1) ∫0 dx = C    c=const. 2) ∫1 dx = x + c    

$\mathbf{3})\ \int_{}^{}{x^{\propto}dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C\ \ \ }$a=cons≠-1

4) $\int_{}^{}{x^{- 1}dx \equiv \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx = ln\left| x \right| + C}}$

5) ∫e^xdx = e^x + c 6) ∫a^xdx=$\frac{a^{x}}{\text{lna}} + c$ a=const>0≠1

7) ∫cosxdx=sinx + c 8) ∫sinxdx=-cosx + c

9) $\int_{}^{}{\frac{1}{\operatorname{}x}dx =}$tgx + c 10) $\int_{}^{}\frac{1}{\operatorname{}x}$dx=-ctgx + c

11) $\int_{}^{}\frac{1}{1 + x^{2}}$=arctgx + c 12) $\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$=arcsinx + c=-arccosx +c

13) ∫coshx dx = sinhx + c 14) ∫sinhx dx = coshx + c

15) $\int_{}^{}{\frac{1}{\cosh^{2}x}dx = tghx + c}$ 16) $\int_{}^{}{\frac{1}{\sinh^{2}x}dx = - ctghx + c}$

Dodatkowe wzory podstawowe: $\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}\text{dx} = \ln\left| f(x) \right|} + c$ $\int_{}^{}{\frac{f^{'}\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}\text{dx} = 2\sqrt{f\left( x \right)} + C}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\int_{}^{}{e^{\text{ax}}\text{dx} = \frac{e^{\text{ax}}}{a}} + c\text{\ \ }$a=const≠0 $\int_{}^{}{\cos\left( \text{ax} \right)\text{dx} = \frac{\sin\left( \text{ax} \right)}{a}} + C$ $\int_{}^{}{\sin\left( \text{ax} \right)\text{dx} = \frac{- cos(\text{ax})}{a}}C\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }$

$\int_{}^{}\frac{1}{a^{2}{+ x}^{2}}\text{dx} = \frac{1}{a}\text{arctg}\frac{x}{a} + c\text{\ \ \ }\ \int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^{2}{- x}^{2}}}\text{dx} = \arcsin\frac{x}{a} + c\text{\ \ \ }$a=const>0 Całkowanie przez podstawienie: podst np.: e^1/x=t więc

e^1/x*(-1/x²)dx=dt więc e^1/x*(1/x²)dx=-dt

Całkowanie przez części: ∫f(x)g^′(x)dx=f(x)g(x)-∫f’(x)g(x)dx

Robimy chmurke i w niej: f(x) i g’(x) obieramy żeby było łatwiej. Poczym niżej piszemy to odwrotnie z ‘ lub już bez. PS: e^x=(e^x)’

Np.; ∫lnxdx=… f(x)=lnx g’(x)=1 f’(x)=1/x g(x)=e^x…=xlnx –x+C

Jeśli by wychodziło to samo po 2razach +coś jeszcze to porównujemy to z początkiem. Rozkład na ułamki proste: np.: …/(x-2)²(x+2)³(x²+16)²=A₁/x-2 + A₂/(x-2)² + B₁/x+2 + B₂/(x+2)² + B₃/(x+2)³ + C₁x+C₂/x²+16 +C₃x+C₄//(x²+16)²

C. z f. trygonometrycznych: sin²x+cos²x=1 sinAcosB=1/2sin(A+B)+1/2sin(A-B)

-Jeśli brak nadziei np.: dx/4+3sinx to stosujemy podstawienie tg(x/2)=t więc: x=2arctgt dx=2/1+t² dt i tutaj:

sinx=2sin(x/2)cos(x/2)/sin²(x/2)+cos²(x/2)=2t/t²+1

cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2)/cos²(x/2)+sin²(x/2)=1-t²/1+t²

-Jeśli brak nadziei np.: dx/1+3cos²x to stosujemy podstawienie tg(x)=t więc: x=arctgt dx=1/1+t² dt i tutaj: sin²x=cos²x/sin²x+cos²x=t²/t²+1

cos²x=cos²x/sin²x+cos²x=1/1+t²

cos2t=1-2sin²t sin²t=1-cos2t//2

C. z f. niewymiernych: $\int_{}^{}{\frac{W_{n}(x)}{ax^{2} + \text{bx} + c}\text{dx} = P_{n - 1}\left( x \right)\sqrt{ax^{2} + \text{bx} + c} + \int_{}^{}\frac{\text{Cdx}}{\sqrt{ax^{2} + \text{bx} + c}}}$

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = arcsin\frac{x}{a}$ $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = ln\left| x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right|$+C

Najlepiej zrobić na wstępie pochodną. Potem wymnożyć razy dół

Uzyskamy ABC więc podstawiamy do wzoru. Jeśli się da to działamy na pierwiastku w całce. -Podstawienia: x=t^m m=NWW ax+b=t^m ax+b//cx+d=t^m Jak są pierwiastki różnego poziomu to zam. tego co w nich.