Kształtowanie pojęcia ułamka zwykłego

Wielkościami ułamkowymi (połowa, ćwierć, półtora) dzieci posługują się praktycznie już w wieku przedszkolnym. Wiedzą jak wygląda, umieją pokazać. Brak im natomiast pojęcia ułamka jako liczby wyrażającej stosunek ilościowy między danymi wielkościami.

Ponieważ kształtowanie pojęcia ułamka jest procesem złożonym, jego nauczanie zostało rozłożone w czasie. Spiralny układ treści nauczania wprowadza te tematy propedeutycznie. Doprowadzanie uczniów do zrozumienia tego, że ułamek jest liczbą wymaga nie tylko wykonywania czynności konkretnych, ale także czynności wyobrażanych, a przede wszystkim umiejętności stopniowego abstrahowania i uogólniania. W kształtowaniu pojęcia ułamka możemy w tym procesie przewidzieć następujące etapy:

1. Przedstawienie ułamka na konkretach, powstałego w wyniku podziału całości na równe części (rozsypywanie, ważenie, składanie, zakreskowywanie)

2. Ujmowanie czynności konkretnych w słowne określenia oraz zapis tych czynności
   i określeń za pomocą symboli (1/2, ¼)

3. Wprowadzenie formuły ukazującej stosunki ilościowe zachodzące między liczbami, np. 1= 1/2 + ½, 1- ½= ½

4. Zastosowanie ułamków w zadaniach tekstowych do działań na ułamkach

5. Wyrażanie za pomocą ułamków jednej lub kilku równych części kilku jednakowych wielkości

W programie klasy I w zasadzie nie mówi się o nauczaniu ułamków. Wspomina się tylko w uwagach o realizacji, że na lekcjach dotyczących dzielenia w zakresie 20 można rozwiązywać proste zadania z użyciem słowa „połowa” (ale bez symbolu ½).

Dla uczniów klas niższych najważniejsze są dwie interpretacje ułamka: ułamek jako funkcja przekształcająca dowolną wielkość i ułamek jako miara. W pierwszym przypadku najpierw polecamy coś podzielić (pasek papieru, odcinek), a później wybieramy z tego jedną lub więcej części. Drugą interpretacją jest ułamek jako miara.

Wprowadzając ułamki należy pamiętać, aby nie zaczynać kształtowania tego pojęcia od podziału takich przedmiotów, które bywają różnej wielkości, a każda strona ma jeszcze inną objętość i jest niesymetryczna. Powstaje wtedy błędne skojarzenie i pojawia się termin „większa-mniejsza połowa”. Na lekcjach z zakresu ułamków należy posługiwać się różnorodnymi środkami poglądowymi po to, aby dziecko nie kojarzyło liczby ½ tylko
z połową konkretnego przedmiotu: koła, kwadratu, czekolady itp.

Posługiwanie się prostym podziałem, mierzeniem, ważeniem i przelewaniem podczas wyznaczania połowy i czwartych części wyjaśnia dzieciom, że ułamek oznacza jedną lub kilka równych części. Należy, więc stosować najpierw koła, kwadraty, prostokąty, paski papieru, odcinki itd. A także dobrze dobrane przedmioty naturalne, np. pół kostki masła, pół kg cukru itd. Uczniowie spostrzegają wtedy, że niezależnie od kształtu połowa-ćwierć powstała z podziału jakiejś wielkości na dwie (cztery) równe części. Do zapisu czy do użycia wzięliśmy jedną taką część i zapisujemy to symbolem ½, ¼. Dokonując podziału całości na połowy lub czwarte części należałoby na pierwszych lekcjach również dobierać takie przykłady i do nich czynności, aby uczniowie nie oddzielali części od całości. Połowa
i ćwierć odcięta i oddzielona stanowi już nową całość. Stąd nie powinniśmy na początku ciąć na połowy wstążek, sznurków, pasków papieru. W miejsce tych czynności należy zginać, składać, zaznaczać kreską, zakreskowywać.

Doniosłą rolę odgrywają czynności mierzenia i ważenia. Uczniowie składają miary, rysują odcinki na kartkach, mierzą je i pokazują, gdzie na linijce jest 1 cm, ½ cm, itp. Po złożeniu paska metrowego (miary) na pół odczytują, że ½ m to 50 cm, ¼ m to 25 cm.

Następuje w sposób naturalny zamiana jednostek długości na ułamki. Podobnie w czasie ważenia uczniowie zauważają, że dłuższe kreski na skali wagi oznaczają całkowite wartości - a krótsze połówki. Szczególnie cenne są także ćwiczenia polegające na zamianie jednostek ciężaru, np. ½ kg to 50 dag, ¼ kg to 25 dag. Daje to naturalną okazję do przedstawiania ułamków na osi liczbowej. Ponieważ uczeń widzi, że ½ m to 50 cm i że 50 cm leży w środku pomiędzy 0 a 100. łatwiej przyswaja fakt, że ½ leży w środku pomiędzy 0 a 1. Przy przedstawianiu ułamków na osi liczbowej jest wprawdzie niebezpieczeństwo tego, iż nie wiadomo dokładnie, który ułamek jest sąsiadem danego, tak jak to wiadomo jest w liczbach całkowitych.

W klasie II uczniowie w sposób naturalny dodają i odejmują ułamki oraz jednocześnie porównują same ułamki, działania i wyniki. Czynności łączenia po połowie ujmują słowami
i zapisują działaniem ½ + ½ = 1. Wykonują również czynności odwrotne i zapisują wtedy 1-1/2= ½. Działania te mogą następnie porównywać.

Czynności dodawania i odejmowania utrwalamy i rozszerzamy w trakcie rozwiązywania zadań tekstowych, gdzie obok w sposób naturalny występują inne ułamki o mianownikach 2
i 4 oraz liczby mieszane, a ponadto odpowiednie dla nich terminy: półtora, dwa i pół itp. Porównywanie za każdym razem tych wielkości, działań i wyników na konkretach, na osi liczbowej i za pomocą znaków nierówności w sposób pełny doprowadza do właściwego pojmowania ułamka jako liczby.

Dobór ważniejszych ćwiczeń:

Każde ćwiczenie na ułamkach jest potrzebne dla lepszego zrozumienia ich istoty. Stąd warto organizować je przy każdej okazji i w każdym momencie lekcji. Propozycją może być następujące zestawienie:

1. Podział różnych przedmiotów na równe części

2. Ważenie ½ i ¼ kg różnych produktów (kaszy, cukru, jabłek)

3. Mierzenie płynów: wody, soku, mleka w naczyniach 1 l, ½ l, ¼ l. Pokaz miarek 1 l, ½ l, ¼ l.

4. Praktyczne ćwiczenia w tworzeniu ułamków przez wlewanie, mierzenie, określanie części figur geometrycznych

5. Dzielenie arkusza papieru pakowego przez składanie

6. Dzielenie wstążki, sznurka na równe części poprzez składanie

7. Składanie paska papieru, koła i innych figur na dwie (cztery) części, przykładanie innych pasków

8. Dzielenie pasków papieru na równe części przez zginanie oraz mierzenie
   i odmierzanie części

9. Sprawdzanie czy pasek jest podzielony na pół, ćwierć

10. Dzielenie kilku całości na połowy i określanie ile jest w nich połówek

11. Uporządkowanie danych ułamków w kolejności malejącej przez zakreskowanie na modelu podanych ułamków

12. Szukanie kartoników z ułamkami o mianowniku 2, 4, 8 itp. i uporządkowanie ich malejąco i wzrastająco z przykładaniem na osi liczbowej

13. Porównywanie ułamków o tych samych licznikach na osi liczbowej i wstawianie znaków nierówności pomiędzy nimi

Nauczanie ułamków wymaga dużej liczby środków dydaktycznych. Środki, jakie powinny zostać wykorzystane przy nauczaniu ułamków to: klocki Dienesa, tablica magnetyczna i flanelowa, liczydło ułamkowe, tarcze zegarowe, banknoty z papieru, diagramy, drzewka, ilustracje do zadań. Innymi ważnymi są::

• Konkrety i liczmany (kartoniki, guziki, monety, żetony)

• Koła, kwadraty, prostokąty z kartonu i papieru

• Paski papieru

• Kartoniki z ułamkami

• Kolorowe układanki

• Liczby w kolorach

• Tarcze zegarowe z podziałem na różne części

• Miary metrowe

• Grafy strzałkowe

• Naczynia pół i ćwierć litrowe oraz litrowe

• Waga i odważniki

• Różne osie liczbowe

• Geoplany

• Domino ułamkowe

• Gry i zabawy, np. ułamki geometryczne, droga z mostami i znakami drogowymi
  w postaci ułamków

Przykładowe zadania:

1. Narysuj prostokąt o bokach 4 cm i 2 cm i podziel go na dwie równe części. Zakreskuj jedną część i napisz jaki to ułamek?

2. Narysuj dowolny kwadrat i podziel go na 4 części. Zakreskuj 3 części i napisz jaki to ułamek?

3. Otocz pętlą ½ trójkątów i ¼ kół

4. Podpisz na osi liczbowej ułamki

5. Wstaw między liczbami odpowiednie znaki >, <, =

6. Uzupełnij zamiany jednostek

50 cm to….m 12 godz. to ….doby

¼ m to….cm 30 min to ….godz.

….kg to 50 dag ¼ godz. to….min

¼ kg to….dag

Podstawy kształtowania pojęć stosunków przestrzennych

Z pojęciami geometrycznymi z zakresu stosunków przestrzennych dziecko styka się wszędzie: w domu, w klasie, w szkole, na ulicy itp. Dotyczą one położenia przedmiotów na płaszczyźnie i w przestrzeni oraz kierunku ruchu. Ćwiczenia w określaniu położenia przedmiotów i kierunku ruchu prowadzimy na lekcjach matematyki i we wszystkich przedmiotach nauczania. Chodzi o sprawdzenie poziomu orientacji dzieci w tym zakresie, utrwalenie, poznanych w przedszkolu stosunków przestrzennych i rozszerzenie ich zakresu oraz osiągnięcie sprawności operowania tymi pojęciami.

Program wychowania w przedszkolu w zakresie poznawania stosunków jakościowych przewidywał:

Poznawanie stosunków jakościowych

Dzieci 3-letnie	Nabywanie umiejętności posługiwania się słowami określającymi
		Położenie przedmiotów w przestrzeni na; pod, za, obok, wysoko, nisko.	Kierunek w przód, w tył, do góry, na dół
	Dzieci 4-letnie	Rozróżnianie, porównywanie i nazywanie
		Położenia przedmiotów w przestrzeni między, wyżej—niżej, daleko—blisko, dalej—bliżej.	Kierunku przed siebie, za siebie, w bok.
		Coraz dokładniejsze rozróżnianie, porównywanie i nazywanie
		Położenia przedmiotów w przestrzeni w odniesieniu do siebie na prawo, na lewo, naprzeciw	Kierunku w prawo, w lewo.
Dzieci 5-letnie
Dzieci 6-letnie	Kształtowanie pojęć dotyczących położenia przedmiotu w stosunku do innych przedmiotów lub układu odniesienia oraz wyrabianie umiejętności posługiwania się odpowiednimi określeniami
		Położenia: na, pod, przed, poza, obok, między, wyżej, niżej, daleko, blisko, dalej, bliżej, na prawo, na lewo, na prawo od, na lewo od, naprzeciw, wewnątrz, na brzegu, na zewnątrz.		Kierunku: w przód, w tył, do góry, na dół, przed siebie, za siebie, w bok, w prawo, w lewo, na wprost.

Opracowanie działu Stosunki przestrzenne w szkole ma na celu kształtowanie pojęć na poziomie elementarnym i naukowym w zakresie położenia przedmiotów na płaszczyźnie i w przestrzeni oraz kierunku ich ruchu (czy przemieszczania się). Odbywać to się powinno w trakcie czynnościowego nauczania, polegającego na takim organizowaniu działań uczniów, aby od czynności konkretnych przechodzić stopniowo przez czynności wyobrażeniowe do abstrakcji matematycznej. Wypływa to z operatywnego charakteru matematyki w konfrontacji z psychologiczną koncepcją interioryzacji.

Zgodnie z tym, uwzględniając teorię działań umysłowych Galpierina, proces dydaktyczny w tym dziale powinien uwzględniać 5 etapów;

1. Zapewnienie dobrej orientacji w zakresie działania, które dziecko ma wybrać.

2. Organizowanie czynności dziecka na przedmiotach materialnych

(lub zmaterializowanych) w zakresie położenia przedmiotów na

płaszczyźnie i w przestrzeni oraz kierunku ich ruchu (przemieszczania się).

3. Słowne (głośne) określanie ich położenia i kierunku.

4. Określanie ich położenia i kierunku w mowie cichej.

5. Określanie na poziomie umysłowym (myślowym) położenia przedmiotów i ich kierunku. W czasie realizacji omawianego działu i w czasie dalszych ćwiczeń w zakresie stosunków przestrzennych przy innych tematach w ciągu roku i na lekcjach innych przedmiotów wystąpią następujące typy zajęć:

1. Ćwiczenia ruchowe (układanie i określanie — opisywanie) prowadzące do kształtowania rozumienia i umiejętności posługiwania się wyrażeniami określającymi wzajemne położenie przedmiotów na płaszczyźnie i w przestrzeni oraz kierunku ruchu.

2. Przedstawianie (układanie, ilustrowanie, rysowanie) stosunków przestrzennych z wykorzystaniem różnorodnych środków dydaktycznych według podanych warunków.

3. Analizowanie zadań z zeszytu ćwiczeń w zakresie określania wzajemnego położenia przedmiotów słownie i w działaniu (układanki, rysowanie, ćwiczenia ruchowe itp. J.

2.I2. Ogólne wskazania dotyczące realizacji działu Stosunki przestrzenne

W trakcie realizacji działu Stosunki przestrzenne należałoby pamiętać o następujących wskazaniach:

1. Koniecznie sprawdzić poziom orientacji dzieci w operowaniu pojęciami z zakresu stosunków przestrzennych wyniesionych z przedszkola lub z oddziału przedszkolnego.

2. Należy zorientować dziecko w nowych warunkach przestrzennych: w klasie, w budynku szkolnym, na boisku, osiedlu, w drodze do

szkoły itp.

3. Należy pomóc dziecku w uzyskaniu orientacji w przestrzeni w zakresie ręki, oka i całego ciała poprzez wykonywanie różnych czynności przemieszczania przedmiotów i samego siebie oraz ich

słowne określanie.

4. Do kształtowania pojęć z zakresu stosunków przestrzennych warto

wykorzystać:

— sprzęty i przybory w klasie,

:— rozkład sal i innych pomieszczeń w budynku szkolnym (plan), urządzenia na boisku szkolnym, drogę do szkoły z jej infrastrukturą (np. plan fragmentu osiedla),

— wycieczki w różne miejsca (np. budowa, osiedle itp. z określaniem stosunków przestrzennych),

— graficzne przedstawianie stosunków przestrzennych w formie rysunków, obrazków, wycinanek, kreślenia fihur itp.,

— ilustracje z podręcznika i różne środki dydaktyczne, np.: patyczki, stemple, klocki Dienesa itp.

5. Ćwiczenia orientacyjne nasilać we wszystkich podmiotach ~ przy każdej nadarzającej się okazji, głównie przez pierwszy miesiąc po- bytu dziecka w szkole i okazjonalnie w ciągu całego roku szkolnego.

2.1.3. Propozycja rozkładu materiału do działu Stosunki przestrzenne

Propozycje realizacji działu Stosunki przestrzenne były w ciągu ostatnich lat różne. Wynikały one z ciągłego doskonalenia programu. Każda wersja programu zawierała w tym zakresie nieco inne sformułowania, które zawsze oznaczały inne rozumienie ich u różnych osób

i inną realizację, mimo często podobnej lub tej samej intencji. Ujęcie tego działu, dla przykładu w programie z 1979 roku i 1983 roku jest dość odmienne. Szersze są natomiast uwagi o realizacji. Oznacza to, że sposób podejścia do tych zagadnień musi być ciągle inny (nowy), a propozycje sprzed paru lat należy modyfikować.

Moja propozycja obejmuje 3lekcje, przy współdziałaniu w zakresie doskonalenia ćwiczeń w tych dniach na innych lekcjach, oraz dalszą realizację przy odpowiednich zagadnieniach. Dwie pierwsze lekcje mają za zadanie pomóc dziecku w uzyskaniu orientacji w przestrzeni w nowych warunkach. Natomiast trzecia lekcja ma sprawdzić (w formie ćwiczeń) poziom opanowania stosunków przestrzennych z przedszkola

i z tego, co zrealizowano na dwóch lekcjach w szkole. A oto tematy tych lekcji:

1. Wzajemne położenie niektórych przedmiotów w klasie i podstawowe

kierunki z nimi związane.

2. Wzajemne położenie przedmiotów i podstawowe kierunki poza klasą

(lekcja 2-godzinna: matematyki i środowiska społeczno-przyrodniczego).

3. Sprawdzenie (w formie ćwiczeń) wiedzy w zakresie opanowania stosunków przestrzennych.

Lekcja 1

Temat: Wzajemne położenie niektórych przedmiotów w klasie

i podstawowe kierunki z nimi związane (nieco rozwinięty plan lekcji).

Cele lekcji: zapoznanie uczniów z wzajemnym położeniem niektórych przedmiotów w klasie poprzez obserwowanie, układanie, określanie, budowanie, opisywanie i zapisywanie. Kształcenie spostrzegawczości

i koncentracji uwagi, wyobraźni i myślenia. Zapoznawanie uczniów z ich klasą i początki wdrażania do utrzymywania w niej ładu i porządku.

PRZYKŁADY

. Wyszukiwanie elementów rysunku i określanie ich położenia:

a) szukanie elementu wymienianego przez nauczyciela. Nauczyciel

wiesza duży rysunek, ilustrację lub obraz. Uczniowie oglądając i następnie odpowiadając na pytania, np.: Określ położenie tramwaju, drzew itp. Uczniowie mówią Tramwaj znajduje się

z prawej strony w dolnej części obrazu itd.,

b) podawanie położenia przedmiotów przez nauczyciela lub uczniów i rozpoznawanie przez klasę co to za element obrazu,

c) ćwiczenia ukazujące znaczenie różnych określeń. Praca z zeszytem 1 na stronie 3.

3. Ustalanie wzajemnego położenia trzech przedmiotów.

Na ławce układamy trzy przedmioty, np.: ołówek, kredka, długopis. Zadaniem ucznia jest ustalenie wzajemnego ich położenia i odpowiedź na takie pytania, jak: Po której stronie kredki leży ołówek? Po której stronie ołówka leży kredka? itp. Innym typem tego ćwiczenia może być układanie: 1) koła między dwoma patyczkami, 2) układanie dwóch patyczków z boku koła itp. i określanie zmian we wzajemnym położeniu.

4. Zabawa w pokazywanie właściwego koła.

Mamy 9 kół po trzy w każdym rzędzie (na tablicy i każde dziecko na kartce). Słowami kierujemy uwagę dziecka na właściwe koło, które mając pokazać lub przekreślić, np.: koło w środku, w prawym rogu u góry, pod kołem środkowym, w lewo od koła środkowego itp.

5. Ćwiczenia w zakresie wzajemnego położenia klocków Dienesa.

Jest to pierwsze wprowadzenie klocków logicznego myślenia, chociaż większość dzieci powinna znać je z przedszkola. Pozwalamy dzieciom na dowolną zabawę (orientację). Następnie dzieci wykonując różne ćwiczenia:

a) układanie trzech określonych klocków obok siebie i odpowiedzi na pytania. Jaki klocek jest w środku, z prawej strony? itp.,

b) układanie trzech dowolnych klocków obok siebie (lub pod sobą) i odpowiedzi na podobne pytania,

c) układanie trzech prostokątów, koła i trzech kwadratów obok siebie.

Ćwiczenie: Połóżcie z lewej strony dwa prostokąty. O ile miejsc trzeba przesunąć koło, aby znowu znalazło się ono w środku? Jeżeli przesunąć też o dwa miejsca, zrobią błąd (bo należy przesunąć o jedno miejsce). Dzieci, które zrobić to dobrze rozumiejąc stosunki przestrzenne i ilościowe, bowiem przeszły z etapu abstrakcji empirycznej do abstrakcji reflektującej. Dla ułatwienia mogą to być 3 patyczki, koło i 3 patyczki.

6. Ćwiczenia kierunku pod wpływem zmiany punktu odniesienia:

. a) para uczniów staje do siebie twarzami. Każde pokazuje prawą rękę, lewą nogę itp. Dzieci nawzajem sprawdzają poprawność wykonania,

b) ćwiczenia ze stemplami:

— odbijanie na papierze i określanie lewej i prawej strony,

— oglądanie tych samych pieczątek, które przed chwilą odbija- ; no i określanie ich stron,

— dorysowywanie elementów z określonej strony odbitego stempla.

~ Tematyka stempli może być różna. Matematyczna pozwoli określać położenie elementów (np. położenie punktu), a nie matematyczna (do zadań tekstowych) pozwoli określić położenie części obrazka.

~ 7. Samodzielne narysowanie figury według wskazania liczby kratek

~ i kierunku ruchu od obranego punktu. Na przykład, zaznacz krzyżykiem początek figury i narysuj je według danej liczby kratek oraz wskazanego kierunku: 3E—, 2.~, 1~, 1T, 2~, 1T,

8. Określanie położenia przedmiotów:

a) w wyobraźni, np.: Co leci wyżej niż samolot, a co dalej niż piłka, co dłużej niż kamień, co szybciej niż pióro? Co może być za nasza tylną ścianą, za przednią, pod naszą klasą? Z której strony jest korytarz, ulica? itp:,

b) na poziomie umysłowym, np.: Zaplanuj w myśli, jak pójdziesz do domu? Jak możesz` zajechać do babci? Jak idziesz z domu do kina?

9. Określanie zmian we wzajemnym położeniu trzech różnokolorowych figur (czerwonej, niebieskiej, żółtej) o tym samym kształcie, np.: prostokąty. Ułożenie do sześciu możliwości (parami) na ławce:

cznż nczż żczn

czżn nżcz żncz

Na tej lekcji można wykorzystać różne środki dydaktyczne i organizować własnego pomysłu ćwiczenia sprawdzające na geoplanie, klockach Cuisenaire'a, kartach logicznych itp.

8

---