostronnie z pominięciem ważnych wskaźników. Dojrzałość do uczenia się matematyki zawiera się niewątpliwie w zakresie pojęcia dojrzałość szkolna i definiując ją należy uwzględnić właściwości rozwoju dzieci oraz wymagania szkoły. Przy wyznaczaniu dojrzałości do uczenia się matematyki bierze się pod uwagę poziom rozwoju tych procesów psychicznych, które dziecko angażuje w trakcie nabywania wiadomości i umiejętności matematycznych w szkole i wymagania stawiane mu na lekcjach. W polskich szkołach dzieci uczą się czytania i pisania metodą analityczno-syntetyczną. Dziecko musi być zdolne do precyzyjnych analiz i syntez w zakresie percepcji wzrokowej i słuchowej i charakteryzować się odpowiednim poziomem rozwoju mowy. Gdyby zastosować inną metodę nauki czytania i pisania, np. globalno-analityczną, gdzie punktem wyjścia jest poznanie obrazu graficznego wyrazu i zapamiętywanie odpowiedniego mu brzmienia – wtedy dojrzałość do nauki byłaby wyznaczona przez inny zakres procesów psychicznych. W przypadku matematyki treści i metody nauczania mają wpływ na to, co składa się na dojrzałość do uczenia się matematyki w warunkach szkolnych. W obecnie obowiązującym programie nauczania matematyki w klasach I-III występuje wymóg operacyjnego myślenia. Z chwilą rozpoczęcia nauki w szkole wymaga się od dziecka ,aby potrafiło rozumować na poziomie reprezentacji ikonicznych i symbolicznych. Dotyczy to zarówno matematyki i języka polskiego. Dziecko musi rozumieć sens kodowania i dekodowania informacji za pomocą umownych symboli. Szkolne nauczanie matematyki pełne jest obrazów, słów i zapisów a dziecko rzadko ma okazję do praktycznego działania. Ważnym wskaźnikiem dojrzałości do nauki matematyki w warunkach szkolnych jest zdolność do funkcjonowania na poziomie symbolicznym oraz ikonicznym bez konieczności odwoływania się do praktycznych działań. Nauka matematyki w szkole nie jest pierwszą formą edukacji matematycznej. Wcześniej dorośli uczą dzieci: wyodrębniania przedmiotów do liczenia i liczenie ich, ustalanie gdzie jest więcej, a gdzie mniej, określenie wyniku dodawania i odejmowania. Ten zakres umiejętności nazywamy dziecięcym liczeniem. Podstawą są pewne intuicje matematyczne dostępne już dzieciom na poziomie wyobrażeń przedoperacyjnych.

Silny związek sensu liczenia z wykonywanymi czynnościami – gesty, ruchy ręki i wypowiadane liczebniki – z realnie istniejącymi przedmiotami powoduje, że sama umiejętność liczenia przedmiotów nie wystarcza dzieciom, aby sprostać wymaganiom stawianym im na lekcjach matematyki, chociaż jest to ważny wskaźnik dojrzałości do uczenia się matematyki w szkole. Rozwiązywanie zadań pełni w nauczaniu matematyki ważną rolę. Jest to dla dzieci główne źródło doświadczeń logicznych i matematycznych. Dlatego kolejnym ważnym wskaźnikiem dojrzałości do uczenia się matematyki jest pozytywne nastawienie dzieci do samodzielnego rozwiązywania zadań i odporność emocjonalna dzieci na pokonywanie trudności typu intelektualnego.

Na lekcjach matematyki dzieci wykonują wiele złożonych czynności. Dlatego zdolność do integrowania funkcji percepcyjnych i motorycznych ma wpływ na efekty uczenia się matematyki. dzieci o obniżonej zdolności do integrowania czynności percepcyjnych i motorycznych robią to niezgrabnie, hałaśliwie i w sposób niezadawalający nauczyciela. Nadmierna koncentracja na tych czynnościach nie pozwala im zrozumieć sensu zadania matematycznego. Z tych właśnie powodów dzieci rozpoczynające naukę w szkole powinny reprezentować stosunkowo wysoki poziom zdolności do syntezowania oraz integrowania czynności poznawczych i motorycznych.

w skrócie: Zakres dojrzałości do uczenia się matematyki w warunkach szkolnych:

1. dziecięce liczenie: - sprawne liczenie i rozróżnianie błędnego liczenia od poprawnego, -umiejętność wyznaczania wyniku dodawania i odejmowania w zakresie 10 „w pamięci” lub na palcach.

2. operacyjne rozumowanie na poziomie konkretnym w zakresie: -uznawanie stałości ilości nieciągłych (zdolność do wnioskowania o równoliczności mimo obserwowanych zmian w układzie elementów porównywanych zbiorów). –wyznaczanie konsekwentnych serii (zdolność do ujmowania każdego z porządkowanych elementów jako mniejszego od nieuporządkowanych i jednocześnie jako największego w zbiorze już uporządkowanym).

3. zdolność do odrywania się od konkretów i posługiwanie się reprezentacjami symbolicznymi w zakresie: -pojęć liczbowych; –działań arytmetycznych; -schematu graficznego

4. dojrzałość emocjonalna wyrażająca się w: -pozytywnym nastawieniu do samodzielnego rozwiązywania zadań; -odporność emocjonalna na sytuacje trudne intelektualnie(zdolność do kierowania swym zachowaniem w sposób racjonalny mimo przeżywanych napięć)

5. zdolność do syntetyzowania oraz zintegrowania funkcji percepcyjno- motorycznych, która wyraża się w sprawnym odwzorowywaniu złożonych kształtów, rysowaniu i konstruowaniu.

Dojrzałość do uczenia się matematyki a gotowość do nauki czytania i pisania mają wiele elementów wspólnych. W jednym i drugim przypadku wymaga się wysokich wprawności percepcyjno-motorycznych. Dużą rolę odgrywa również prawidłowa koordynacja i dynamika procesów nerwowych- od nich bowiem zależy zdolność do scalania aktywności i organizowanie jej w umiejętność. W definiowaniu dojrzałości szkolnej mocno podkreśla się rozwój emocjonalno-społeczny dzieci (społeczne przystosowanie się dzieci do obowiązków szkolnych). Dla efektywnego uczenia się matematyki w warunkach szkolnych dziecko musi umieć znosić przykre podniecenia i napięcia. Musi być odporne emocjonalnie tak, aby mimo narastających napięć potrafiło rozwiązać zadanie. Kolejnym element jest zdolność do rozumienia sensu kodowania i dekodowania informacji. Kodowanie i dekodowanie w nauczaniu matematyki odbywa się więc od samego początku na wysokim poziomie uogólnienia i wymaga operacyjnego rozumowania na poziomie konkretnym.

Dzieci są więc dojrzałe do uczenia się matematyki w szkole wówczas, gdy chcą się uczyć matematyki, potrafią zrozumieć sens zależności matematycznych omawianych na lekcjach i wytrzymać napięcia, które towarzyszą rozwiązywaniu zadań matematycznych.

Dwa ujęcia dojrzałości szkolnej: a) Ujęcie statyczne: - moment równowagi pomiędzy wymaganiami szkoły, a możliwościami rozwojowymi dziecka b) Ujęcie dynamiczne: - długotrwały proces przemian psychicznych i fizycznych, który prowadzi do przystosowania się dziecka do szkolnego systemu nauczania. Popularne jest to pierwsze ujęcie (statyczne).

Dojrzałość dziecka do uczenia się matematyki nie jest czymś, co pojawia się w rozwoju nagle i samorzutnie. Trzeba ją rozpatrywać w kategoriach procesu, który należy kształtować w okresie przedszkolnym. Edukacja matematyczna 6-latków musi być połączona z intensywnym rozwojem myślenia, z kształtowaniem odporności emocjonalnej oraz ćwiczeniem pewnych umiejętności matematycznych. Rozumowanie, odporność emocjonalną i umiejętności należy kształtować, zanim dzieci rozpoczną naukę w szkole.

      Dojrzałość do uczenia się matematyki zawiera się w zakresie pojęcia dojrzałość szkolna i definiując ją należy uwzględnić właściwości rozwoju dzieci oraz wymagania szkoły. Przy wyznaczaniu dojrzałości do uczenia się matematyki należy wziąć pod uwagę poziom rozwoju tych procesów psychicznych, które dziecko angażuje w trakcie nabywania wiadomości i umiejętności matematycznych w szkole oraz wymagania stawiane mu na lekcjach. Kształtowanie pojęć i umiejętności matematycznych u dzieci, bez wcześniejszego zadbania, aby uzyskały one należytą wrażliwość i podatność konieczną do uczenia się matematyki, wynika z faktu, iż problem dojrzałości psychicznej jest mało znany.
E. Gruszczyk- Kolczyńska proponuje, aby na dojrzałość do uczenia się matematyki składały się następujące elementy:

• Odpowiedni poziom operacyjnego rozumowania.
        Jeżeli w czasie rozpoczęcia nauki w klasie I dzieci nie osiągnęły w swym rozumowaniu poziomu operacji konkretnych w zakresie koniecznym dla zrozumienia pojęcia liczby naturalnej, to natrafiają na ogromne trudności w uczeniu się matematyki już w pierwszych tygodniach nauki w szkole.

• Świadomość, w jaki sposób należy poprawnie liczyć przedmioty. Niepowodzeń doznają dzieci, które nie potrafią rozróżnić błędnego liczenia od prawidłowego, a także nie umieją dodawać i odejmować na palcach do 10.

• Stosunkowo wysoki poziom odporności emocjonalnej na sytuacje trudne. Dzieci nieodporne nie wytrzymują napięć emocjonalnych, które zawsze towarzyszą rozwiązywaniu łatwych nawet zadań matematycznych, gdyż nie są zdolne do racjonalnego zachowania się podczas pokonywania trudności.

• Należyta sprawność manualna, precyzja spostrzegania oraz koordynacja wzrokowo-ruchowa. Jeżeli dziecko nie potrafi dostatecznie sprawnie wykonać takich czynności jak zapisanie zdania, narysowanie linii, wyszukanie potrzebnej strony w książce, to ma poważne kłopoty na lekcjach i nie potrafi się należycie skupić na problemach matematycznych.

      Pojęcia matematyczne mają charakter operacyjny. Oznacza to, że rozumowanie prowadzące do pojmowania sensu elementarnych pojęć matematycznych musi być utrzymane w konwencji operacyjnej, co najmniej na poziomie konkretnym. Mówiąc dokładniej, istnieje ścisła zależność pomiędzy osiągnięciem przez dzieci kompetencji w zakresie operacyjnego rozumowania a efektywnością uczenia się matematyki. Dlatego głównym wskaźnikiem dojrzałości psychicznej dzieci do uczenia się matematyki jest osiągnięcie przez nie rozumowania operacyjnego na poziomie konkretnym w zakresie umożliwiającym przyswojenie aspektu kardynalnego, porządkowego i miarowego liczby naturalnej. Ponadto podstawowym źródłem doświadczeń logicznych w procesie nauczania matematyki jest rozwiązywanie odpowiednio dobranych zadań. W każdym zadaniu matematycznym,- jeżeli zadanie ma mieć sens kształcący- jest zawarta określona trudność, a rozwiązywanie zadania stanowi pokonanie tej trudności. Dostrzeżeniu trudności i jej pokonaniu zawsze towarzyszy wzrost napięcia i emocji ujemnych. Z tego powodu właśnie w uczeniu się matematyki bardzo ważna jest odporność emocjonalna na pokonywanie trudności typu intelektualnego. Wyraża się ona w zdolności do kierowania swym zachowaniem w racjonalny sposób, mimo przeżywanych napięć i emocji ujemnych. Dlatego kolejnym ważnym wskaźnikiem psychicznej dojrzałości do uczenia się matematyki jest osiągnięcie przez dzieci odpowiedniego poziomu odporności emocjonalnej na pokonywanie trudności typu intelektualnego.

      Pewne intuicje matematyczne są dostępne dla dzieci na poziomie przedoperacyjnym. Intuicje te są podstawą dziecięcego liczenia, a przyswojenie ich stanowi część dojrzałości do uczenia się matematyki w warunkach szkolnych. Dlatego sześciolatki, przed pójściem do szkoły, powinny umieć zastosować w skoordynowany sposób następujące prawidłowości:

• podczas liczenia umieć wskazywać gestem kolejne przedmioty i wypowiadać stosowny liczebnik (gest wskazywania i liczebnik są przyporządkowane kolejnym obiektom)

• przy liczeniu nie pomijać żadnego przedmiotu, ani żadnego nie liczyć podwójnie,

• liczebniki wymieniać w stałej kolejności,

• mieć świadomość, że ostatni z wypowiadanych liczebników ma specjalne znaczenie, gdyż określa liczbę liczonych obiektów,

• wiedzieć, że wynik liczenia nie zależy od kolejnych liczonych obiektów (można liczyć od lewej do prawej lub od prawej do lewej)

      Kolejny wskaźnik psychicznej dojrzałości do uczenia się matematyki wiąże się z koordynacją wzrokowo – ruchową i sprawnością manualną. W czynnościowym nauczaniu matematyki wymaga się bowiem od dzieci, aby wykonały wiele czynności opartych na spostrzeganiu wzrokowym, sprawności rąk i koordynacji wzrokowo – ruchowej. Część tych czynności jest narzucona przez organizację nauczania na lekcji, np. przygotowanie potrzebnych przyborów, odnalezienie zadania w podręczniku itp. Jeszcze bardziej złożonych czynności wymaga się od dzieci w toku rozwiązywania zadań matematycznych, muszą one zapisać dane, wykreślić tabelkę, narysować złożony graf, ułożyć skomplikowaną konstrukcję z klocków itd. Wszystko to trzeba wykonać w określonym czasie i na wymaganym przez nauczycielkę poziomie. Dzieci o obniżonej sprawności manualnej i zaburzonej koordynacji wzrokowo – ruchowej doznają niepowodzeń w uczeniu się matematyki już w pierwszych dniach swego pobytu w szkole.
Dojrzałość psychiczna do uczenia się matematyki, określona przez wspomniane tu wskaźniki, nie jest czymś, co pojawia się w rozwoju nagle i samorzutnie, na przykład na miesiąc przed rozpoczęciem przez nie nauki w klasie I. Dlatego trzeba ją rozpatrywać w kategoriach procesu, który można i należy kształtować właśnie w okresie przedszkolnym.

 Edukację matematyczną dzieci można podzielić, wg Gruszczyk- Kolczyńskiej, na dwie części: Pierwsza, to ta, która rozpoczyna się na długo przed rozpoczęciem przez dziecko systematycznej nauki matematyki, powinna być poświęcona rozwijaniu dziecięcego liczenia oraz kształtowaniu pierwszych intuicji miary i mierzenia, a także orientacji przestrzennej. Czyli tego wszystkiego, co jest dla dziecka dostępne jeszcze przed pojawieniem się w jego rozumowaniu pierwszych operacji na poziomie konkretnym. Jest to także okres nastawiony na kształtowanie psychicznej dojrzałości dzieci do systematycznej nauki matematyki.

Druga część edukacji to kształtowanie pojęć i umiejętności matematycznych z zastosowaniem metod operacyjnych. Dobre efekty kształcenia są tu jednak zależne od tego, czy dzieci osiągnęły wcześniej dojrzałość do uczenia się matematyki.

      Edukacja matematyczna rozpoczyna się na długo przedtem, nim dziecko rozpocznie naukę matematyki w szkole. Edukacja ta musi być połączona z intensywnym rozwojem myślenia, z kształtowaniem odporności emocjonalnej oraz z ćwiczeniem pewnych umiejętności matematycznych. Z tego też powodu, za najważniejsze umiejętności, które ma zdobyć dziecko przedszkolne uznano:

• orientację przestrzenną, czyli kształtowanie umiejętności, które pozwolą dziecku dobrze orientować się w przestrzeni i swobodnie rozmawiać o tym, co się wokół niego znajduje;

• rytmy, traktowane jako sposób rozwijania umiejętności skupiania uwagi na prawidłowościach i korzystania z nich w różnych sytuacjach. Jest to ważne przy nabywaniu umiejętności liczenia oraz dla zrozumienia sensu mierzenia;

• klasyfikacje, czyli wspomaganie rozwoju czynności umysłowych potrzebnych dzieciom do tworzenia pojęć. Jest to dobre wprowadzenie dzieci do zadań o zbiorach i ich elementach;

• intuicje geometryczne, czyli kształtowanie pojęć geometrycznych;

• spostrzeganie podobieństw i różnic, czyli ćwiczenia, które wpłyną na precyzję spostrzegania;

• dziecięce liczenie, którego podstawą są pewne intuicje matematyczne, dostępne dzieciom bardzo wcześnie, już na początku okresu wyobrażeń przedoperacyjnych.

      Liczenie i proste rachunki są przyswajane podobnie jak mowa ojczysta. Analogicznie do rozwoju mowy i w zakresie liczenia dzieci posiadają zdolność wychwytywania prawidłowości. Dzięki temu już małe dzieci potrafią pojąć sens liczenia i określić wynik dodawania oraz odejmowania. Są zdolne opanować te umiejętności zanim poznają większy zakres liczebników i osiągną poziom rozumowania w zakresie potrzebnym do przyswojenia pojęcia liczby naturalnej;

Dziecko kończące przedszkole i rozpoczynające naukę w szkole podstawowej:

1. liczy obiekty i rozróżnia błędne liczenie od poprawnego;

2. wyznacza wynik dodawania i odejmowania, pomagając sobie liczeniem na palcach lub na innych zbiorach zastępczych;

3. ustala równoliczność dwóch zbiorów, a także posługuje sie liczebnikami porządkowymi;

4. rozróżnia stronę lewą i prawą, określa kierunki i ustala położenie obiektów w stosunku do własnej osoby, a także w odniesieniu do innych obiektów;

5. wie, na czym polega pomiar długości, i zna proste sposoby mierzenia: krokami, stopa za stopą;

6. zna stałe następstwo dni i nocy, pór roku, dni tygodnia, miesięcy w roku.

Uczeń kończący klasę I:

1. W zakresie czynności umysłowych ważnych dla uczenia sie matematyki:

1. ustala równoliczność mimo obserwowanych zmian w układzie elementów w porównywanych zbiorach,

2. układa obiekty (np. patyczki) w serie rosnące i malejące, numeruje je; wybiera obiekt w takiej serii, określa następne i poprzednie,

3. klasyfikuje obiekty: tworzy kolekcje np. zwierzęta, zabawki, rzeczy do ubrania,

4. w sytuacjach trudnych i wymagających wysiłku intelektualnego zachowuje sie rozumnie, dąży do wykonania zadania,

5. wyprowadza kierunki od siebie i innych osób; określa położenie obiektów względem obranego obiektu; orientuje sie na kartce papieru, aby odnajdować informacje (np. w lewym górnym rogu) i rysować strzałki we właściwym kierunku,

6. dostrzega symetrie (np. w rysunku motyla); zauważa, że jedna figura jest powiększeniem lub pomniejszeniem drugiej; kontynuuje regularny wzór (np. szlaczek);

2. W zakresie liczenia i sprawności rachunkowych:

1. sprawnie liczy obiekty (dostrzega regularności dziesiątkowego systemu liczenia), wymienia kolejne liczebniki od wybranej liczby, także wspak (zakres do 20); zapisuje liczby cyframi (zakres do 10),

2. wyznacza sumy (dodaje) i różnice (odejmuje), manipulując obiektami lub rachując na zbiorach zastępczych, np. na palcach; sprawnie dodaje i odejmuje w za kresie do 10, poprawnie zapisuje te działania,

3. radzi sobie w sytuacjach życiowych, których pomyślne \wymaga dodawania lub odejmowania,

4. zapisuje rozwiązanie zadania z treścią przedstawionego słownie w konkretnej sytuacji, stosując zapis cyfrowy i znaki działań;

3. W zakresie pomiaru:

1. długości: mierzy długość, posługując sie np. linijką; porównuje długości obiektów,

2. ciężaru: potrafi ważyć przedmioty; różnicuje przedmioty cięższe, lżejsze; wie, ze towar w sklepie jest pakowany według wagi,

3. płynów: odmierza płyny kubkiem i miarką litrową,

4. czasu: nazywa dni w tygodniu i miesiące w roku; orientuje sie, do czego służy kalendarz, i potrafi z niego korzystać; rozpoznaje czas na zegarze w takim zakresie, który pozwala mu orientować się w ramach czasowych szkolnych zajęć i domowych obowiązków;

4. W zakresie obliczeń pieniężnych:

1. zna będące w obiegu monety i banknot o wartości 10 zł; zna wartość nabywczą monet i radzi sobie w sytuacji kupna i sprzedaży,

2. zna pojęcie długu i konieczność spłacenia go.

8. Związki nauczania matematyki z innymi przedmiotami

1.5.1.

Nacisk kładzie się na wszechstronny rozwój osobowości dziecka., chodzi nie tylko o pobudzanie zdolności o charakterze intelektualnym, ale także o rozwijanie innych zamiłowań (artystycznych, technicznych, sportowych) są połączone z tym również różnorakie oddziaływania wychowawcze. (…) Wszystko jednak wskazuje na to, że obecna reforma celów, treści, metod nauczania początkowego matematyki umożliwia znacznie pełniejszą niż dawniej integrację celów nauczania matematyki i innych przedmiotów. Np. ćw. klasyfikacyjne (zbiory, podzbiory) stanowią naturalną podstawę klasyfikacji przyrodniczych (pies- zwierzę); szersze wykorzystanie klocków i innych pomocy oraz zwiększenie roli manipulacji zbliża matematykę do zajęć praktycznych, analiza zadań otwartych i źle postawionych do języka polskiego.

1.5.2.

Integracja treści nauczania dokonuje się w samym dziecku.
Pojęcie czasu jest kształtowane na zajęciach z niemal wszystkich przedmiotów.
Matematyka – odczytywanie zegara, kalendarz
Język polski – dostrzeganie chronologii zdarzeń w opowiadaniu, gramatyka
Środowisko społeczno – przyrodnicze – pory roku, rozwój roślin, ruch uliczny, działalność człowieka
Muzyka i kultura fizyczna - rytm, ruch, prędkość, (zawody - pomiary czasu)

Obiektywizacja spostrzeżeń i myślenia, przezwyciężanie egocentryzmu

Dziecko (młodszy wiek przedszkolny), gdy patrzy np. na makietę gór nie potrafi uwzględnić tego co widzi osoba patrząca na te modele z innej strony makiety (wyobraźnia geometryczna dziecka, świadomość plastyczna, które kształtują się później). Inny objaw egocentryzmu to niezdawanie sobie sprawy, że sąd (dziecka przedszkolnego) o czymś może być błędny, że inni mogą tę samą rzecz ujmować inaczej. Ćwiczenia: opowiadanie o swoich spostrzeżeniach, gry, poznawanie środowiska społeczno – przyrodniczego, symboliczne formy przedstawiania pojęć.

Symbole

Matematyka – zapisanie liczb za pomocą cyfr, działania, zbiory i figury oznaczane za pomocą liter, grafy, drzewka, tabelki, kodowanie cech przedmiotów
Praca i Technika – czytanie prostych schematów montażowych, znaki powszechnej informacji np. rysunek parasola na opakowaniach towarów, które trzeba chronić przed wilgocią
Środowisko społeczno przyrodnicze – znaki drogowe, plan klasy, pogoda, wykresy temperatur, tabelki
Muzyka – nuty, budowa utworu za pomocą liter np. ABA
Wychowanie fizyczne – gry i ćwiczenia (umowne znaki np. dźwięk gwizdka, ruch ręką)
Plastyka – wyrażanie własnych doznań, uczuć, myśli za pomocą środków plastycznych, myśl w formie obrazowej

Klasyfikacja
to pojęcie występuje w programie matematyki, ale konkretne przykłady mamy również w języku polskim (samogłoski i spółgłoski, zdania, części mowy, pojęcia nadrzędne i podrzędne) i w naukach przyrodniczych (zwierzęta, rośliny)
Porządkowanie, kolejność
oprócz matematyki pojawiają się na zajęciach z muzyki, techniki, gimnastyki
Ćwiczenia orientacyjne

Matematyka (geometria)
Język polski (nauka czytania i pisania, strona prawa i lewa)
Środowisko Społeczno – przyrodnicze (wygląd klasy, opis drogi do szkoły)
Plastyka (kształty, wielkości, położenia, wyróżnianie nazywanie, określanie ruchem ręki)

Praca i technika (pojęcia: wysoko, nisko, obok, lewa, prawa w trakcie cięcia, klejenia)
Muzyka i kultura fizyczna ( orientacja ruchowa)

Umiejętności manualne

istotne w technice i pracy, jednakże również w plastyce, języku polskim (pisanie) i wszystkich tych wyżej wymienionych.
Politechnizacja – zadanie postawione przed wszystkimi przedmiotami, matematyka (wdrażanie do racjonalnego rozwiązywania problemów)

1.5.3. Integracja celów kształcenia

Z punktu widzenia celów nauczania najbliższe matematyce są przedmioty : język polski oraz praca – technika.

Język polski : Bardzo popularny jest podział na nauki humanistyczne i nauki matematyczno – przyrodnicze – przeciwstawienie matematyki, fizyki, biologii, itp. z humanistyką. Bardziej trafne byłoby określenie matematyki jako nauki znajdującej się pomiędzy naukami przyrodniczymi a humanistycznymi.

Matematyka

Logika ściśle wiąże się z matematyką, a jednak bywa uprawiana na wydziałach humanistycznych w ścisłym powiązaniu m.in. z filozofią. Podobnie lingwistyka ( dyscyplina humanistyczna) wiśże się ściśle z lingwistyką matematyczną, która jest częścią informatyki.

Matematyka

psychologia fizyka

biologia „krąg nauk”

W tym kręgu matematyka jest bliżej dyscypliny humanistycznej, jaka jest psychologia, niż dyscypliny przyrodniczej, jaką jest biologia.

Inny związek matematyki z humanistyką: matematyk w swej pracy nie wykonuje doświadczeń, nie korzysta z żadnej aparatury, wystarcza mu ołówek, papier, rozmowy z innymi i biblioteka.

W pedagogice przedszkolnej i wczesnoszkolnej widoczne są tendencje do wspólnego rozpatrywania języka polskiego i matematyki. W programie wychowania, kształtowanie pojęć matematycznych wraz z elementami języka polskiego (mowa, czytanie, przygotowanie do pisania) są w dziale „rozwijanie sprawności umysłowych”.

J. Walczyna wyróżnia 5 kierunków kształcenia:

1. Kształcenie umiejętności logicznego posługiwania się zasadniczymi narzędziami społecznego porozumiewania się, którymi są : słowo i liczba.

2. Kształcenie społeczne.

3. Kształcenie przyrodniczo – techniczne.

4. Kształcenie artystyczne.

5. Kształcenie w zakresie kultury fizycznej jako podstawy zdrowia uczniów.

Z tej racji matematyka ma związek z językiem polskim, ponieważ pełni tę samą funkcję w procesie nauczania. Nie podważa to jednak jej związków z przyrodniczo – technicznymi i społecznymi kierunkami kształcenia, w których znajduje się zastosowanie w znaczeniu podejmowania obliczeń stosunków ilościowych.

Pomimo znacznych różnic treści i metod nauczania cele matematyki i języka polskiego częściowo pokrywają się. Najważniejszym wspólnym celem tych przedmiotów jest rozwijanie umiejętności logicznego myślenia.

Praca – technika : Głównym celem tego przedmiotu w szkole ma być rozwijanie umiejętności praktycznego działania, świadomego i planowego. Działanie to ma dotyczyć zarówno potrzeb codziennych człowieka, jak i niektórych odpowiednio dobranych problemów wprowadzających ucznia w podstawy techniki. Umiejętność praktycznego działania, będąca celem nauczania przedmiotu, ma być oparta na praktycznej znajomości wykonywanych rzeczy i stosowanych narzędzi oraz na umiejętności przeprowadzania odpowiednich operacji, zarówno praktycznych jak i umysłowych. W klasach I – III najważniejsze jest rozwijanie manualizmu w szerokim znaczeniu – dziecko od mało zorganizowanych i nieraz przypadkowych doświadczeń wyniesionych z domu, od swobodnych zabaw powinno stopniowo przechodzić do doświadczeń ukierunkowanych, bardziej schematycznych, samodzielnych, w których wymaga się odpowiedniego podejścia do stawianych zadań, rozwiązywania postawionych problemów szukania najlepszych rozwiązań oraz ćwiczenia wyobraźni.

Środowisko społeczno – przyrodnicze : Cele nauczania tego przedmiotu są zbieżne z celami nauczania matematyki, ale są istotnie różne i obszar wspólnych zainteresowań obu przedmiotów jest raczej niewielki.

Kultura fizyczna, muzyka i plastyka – to trzy przedmioty, których cele są komplementarne w stosunku do celów nauczania matematyki, są ważnym uzupełnieniem wychowania umysłowego i praktycznego reprezentowanego przez omówione wcześniej przedmioty.

Plastyka jest dla dziecka twórczą dynamiczną aktywnością. Ujawnia wtedy jak myśli, czuje i widzi. Twórcza, dynamiczna aktywność dziecka – to również ideał nauczania matematyki, ideał niestety bardzo odległy od realizacji, pomimo wysiłków w tym kierunku. Aktywność matematyczna dziecka ma jednak inny charakter niż aktywność plastyczna: rozwiązanie zadania matematycznego jest jakby umysłowym odpowiednikiem pokonywania trudności gimnastyczno – sportowych. Dziecko chce pokonywać trudności i przeżywa radość z każdego osiągniętego sukcesu. W plastyce natomiast chodzi o wyrażanie stanów emocjonalnych, stosunku do przedmiotów, ludzi i zjawisk.

Czynnikiem, który utrudnia rozwinięcie pełnej aktywności twórczej matematyki jest konieczność osiągnięcia trwałej wiedzy, umiejętności i sprawności wynikająca ze znaczenia tego przedmiotu dla życia codziennego. Rygory te narzucają pewien kierunek oddziaływań dydaktycznych, który nie łatwo pogodzić z postulatem rozwijania twórczości intelektualnej dziecka.

Innymi czynnikami są: trudne do przezwyciężenia nawyki i postawy nauczycieli, narzucających dzieciom sposób myślenia dorosłych, przerywających bardzo ciekawe nieraz wypowiedzi dzieci wymaganiem określonych sformułowań, nie usiłujących wniknąć w tok rozumowania dziecka.

Niestety poprzez przeciwstawianie celów nauczania matematyki i plastyki można nie docenić rozlicznych, subtelnych i głębokich zależności między rozwojem dziecka w jednej i drugiej dziedzinie.

1.5.4. Wspólne treści programu matematyki i programów innych przedmiotów.

Język polski- ogniwem, które najsilniej łączy matematykę z językiem polskim, są zadania tekstowe. Czytając zadanie z podręcznika matematyki, dzieci uczą się także języka polskiego, gdyż nauczyciel realizując temat „zadania tekstowe” może jednocześnie przewidzieć, wdrażanie do cichego czytania ze zrozumieniem i wdrażanie do formułowania pytań i odpowiedzi na podstawie tekstu.

Środowisko społeczno-przyrodnicze- ma z matematyką następujące wspólne tematy:

• Odczytywanie temperatury na termometrze (połączone z omawianiem takich pojęć, jak np. mróz),

• Plan, mapa, skala (w klasie III)

Praca- technika – przedmiot ten łączą z matematyką:

• Pomiary wszelkiego rodzaju,

• Praktyczne wykorzystanie elementów geometrii (np. prostopadłości i równoległości) przy wycinaniu, konstruowaniu itp.

• Związek pojęcia obwodu zamkniętego z krzywą zamkniętą

• Analogie między połączeniami szeregowymi i równoległymi wyłączników prądu a częścią wspólna i złączeniem zbiorów.

Plastyka- wspólne treści z matematyką to:

• Pojęcie symetrii: symetria zwierciadlana, symetria obrotowa (np. w rozetach), symetria szlaków (niezmienniczość ze względu na przesunięcie),

• Układanie form płaskich i przestrzennych,

• Rysowanie figur

*Pewne czynności wyglądają podobnie na lekcjach plastyki i matematyki, lecz ich cel jest różny.

W plastyce rysowanie ornamentów, komponowanie układów brył geometrycznych, wycinanie kół, rysowanie figur i tym podobne zajęcia służą wyrażaniu przez dziecko uczuć, myśli, doznań i spostrzeżeń, służą tworzeniu czegoś pięknego, interesującego plastycznie.

W matematyce natomiast takie czynności służą ukształtowaniu pojęć geometrycznych, analizowaniu, na czym polega harmonia oglądanych rzeczy (np. powtarzających się rytmów), na badaniu geometrycznych własności brył używanych do konstrukcji.

Program klasy I przewiduje rysowanie figur geometrycznych za pomocą szablonów (np. obrysowanie kształtu klocka), nie postuluje natomiast rysowania odręcznego figur. Dziecku nie należy mówić, że rysunek wykonany za pomocą szablonu jest „ładny”, a rysunek odręczny- „brzydki”, „krzywy”. Chodzi o to, by nie hamować ekspresji plastycznej dziecka przez stawianie mu jako wzoru kształtów narysowanych za pomocą szablonu, których ono oczywiście nie potrafi odtworzyć wiernie za pomocą rysunku.

Niewłaściwe podejście dydaktyczne do rysowania odręcznego figur może być również szkodliwe z punktu widzenia kształtowania pojęć matematycznych. Nazywając np. prostokątem zniekształcony rysunek tej figury, dziecko podświadomie rozszerza zakres pojęcia prostokąta, zaliczając figury nie będące prostokątami.

Stopniowo, w wieloletnim procesie nauczania, dziecko powinno zrozumieć, że najdokładniejszy nawet rysunek jest tylko przybliżeniem wyidealizowanego, abstrakcyjnego prostokąta, a z drugiej strony – że do rozwiązywania pewnych zadań nie trzeba się silić na dokładny rysunek figury, wystarczy szkic oddający to, co w danym kontekście istotne.

Muzykę z matematyką najsilniej łączy pojęcie rytmu, matematycznym odpowiednikiem rozmaitych aspektów tego pojęcia są:

• Wielokrotność liczby, działanie mnożenia oraz dzielenia z resztą,

• Przesunięcie figury geometrycznej (odpowiadające powstawaniu dane figury rytmicznej),

• Ułamki (podział taktu na części)

1.5.5. Łączenie nauczania różnych przedmiotów w trakcie realizacji programu

Postulat łączenia nauczania matematyki z nauczaniem innych przedmiotów powinien być realizowany tak, by wykorzystane zostały główne zalety takiego łączenia, gdyż wówczas:

• służy to lepszemu powiązaniu wiedzy w jedną całość i przeciwdziała „szufladkowaniu” wiadomości,

• różne treści wzmacniają się psychologicznie,

• zwiększa się zainteresowanie dzieci nauczanymi przedmiotami,

• wykorzystuje się – poza wzrokiem i słuchem – inne drogi percepcji (bezpośredni dotyk, czucie głębokie).

Zazwyczaj w danym momencie cele jednego przedmiotu są wiodące, a drugi pełni rolę służebną (np. organizując ćwiczenia ruchowe lub rysowanie na lekcjach matematyki podporządkowujemy czynności dziecka temu, co chcemy osiągnąć w zakresie matematyki. W celach matematycznych można wykorzystać naturalną chęć dziecka do rysowania (np. prosząc o rysunkowe przedstawienie treści zadania tekstowego, aby w ten sposób uzyskać pewną konkretyzację informacji werbalnych). Nie jest wówczas ważne, czy jednocześnie realizujemy jakiś temat programu plastyki; baczną uwagę należy natomiast zwracać na to, by nie zaszkodzić rozwojowi plastycznemu dziecka.

Sprawa zwiększania ilości ćwiczeń ruchowych w nauczaniu matematyki jest szczególnie ważna ze względów zdrowotnych (muszą to być ćwiczenia korzystne dla zdrowia dziecka); jednocześnie wykorzystanie pamięci ruchowej dzieci i tzw. czucia głębokiego jest korzystne dla trwałości wiedzy dziecka. Jednym z najbardziej znanych ćwiczeń jest tzw. gimnastyka kartezjańska. Ćwiczenia matematyczno-ruchowe przeprowadzane są zazwyczaj w klasie, gdzie nie ma dużo miejsca. Trzeba więc szukać takich form łączenia ćwiczeń matematycznych z ruchowymi, które dadzą się realizować w formie zajęć śródlekcyjnych, a nie kosztem tych zajęć, lecz jako ich uzupełnienie (nie mogą zastępować ćwiczeń relaksowych, mają być dodatkową formą ruchu).

Przedszkole	Klasy 1-3
liczy obiekty i rozróżnia błędne liczenie od poprawnego;	sprawnie liczy obiekty (dostrzega regularności dziesiątkowego systemu liczenia), wymienia kolejne liczebniki od wybranej liczby, także wspak (zakres do 20); zapisuje liczby cyframi (zakres do 10),
wyznacza wynik dodawania i odejmowania, pomagając sobie liczeniem na palcach lub na innych zbiorach zastępczych;	wyznacza sumy (dodaje) i różnice (odejmuje), manipulując obiektami lub rachując na zbiorach zastępczych, np. na palcach; sprawnie dodaje i odejmuje w zakresie do 10, poprawnie zapisuje te działania
ustala równoliczność dwóch zbiorów, a także posługuje sie liczebnikami porządkowymi;	ustala równoliczność mimo obserwowanych zmian w układzie elementów w porównywanych zbiorach, (klasa 1)
rozróżnia stronę lewą i prawą, określa kierunki i ustala położenie obiektów w stosunku do własnej osoby, a także w odniesieniu do innych obiektów;	prowadzi kierunki od siebie i innych osób; określa położenie obiektów względem obranego obiektu; orientuje sie na kartce papieru, aby odnajdować informacje (np. w lewym górnym rogu) i rysować strzałki we właściwym kierunku,
wie, na czym polega pomiar długości, i zna proste sposoby mierzenia: krokami, stopa za stopą;	zakres pomiaru długości: mierzy długość, posługując sie np. linijką; porównuje długości obiektów,
zna stałe następstwo dni i nocy, pór roku, dni tygodnia, miesięcy w roku.	zakres pomiaru czasu: nazywa dni w tygodniu i miesiące w roku; orientuje się, do czego służy kalendarz, i potrafi z niego korzystać; rozpoznaje czas na zegarze w takim zakresie, który pozwala mu orientować się w ramach czasowych szkolnych zajęć i domowych obowiązków;
grupuje obiekty w sensowny sposób (klasyfikuje) i formułuje uogólnienia typu: to do tego pasuje, te obiekty są podobne, a te są inne.	klasyfikuje obiekty: tworzy kolekcje np. zwierzęta, zabawki, rzeczy do ubrania.

10. Przyczyny, trudności i blokady emocjonalne w uczeniu się matematyki

TRUDNOŚCI – ZWYKŁE ORAZ SPECYFICZNE

Przyczyny trudności:

• brak należytej dojrzałości do uczenia się matematyki ( czyli nieco wolniejszy rozwój tych procesów psychicznych, które odpowiadają za nabywanie pojęć i umiejętności matematycznych)

Np. nie rozumują jeszcze na poziomie operacji konkretnych – nie potrafią zrozumieć wyjaśnień nauczyciela ani sensu zadań matematycznych

• bycie mało odpornym emocjonalnie – trudno im wytrzymać napięcia związane z uczeniem się matematyki w warunkach lekcji szkolnej

• obniżona sprawność manualna oraz mało precyzyjne spostrzeganie – mnóstwo kłopotów z czynnościami wymagającymi współpracy oka i ręki,

• silna motywacja – chcą opanować materiał, aby przysporzyć dumy rodzicom i nauczycielowi, dlatego stosują taktyki obronne: wstrzymuje od odpowiedzi, powtarza odpowiedzi innych dzieci, opanowuje na pamięć schematy czynności, nie próbując zrozumieć ich sensu, itd.

• nieprawidłowe nauczania lub złe warunki ( np. zbyt liczna klasa )

BLOKADY EMOCJONALNE powstają gdy:

• dziecko nie radzi sobie z narastającymi napięciami ( towarzyszą mu one przy rozwiązywaniu zadań )

• wykazują błędną koordynację wzrokowo-ruchową i sprawność manualną

Odporność emocjonalna, niezbędna w pokonywaniu trudności tkwiących w zadaniach matematycznych jest warunkiem pomyślnego rozwiązywania wszystkich problemów wymagających wysiłku intelektualnego. W matematyce wywołuje to blokadę procesu uczenia się zaraz na początku. Dziecko nie rozwiązuje zadań i nie gromadzi doświadczeń logicznych, a to wstrzymuje kształtowanie pojęć i umiejętności matematycznych. Podobnie jest w przypadku należytej koordynacji wzrokowo - ruchowej. Dobra sprawność manualna, precyzyjne spostrzeganie i koordynacja wzrokowo - ruchowa są warunkiem opanowania wszystkich umiejętności także czytania i pisania. Jednak w procesie uczenia się matematyki zaburzenia tych funkcji mają bardzo poważne następstwa - blokują proces uczenia się. Konieczne jest przyspieszenie operacyjnego rozumowania, wzmacnianie odporności emocjonalnej, usprawnianie manualne, zwiększanie precyzji spostrzegania, a wówczas dziecko będzie radziło sobie nie tylko z matematyką, ale także z nauką innych przedmiotów.

11. Liczby i ich własności

Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

a) Rzeczywiste – wszystkie liczby dodatnie, ujemne i zero (wszystkie liczby)

-całkowite : to liczby naturalne dodatnie, przeciwne do nich oraz zero, np. 0, 1, 2, … oraz -1, -2, -3…
*Liczby parzyste i liczby nieparzyste to liczby całkowite odpowiednio podzielne lub niepodzielne
przez 2.
Suma, różnica i iloczyn liczb całkowitych są liczbami całkowitymi !
-naturalne: to liczby całkowite nieujemne, np. 0, 1, 2, 3…
Jeżeli liczba n jest mniejsza od liczby m, to piszemy : n < m albo m > n
Własność nierówności: jeżeli k < m i m < n, to k < n
Dla dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi dokładnie jedna z trzech możliwości:
albo n < m,

albo m < n,

albo m = n
Uwaga: Nie ma największej liczby naturalnej.
Liczby naturalne można dodawać i mnożyć, przy tym dla dowolnych liczb naturalnych K, n, m spełnione są następujące warunki: n+0=n , n ∙ 1= n , n + m = m + n , n ∙ m = m ∙ n
n + (m + k) = (n + m) + k

n ∙ (m ∙ k) = (n ∙ m) ∙ k

n ∙ (m + k) = n ∙ m + n ∙ k
jeżeli n < m, to n + k < m + k
jeżeli n < m i k > 0, to n ∙ k < m ∙ k
Suma i iloczyn liczb naturalnych są zawsze liczbami naturalnymi !

-wymierne – są to liczby postaci p/q (p i q – liczby całkowite i q różne od zera)
*Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym.
Suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb wymiernych są liczbami wymiernymi
(przy założeniu, że nie dzielimy przez 0) !

-niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę całkowitą różną od zera, np. √3
Liczba pierwsza: liczba, która ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie, np. 5, 47 itd.
Liczba złożona- liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki, np. 8
Uwaga: 0 i 1 nie są liczbami pierwszymi, ani złożonymi !

Liczba mieszana -liczba składająca się z części całkowitej i ułamka właściwego, np.

Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy
od mianownika, np.
Ułamek niewłaściwy – gdy licznik jest większy lub równy w stosunku do mianownika, 
np.  lub .

Cyfry to znaki służące do oznaczania liczb.
System dziesiątkowy zawiera 10 cyfr : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
przykład: Liczba 5208 -5 tysięcy, 2 setki, 0 dziesiątek, 8 jedności czyli 5208 = 5 ∙ 1000 + 2 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + 8
Najważniejsze własności dotyczące porównywania, dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych:
ŁĄCZNOŚĆ DODAWANIA:
(a+b)+c = a+(b+c)
PRZEMIENNOŚĆ DODAWANIA:
a+b=b+a
ISTNIENIE RÓŻNICY:
równanie a+x = b ma jednoznaczne rozwiązanie
5+x = 10
x = 10-5
x = 5

ŁĄCZNOŚĆ MNOŻENIA:
(a∙b)∙c = a∙(b∙c)

PRZEMIENNOŚĆ MNOŻENIE:
(a∙b)∙c = a∙(b∙c)

ISTNIENIE ILORAZU:
jeżeli a≠0, to równanie a∙x = b ma jednoznaczne rozwiązanie

ROZDZIELNOŚĆ MNOŻENIA WZGLĘDEM DODAWANIA:
a∙(b+c) = a∙b+a∙c

PRZECHODNIOŚĆ NIERÓWNOŚCI: SPÓJNOŚĆ NIERÓWNOŚCI:
jeżeli a<b i b<c, to a<c jeżeli a≠b, to a<b lub b<a

MONOTONICZNOŚĆ DODAWANIA: MONOTONICZNOŚĆ MNOŻENIA:
jeżeli a<b, to a+c < b+c jeżeli a<b i c>0, to a∙c < b∙c