OBLICZENIA

Statystyka matematyczna – to oddzielna dyscyplina matematyczna zajmująca się metodami wnioskowania o całej zbiorowości statystycznej (populacji generalnej) po zbadaniu tylko pewnej jej części zwanej próbą lub próbką. Statystyka matematyczna wiąże się z wykorzystywaniem zależności matematycznych w rachunku prawdopodobieństwa.

Do samodzielnego opracowania:
- klasyczna definicja prawdopodobieństwa
-geometryczna definicja prawdopodobieństwa
- statystyczna definicja prawdopodobieństwa
- zmienna losowa skokowa:
-rozkład
-dystrybuanta
-zmienna losowa ciągła:
-gęstość prawdopodobieństwa
-dystrybuanta
-rozkład normalny (Gaussa):
-gęstość
-dystrybuanta
-parametry i ich właściwości
-parametry opisowe:
-miary skupienia:
-wartość oczekiwana
mediana
-miary rozrzutu:
-wariancja
-odchylenie standardowe
-twierdzenia o wartości oczekiwanej
-twierdzenia o wariancji

ESTYMACJA (SZACOWANIE)

Pojęcie teorii estymacji:
Estymator – dowolna statystyka (q) zastosowana do oszacowania wartości
parametru (Q) populacji generalnej.

Statystyka z próby – zmienna losowa będąca pewną funkcją wyników próby
losowej.

Populacja generalna – zbiór dowolnych elementów niejednakowych z punktu
widzenia badanej cechy.

Próba – podzbiór generacji.

Próba losowa – próba, której elementy pozyskano poprzez losowanie

Liczebność próby – liczba elementów trafiających do próby (n)

Wyniki próby – wartość badanej cechy oznaczona na elementach, które trafiły
do próby.

Rozkład estymatora – rozkład prawdopodobieństwa statystyki (q) stanowiącej
estymator parametru (Q).

Estymator nieobciążony – estymator (q) mający te właściwość, że E(q)=Q

Estymacja

Punktowa Przedziałowa

Przedział ufności - przedział losowy, wyznaczony przy wykorzystaniu rozkładu estymatora,
charakteryzujący się tym, że z dużym prawdopodobieństwem pokrywa wartości estymatora
parametru (Q).

Ogólny zapis przedziału ufności ma postać:
P(q_n^d<Q<q_n^g)=1-α
gdzie: q_n^d i q_n^g to dolna i górna granica przedziału ufności

Poziom ufności - 1-α ; oznacza prawdopodobieństwo z jakim nieznana wartość parametru
(Q) objęta jest przez ten przedział.

Estymacja punktowa wartości oczekiwanej:
Wartość oczekiwaną estymuje się punktowo za pomocą średniej arytmetycznej $\overset{\overline{}}{x}$:
$\overset{\overline{}}{x}$ = $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\text{Xi}$
Średnia arytmetyczna jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej.

Estymacja punktowa wariancji:
$s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}$
Dla oszacowania wariancji stosuje się estymator w postaci średniej arytmetycznej.
Można wykazać, że estymator wariancji jest estymatorem obciążonym:
$s^{2} = E\left( s^{2} \right) - V\left( X \right) = - \frac{1}{n}V(X)$

$\hat{s^{2}} = \ \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}$
Modyfikacja ta likwiduje ujemne obciążenie estymatora s² i pozwala oszacować
wariancję bez błędu systematycznego.

Estymacja punktowa odchylenia standardowego:
s=$\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}}$ i $\hat{s}$=$\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}}$

Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej:
Założenia: -badana cecha statystyczna ma rozkład normalny

Dane: -wyniki próby x=1,2,…,n
-liczebność próby n
-poziom ufności 1-α

Obliczenia: -punktowy estymator wartości oczekiwanej
-punktowy estymator odchylenia standardowego
-przedział ufności wg wzoru:
P{$\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$-t$\text{\ α}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$<m<$\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$+t$\text{\ α}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$} = 1-α

Zasada wyznaczania wartości tablicowej „t”:

Niezbędna liczba pomiarów do próby:
Jaka powinna być liczba pomiarów (n), aby szerokość przedziału ufności dla wartości
oczekiwanej, który zamierzamy wyznaczyć przy założeniu 1-α nie przekroczyła przyjętej
z góry wartości.

Szerokość przedziału ufności (2d) jest różnicą wartości liczbowych odpowiadających końcom
przedziału:
2d=q_n^g − q_n^d=2tα$\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$ (szerokość)
d=tα$\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$ (połowa szerokości)

Szerokość przedziału ufności zależy od:
-wartości estymacji odchylenia standardowego
-pierwiastka kwadratowego z liczebności próby [(n)(odwrotnie prop.)]
-wartości tablicowej tα (odwrotnie prop.)
Wartość tablicowa t studenta rośnie w miarę podwyższania poziomu ufności oraz obniżania
liczby stopni swobody.

Liczbę poziomów n nazywamy:
n=$t_{\alpha}^{2}\frac{\hat{s^{2}}}{d^{2}}$ w którym znamy tylko d.

Aby obliczyć n trzeba wykonać kilka pomiarów n₀ w ramach próby wstępnej i na ich

Podstawie oszacowanie wariancji $\hat{s_{0}^{2}}$.
Następnie wyznaczamy t studenta.
Znając wstępnie oszacowanie wartości:
n=$t_{\alpha}^{2}\frac{\hat{s_{0}^{2}}.}{d^{2}}$
Wynik zaokrąglamy w górę do najbliższej liczby naturalnej.
Jeżeli n<=n0 to próba wstępna ma wystarczającą liczebność, a gdy n>=n0 to należy wykonać
n-n0 pomiarów dodatkowych.

Weryfikacja hipotez statystycznych:

Test statystyczny – decyduje o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy

Hipoteza statystyczna – dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu populacji generalnej

Test istotności – typ testu, w którym bierzemy pod uwagę błąd pierwszego rodzaju. W teście
istotności możliwe jest wyłączenie hipotezy zerowej i przyjęcie alternatywnej lub
stwierdzenie braku podstaw do wyłączenia hipotezy zerowej.

Błąd pierwszego rodzaju – błąd polegający na tym, że w trakcie weryfikacji hipotezy
statystycznej podjęto decyzję o odrzuceniu hipotezy prawdziwej.

Błąd drugiego rodzaju – przyjęcie za prawdę hipotezy fałszywej

Hipoteza zerowa (H₀) – hipoteza statystyczna bezpośrednio sprawdzana za pomocą
stosownego testu.

Hipoteza alternatywna (H₁) – hipoteza konkurująca z zerową.

Poziom istotności – prawdopodobieństwo małe α (0,05; 0,01; 0,001)

Obszar krytyczny testu – obszar mający właściwości polegającą na tym, że obliczana wartość
odpowiedniej statystyki trafi do tego obszaru to odrzucamy hipotezę zerową i przyjęciu
alternatywnej, gdy poza obszarem przyjmujemy zerową.

Skale pomiarowe – rodzaj informacji jaki niesie wynik próby. Im słabsza skala tym mniej
precyzyjne informacje.

Rodzaje skal pomiarowych:
Nominalna – liczby stanowią etykiety obserwowanych wartości w próbie. Skala
dotyczy np. płci, koloru, kształtu czyli zmiennych losowych „jakościowych”.

Porządkowa – wyniki mogą być porządkowane np. wg znaczenia czy innych.
Liczby reprezentujące elementy próby wskazują naturalną kolejność między nimi.
Np. wzrost – niski, średni, wysoki.

Różnicowa – pozwala na porządkowanie wartości i określenie różnic między nimi
np. indeks giełdowy.

Ilorazowa – wartość można porządkować, odejmować i dzielić.