I. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest dokładne zapoznanie się ze zjawiskiem występowania indukcyjności własnej oraz wzajemnej uzwojeń, podstawowymi prawami nim rządzącymi, a także metodami wyznaczania podstawowych parametrów w obwodach, w których ów zjawisko występuje.

II. Wprowadzenie teoretyczne

Indukcyjność określa zdolność obwodu do wytwarzania strumienia pola magnetycznego Φ powstającego w wyniku przepływu przez obwód prądu elektrycznego I. Oznaczana jest symbolem L. Jednostką indukcyjności jest henr [H]. Ze strumieniem indukcji magnetycznej Φ i natężeniem prądu I związana jest wzorem:

Φ_m = L • I

Każda zmiana strumienia obejmowanego przez obwód, także tego wytworzonego przez ten obwód, wywołuje powstanie siły elektromotorycznej indukcji:

$$\varepsilon = - \frac{d\Phi}{\text{dt}}$$

Tę właściwość obwodów nazywa się samoindukcją. Zatem indukcyjność ma wpływ na wartość siły elektromotorycznej indukcji.

1) Indukcyjność pod nieobecność ferromagnetyków

Gdy w otoczeniu obwodu nie ma żadnych ciał o właściwościach ferromagnetycznych, czyli przenikalność magnetyczna ośrodka μ jest równa 1 (w próżni) lub μ > 1 ale stałe, wówczas indukcyjność w równaniu Φ_m = L • I  jest współczynnikiem proporcjonalności. W takim przypadku indukcyjność jest stała i zależy tylko od geometrii obwodu. Siła elektromotoryczna indukcji jest wówczas proporcjonalna do prędkości zmian natężenia prądu elektrycznego:

$$\varepsilon = - L\frac{dI}{\text{dt}}$$

2) Indukcyjność w obecności ferromagnetyków

Obecność ferromagnetyka w otoczeniu przewodnika z prądem powoduje nieliniowe złożone zmiany przenikalności magnetycznej. Zmiana natężenia prądu powoduje zmianę natężenia pola magnetycznego, co z kolei powoduje zmianę przenikalności magnetycznej. Oznacza to, że indukcyjność przewodnika z prądem jest wówczas funkcją natężenia prądu płynącego w tym przewodniku:

Φ_m = L(I)•I

Zależność siły elektromotorycznej indukcji od zmian natężenia prądu przybiera postać:

$$\varepsilon = - \frac{d\Phi}{\text{dt}} = - \frac{d\left( \text{LI} \right)}{\text{dt}} = - L\frac{\text{dI}}{\text{dt}} - I\frac{\text{dL}}{\text{dt}};$$

lub $\varepsilon = - \left( L + I\frac{\text{dL}}{\text{dI}} \right)\frac{\text{dI}}{\text{dt}}$

III. Rozpatrywane zagadnienia

1) Indukcyjność nieskończenie długiego przewodnika prostoliniowego;

2) Indukcyjność wzajemna dwóch cewek nawiniętych na wspólnym rdzeniu;

3) Indukcyjność własna oraz wzajemna dwóch cewek nawiniętych na wspólnym

rdzeniu (obwód magnetyczny zamknięty, rozgałęziony);

Ad 2) Indukcyjność wzajemna dwóch cewek nawiniętych na wspólnym rdzeniu

W celu uproszczenia dalszych rozważań wyprowadźmy podstawowe wielkości dla sprzężenia dwóch cewek bez rdzenia.

Prąd przepływa przez element 1 Prąd przepływa przez element 2

Φ₁₁ = Φ_s1 + Φ_g1

Φ_s1 – strumień rozproszenia cewki pierwszej;

Φ_g1 – strumień główny cewki pierwszej;

Φ₁₁ – całkowity strumień magnetyczny cewki pierwszej;

Analogicznie dla przypadku drugiego.

Jeżeli mają po z zwojów, to wprowadzamy pojęcie strumienia skojarzonego:

Ψ₁₁ = z₁Φ₁₁ całkowite strumienie

Ψ₂₂ = z₂Φ₂₂ skojarzone;

Ψ₁₂ = z₂Φ_g1 strumienie skojarzone zależne tylko od strumieni głównych

∖t Ψ₂₁ = z₁Φ_g2 skojarzone z różnymi elementami;

Ψ_s1 = z₁Φ_s1 strumienie skojarzone od

Ψ_s2 = z₂Φ_s2 strumieni rozproszenia;

Ψ_g1 = z₁Φ_g1 strumienie skojarzone zależne od strumieni głównych

Ψ_g2 = z₂Φ_g2 skojarzone z tym samym elementem;

Ψ₁₁ = Ψ_g1 + Ψ_s1

Ψ₂₂ = Ψ_g2 + Ψ_s2

Indukcyjności własne:

$L_{1} = \frac{\Psi_{11}}{i_{1}}{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }L}_{2} = \frac{\Psi_{22}}{i_{2}}$

Indukcyjności wzajemne:

$M_{12} = \frac{\Psi_{12}}{i1}{\text{\ \ \ \ \ }M}_{21} = \frac{\Psi_{21}}{i2}$

Stosunek strumienia głównego do strumienia całkowitego nazywamy współczynnikiem sprzężenia elementu pierwszego z drugim (i na odwrót):

$k_{1} = \frac{\Phi_{g1}}{\Phi_{11}}\text{\ \ \ \ \ \ }k_{2} = \frac{\Phi_{g2}}{\Phi_{22}}$

Współczynnikiem sprzężenia obu elementów określamy jako średnią geometryczną współczynników k₁ oraz k₂:

$k = \sqrt{k_{1}k_{2}}$

Mnożąc przez siebie indukcyjności własne L₁ oraz L₂ w rezultacie otrzymujemy:

$M = k\sqrt{L_{1}L_{2}}$

Wyprowadzenie jednostki:

$\left\lbrack L \right\rbrack = \frac{\lbrack\Psi\rbrack}{\lbrack I\rbrack} = \frac{\text{Wb}}{A} = \frac{V\ \bullet s}{A} = \Omega\ \bullet s = H$

Przejdźmy teraz do układu dwóch cewek nawiniętych na wspólnym rdzeniu

Jeżeli cewki znajdują się w ośrodku o takiej samej przenikalności magnetycznej, to:

M₁₂ = M₂₁ = M

$$M = k\sqrt{L_{1}L_{2}}$$

Ad 3) Indukcyjność własna oraz wzajemna dwóch cewek nawiniętych na wspólnym

rdzeniu (obwód magnetyczny zamknięty, rozgałęziony);

Schemat zastępczy obwodu magnetycznego

Φ₁ = Φ₃ − Φ₂

Φ₂ = Φ₃ − Φ₁

Φ₃ = Φ₁ + Φ₂

Θ₁ = H₁l₁ + H₃l₃

Θ₂ = H₂l₂ + H₃l₃

Θ₁ = R_m1Φ₁ + R_m3Φ₃

Θ₂ = R_m2Φ₂ + R_m3Φ₃

Literatura:

[1] Baron Bernard, Spałek Dariusz, „Wybrane problemy z teorii pola elektromagnetycznego”,

Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2006

[2] Szulkin Paweł, Pogorzelski Seweryn, „Podstawy teorii pola elektromagnetycznego”,

Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1964

[3] Bolkowski Stanisław, „Elektrotechnika”, WSiP, Warszawa 2005

[4] Bolkowski Stanisław, „Elektrotechnika teoretyczna Tom 1”, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,

Warszawa 1982

[5] Janeczek Andrzej, artykuł w Elektronika dla wszystkich, „Jak określić indukcyjność cewek, część 2”,

numer: Czerwiec 2003

[6] www.wikipedia.org (http://pl.wikipedia.org/wiki/Indukcyjność)