Zestaw A

Część teoretyczna- wykłady

Pyt 1/I

Mnożenie liczb zespolonych

Niech dane będą dwie liczby zespolone z1=a+bi oraz z2=c+di. Iloczyn liczb z1,z2 przeprowadzamy następująco:
z1 * z2=(a+b*i)(c+d*i)=ac+ad*i+bc*i-bd=(ac-bd)+i*(ad+bc)
Przykład mnożenia liczb zespolonych
Należy wykonać mnożenie liczb z1=1+2i oraz z2=1-3i
Rozwiązanie
z1*z2=(1+2i)(1-3i)=1-3i+2i+6=7-i

własności:

takie jak przy zwykłym mnożeniu :

Liczba 1 jest elementem neutralnym w mnożeniu liczb 
Przemienność mnożenia 
Łączność mnożenia
Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Pyt 2/I

Wyznaczniki możemy obliczać dla macierzy kwadratowych dowolnego wymiaru. Mamy daną taką macierz:

Wyznacznik ten macierzy, metodą Laplace'a obliczamy za pomocą wzoru rekurencyjnego. Sprowadza się to do obliczania wyznaczników coraz niższych rzędów.

Ogólny wzór to:

gdzie:

i- jest ustalone, jest to numer wiersza względem którego rozwijamy dany wyznacznik

A_ij - to dopełnienie algebraiczne elementu a­_ij ( Czyli wyznacznik powstały przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny w macierzy A pomnożony przez(-1)^i+j ).

Pyt 3/I

Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.
definicja:
Dla danej macierzy  typu  minorem stopnia , gdzie  nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia  otrzymanej z macierzy  poprzez wykreślenie  wierszy i  kolumn.

np.

Pyt 4/I

Suma macierzy

Definicja:
Sumą macierzy A= [ a_ij] i B = [ b_ij] wymiaru mxn, nazywamy macierz C = [ c_ij ] wymiaru mxn taką, że c_ij = a_ij + b_ij, 1£ i £ m, 1 £ j £ n.

Przykład:

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Pyt 1/II

własności:

Dodawanie wektorów jest przemienne, to znaczy dla dowolnych wektorów u i v: u + v = v + u.

Dodawanie wektorów jest łączne, to znaczy dla dowolnych wektorów u, v i w: (u + v) + w = u + (v + w).

Pyt 2/II

Parabola

krzywa stożkowa utworzona przez przecięcie powierzchni stożkowej (której kierującą jest okrąg) płaszczyzną równoległą do pewnej płaszczyzny stycznej do tej powierzchni stożkowej.

Parabolę można też zdefiniować jako zbiór punktów równoodległych od prostej (zwanej kierownicą paraboli) i punktu (zwanego ogniskiem paraboli).

Parabola z pionową osią symetrii:

	(1)

Parabola z poziomą osią symetrii:

	(2)

Wykresem dowolnej funkcji kwadratowej

	(3)

jest parabola z pionową osią symetrii. Analogiczna postać równania paraboli z poziomą osią symetrii:

	(4)

Związek pomiędzy równaniami  jest dany przez:

Równanie parametryczne paraboli:

Pyt 3/II

WeĽmy pod uwagę prostą przechodzącą przez punkty A(a, 0) i B(0, b).

Stosując wzór na równanie prostej przez dwa punkty możemy napisać równanie rozważanej prostej w postaci: 
yb=x−a−a 
tzn. w postaci
yb=−xa+1 
i ostatecznie w postaci
xa+yb=1.

Tę postać nazywamy równaniem odcinkowym prostej. Współczynnik a oznacza tutaj odciętą punktu przecięcia prostej z osią OX, a współczynnik b rzędną punktu przecięcia prostej z osią OY.

Pyt 4/II