ZARZĄDZANIE KAPITAŁEM I RYNKI FINANSOWE – WYKŁADY
28.11.2013
1. Wycena akcji – opiera się na przewidywanych strumieniach pieniężnych wynikających z posiadania akcji. Jest ona obarczona wysokim ryzykiem złego oszacowania wartości. Podstawowe modele wyceny opierają się na przewidywanej dywidendzie. Ogólnie wszystkie trzy modele dywidendowe można zapisać w następującej postaci:
$$P = \sum_{t = 1}^{n}{\frac{\text{Dt}}{{(1 + d)}^{t}} + \frac{\text{Pn}}{{(1 + d)}^{n}}}$$
Dt – dywidenda w kolejnych okresach
Pn – cena sprzedaży akcji po n okresach
d – stopa dyskontowa wykorzystywana do aktualizacji wyceny
Jeżeli założymy, że akcjonariusz nie sprzedaje akcji i czerpie korzyści jedynie z dywidend to powyższy model można uprościć i wówczas dyskontuje się tylko strumień dywidendy.
$$P = \sum_{t = 1}^{\infty}\frac{\text{Dt}}{{(1 + d)}^{t}}$$
W zależności od założeń dotyczących zmiany dywidendy model ten przyjmuje trzy postaci:
a) I model wzrostu zerowego, w którym zakłada się, że dywidenda w kolejnych okresach jest stała:
$P = \frac{D}{d}$
P – wartość akcji
D – dywidenda
d – stopa dyskontowa
Przykład 1.
Inwestor zakłada dywidendę na poziomie 5 złoty rocznie, a oczekiwana przez niego stopa zwrotu wynosi 8%. Oszacuj wartość akcji.
d = 8% = 0,08
D = 5 zł
P = $\frac{5}{0,08} = 62,5$
Odp. Szacowana wartość akcji wyniesie 62,5 zł.
b) II model stałego wzrostu dywidendy, w którym zakłada się, że dywidenda rośnie w stałym tempie oznaczonym jaki „g”.
$$P = \frac{\text{Dt}}{d - g}$$
Dt – dywidenda planowana w I okresie wyceny (przyszła dywidenda)
d – stopa dyskontowa
g – stałe tempo wzrostu dywidendy
Przykład 2.
Oszacuj wartość akcji jeżeli wymagana przez inwestora stopa zwrotu wynosi 10%, a ostatnia wypłacona dywidenda wynosiła 6 złoty, a polityka wypłat dywidendy zakłada, że będzie ona rosnąć w kolejnych okresach o 3%.
D0 = 6 zł
d = 10% = 0,1
g = 3% = 0,03
$$P = \frac{6*\left( 1 + 0,03 \right)}{0,1 - 0,03} = 88,29$$
Odp. Szacowana wartość akcji wyniesie 88,29 zł.
c) III model dwóch faz, w którym zakłada się, że dywidenda początkowo rośnie szybciej (przez n okresów w tempie g1), a następnie jej tempo się obniża do poziomu g2.
$$P = \frac{D_{1}}{d - g1}*\lbrack 1 - \left( \frac{1 + g1}{1 + d} \right)^{n}\rbrack + \frac{D_{1}}{d - g2}*({\frac{1 + g1}{1 + d})}^{n - 1}*\frac{1 + g2}{1 + d}$$
g1 – początkowe tempo wzrostu dywidendy
g2 – tempo wzrostu w drugiej fazie
Przykład 3.
Oszacuj wartość akcji jeżeli wymagana przez inwestora stopa zwrotu wynosi 8%, a ostatnio wypłacona dywidenda wynosiła 3zł. Dodatkowo zakłada się, że tempo zwrotu tej dywidendy w pierwszych dwóch latach będzie wynosić 3%, a następnie obniży się do 2%.
D0 = 3 zł
d = 8% = 0,08
g1 = 3% = 0,03
g2 = 2% = 0,02
n = 2
$$P = \frac{3*\left( 1,03 \right)}{0,08 - 0,03}*\lbrack 1 - \left( {\frac{1,03}{1,08})}^{2} \right\rbrack + \frac{3*1,03}{0,08 - 0,02}*({\frac{1,03}{1,08})}^{1}*\frac{1,02}{1,08} = 51,98$$
Odp. Szacowana wartość akcji wyniesie 51,98 zł.
2. Wycena stóp zwrotu i ryzyka – może być przeprowadzana na podstawie danych historycznych lub rachunku prawdopodobieństwa. Wówczas stopa zwrotu obliczana jest:
- Dla danych historycznych:
$$d = \ \frac{Z}{K_{0}}\ \ \ \ \ \ \ \ d = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}\text{dt}}{n}$$
- Dla danych przewidywanych:
$$d = \sum_{i = 1}^{n}{di*pi}$$
Z – zysk z akcji
K0 – kapitał zainwestowany w akcję
dt – historyczne stopy zwrotu w kolejnych okresach
di – przewidywane stopy zwrotu w kolejnych okresach
pi – prawdopodobieństwo zrealizowania oszacowanych stóp zwrotu
Przykład 4.
Inwestor kupił akcję za 50 zł. Otrzymał dywidendę w wysokości 2 zł i sprzedał akcję za 56 zł. Ile wynosiła stopa zwrotu z tej inwestycji?
$$d = \frac{Z}{K_{0}}$$
Z = 2 + (56-50) = 8
K0 = 50
$$d = \frac{8}{50} = 0,16*100\% = 16\%$$
Odp. Stopa zwrotu z tej inwestycji wynosiła 16%.
Przykład 5.
Określ oczekiwaną stopę zwrotu z akcji jeżeli średnie stopy zwrotu z ostatnich 6 miesięcy wynosiły: 3,4%, 2,1%, 3,4%, -4,5%, -3,2%, 1,5%.
$$d = \frac{3,4\% + 2,1\% + 3,4\% - 4,5\% - 3,2\% + 1,5\%}{6} = 0,45\%$$
Odp. Opierając się na danych historycznych można założyć, że oczekiwana stopa zwrotu to około 0,45%.
Przykład 6.
Inwestor zakłada, że w sytuacji dobrej koniunktury, osiągnie stopę zwrotu 9%, jeżeli sytuacja rynkowa utrzyma się to oczekiwana stopa wyniesie 6%, jeżeli sytuacja się pogorszy to zakłada się stopę -5%. Prawdopodobieństwo dobrej koniunktury 20%, utrzymania obecnego stanu 60%, a pogorszenia koniunktury 20%.
d1 = 9%
d2 = 6%
d3 = -5%
p1 = 0,2
p2 = 0,6
p3 = 0,2
d = 9% * 0,2 + 6% * 0,6 + (-5%) * 0,2 = 4,4%
Odp. Oczekiwana stopa zwrotu wyniesie 4,4%.
3. Akcja – jest ryzykownym papierem wartościowym. Ryzyka dla tego instrumentu wycenia się przy pomocy miar statystycznych:
- Odchylenia standardowego,
- Współczynnika zmienności.
Dla danych historycznych odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:
$V = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{({di - d)}^{2}}}{n - 1}$ $\text{\ \ \ \ \ }s = \sqrt{V}$
di – przewidywana stopa zwrotu
d – średnia stopa zwrotu
pi – prawdopodobieństwo uzyskania określonej stopy zwrotu
4. Do względnego pomiaru ryzyka w obu przypadkach wykorzystuje się współczynnik zmienności:
$$W = \frac{s}{d}$$
s – odchylenie standardowe
d – oczekiwana stopa zwrotu (średnia)
Współczynnik zmienności określa jaką część oczekiwanej stopy zwrotu stanowi odchylenie standardowe. Im wyższa wartość współczynnika tym wyższe ryzyko.
Przykład 7.
Inwestor ma do wyboru akcje spółki A i B. Średnie stopy zwrotu za ostatnie 3 miesiące dla akcji A wynosiły: 3,2%, 1,2%, 2,8%. Dla B: 1,8%, 2,3%, 3,1%. Które akcje powinien wybrać inwestor minimalizując ryzyka?
I Obliczenie oczekiwanych stóp zwrotu:
$$d_{A} = \frac{3,2\% + 1,2\% + 2,8\%}{3} = 2,4\%$$
$$d_{B} = \frac{1,8\% + 2,3\% + 3,1\%}{3} = 2,4\%$$
II Obliczenie odchyleń standardowych:
$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( di - d \right)^{2}}{n - 1}}$$
$$s_{A} = \sqrt{\frac{\left( 3,2 - 2,4 \right)^{2} + \left( 1,2 - 2,4 \right)^{2} + \left( 2,8 - 2,4 \right)^{2}}{3 - 1} =}1,06$$
$$s_{B} = \sqrt{\frac{\left( 1,8 - 2,4 \right)^{2} + \left( 2,3 - 2,4 \right)^{2} + \left( 3,1 - 2,4 \right)^{2}}{3 - 1} =}0,66$$
Oczekiwana stopa zwrotu wynosząca 2,4% może odchylać się o plus minus 1,06 dla akcji A i 0,66% dla akcji B.
III Obliczenie współczynnika zmienności:
$$W = \frac{s}{d}$$
$$W_{A} = \frac{1,06\%}{2,4\%} = 0,44\ \ \ \ wyzsze\ ryzyko$$
$$W_{B} = \frac{0,66\%}{2,4\%} = 0,28$$
Odp. Inwestor kierujący się minimalizacją ryzyka powinien wybrać akcje B.