DWUWYMIAROWY ROZKŁAD EMPIRYCZNY

Def. Empiryczny dwuwymiarowy rozkład cechy (X,Y) lub inaczej - empiryczny łączny rozkład cech X, Y określają liczebności n_ij (i=1,...,k; j=1,...,l) odpowiadające parom wartości (x_i, y_j).

Liczebności te muszą spełniać warunek:

gdzie n jest ogólną liczebnością zbiorowości.

Def. Rozkłady każdej z cech, traktowanych oddzielnie, określa się mianem rozkładów brzegowych (bezwarunkowych).

Def. Rozkład brzegowy (bezwarunkowy) cechy X wyznaczają liczebności n_i. określone jako:

Liczebności n_i. wskazują na to, ile jednostek zbiorowości przyjmuje wyróżnione wartości cechy X.

Def. Rozkład brzegowy (bezwarunkowy) cechy Y wyznaczają liczebności n_.j, określone jako:

Dla liczebności n_ij, n_i. oraz n_.j(i=1,...,k; j=1,...,l) zachodzi:

TABLICA KORELACYJNA CECH X I Y

yj xi	y1 y2 . . . yl
x1 x2 . . . xk	n11 n12 . . . n1l n21 n22 . . . n2l . . . . . . . . . nk1 nk2 . . . nkl	n1. n2. . . . nk.
	n.1 n.2 . . . n.l	n

PARAMETRY DWUWYMIAROWEGO ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO

Rozkłady brzegowe:

1. cechy X:

2. 
   cechy Y:

Rozkłady warunkowe:

1. cechy X:

2. cechy Y:

KOWARIANCJA DWUWYMIAROWEGO ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO

lub

W przypadku korzystania z danych indywidualnych (x_i, y_i) (i=1,2,...,n) powyższe wzory można zapisać w następującej postaci:

oraz

WSPÓŁCZYNNIK ZBIEŻNOŚCI V CRAMERA

gdzie: m = min (k, l)

Własności:

• jest symetryczny, tzn.:
  ,

• przyjmuje wartości z przedziału <0;1>,

• w przypadku stochastycznej niezależności dwóch cech
  , natomiast, w przypadku związku funkcyjnego
  ,

• nie wskazuje kierunku korelacji dwóch cech,

• może być stosowany zarówno w przypadku cech mierzalnych, jak i niemierzalnych.

WARUNKI ZALEŻNOŚCI STOCHASTYCZNEJ I KORELACYJNEJ

Def. Zmienne są stochastycznie zależne gdy wartość jednej zmiennej wpływa na rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej.

Warunki niezależności stochastycznej:

• rozkłady warunkowe zmiennej losowej Y są identyczne (rozkłady warunkowe zmiennej Y mają jednakowe średnie i wariancje)

→ równość warunkowych średnich

→ równość warunkowych wariancji

Def. Zmienne są korelacyjne zależne gdy określonym wartościom jednej zmiennej przyporządkowane są średnie wartości drugiej zmiennej

Warunki niezależności korelacyjnej:

• średnie warunkowe zmiennej losowej Y są identyczne (rozkłady warunkowe różnią się między sobą)

→ równość średnich warunkowych

WSKAŹNIKI (STOSUNKI KORELACYJNE)

Równość wariancyjna

miara ogólnego zróżnicowania cechy y

miara przeciętnego zróżnicowania cechy y wewnątrz rozkładów warunkowych

miara przeciętnego zróżnicowania cechy y między rozkładami warunkowymi

WSKAŹNIKI (STOSUNKI) KORELACYJNE

Własności:

• wskaźnik korelacyjny nie jest symetryczny, tzn.
  poza sytuacją niezależności cech lub związku funkcyjnego,

• przyjmuje wartości <0;1>,

• nie wykazuje kierunku korelacji dwóch cech,

• w przypadku stochastycznej niezależności dwóch cech
  natomiast w przypadku związku funkcyjnego
  

• przynajmniej cecha zależna musi być mierzalna,

• może być stosowany zarówno w przypadku związków korelacyjnych liniowych jak i nieliniowych.

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ

gdzie:

Własności:

• jest symetryczny, tzn.
  

• przyjmuje wartości z przedziału <-1; 1>,

• charakteryzuje zarówno kierunek jak i siłę zależności dwóch cech,

• ma zastosowanie wyłącznie gdy związek dwóch cech ma charakter liniowy,

• może być wyznaczany wyłącznie w przypadku cech mierzalnych.

WERYFIKACJA HIPOTEZY O BRAKU ZALEŻNOŚCI KORELACYJNEJ W POPULACJI GENERALNEJ ZMIENNEJ

LOSOWEJ X OD ZMIENNEJ LOSOWEJ Y

1. Stawiamy hipotezę o liniowej niezależności korelacyjnej zmiennej losowej X od zmiennej losowej Y:

wobec hipotezy alternatywnej:

2. Jeżeli
jest prawdziwa, to statystyka o postaci:

gdzie:

n - liczebność próby,

s - liczba wariantów zmiennej niezależnej Y w próbie,

exy - stosunek korelacyjny z próby,

ma rozkład F-Snedecora o liczbie stopni swobody
oraz
, a przy tym ta statystyka nie powinna przyjmować zbyt dużych wartości.

3. Przy danym poziomie istotności ustalamy wartość krytyczną
, której nie powinna przekraczać statystyka F, określając ją w taki sposób w rozkładzie F-Snedecora, aby zachodziła relacja:

4. Wartości zmiennej F spełniające nierówność
są obszarem krytycznym testu, tzn.:

5. Jeżeli z próby uzyskamy taką wartość statystyki F, że:

• 
  to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

• 
  to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia
  .

TEST DOTYCZĄCY WARTOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA

KORELACJI

1. Stawiamy hipotezę, że współczynnik korelacji
w populacji generalnej jest równy zeru:

wobec hipotezy alternatywnej:

2. Jeżeli
jest prawdziwa, to statystyka o postaci:

gdzie r jest współczynnikiem korelacji z próby, ma rozkład t-Studenta o s=n-2 stopniach swobody.

3. Przy danym poziomie istotności ustalamy wartość krytyczną
, której nie powinna przekraczać bezwzględna wartość statystyki t, określając ją w taki sposób w rozkładzie t-Studenta, aby zachodziła relacja:

4. Wartości zmiennej t spełniającej nierówność
są obszarem krytycznym testu, tzn.:

5. Jeżeli próby uzyskamy taką wartość statystyki t, że:

to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia
.

MIARA KRZYWOLINIOWOŚCI ZWIĄZKU CECH

• 
  oraz
  przyjmują wartości z przedziału
  

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG

• uszeregowanie badanych jednostek według kryterium porządkującego, niezależnie ze względu na badane cechy

• nadanie rang wszystkim badanym jednostkom, tzn. numerów miejsc zajmowanych przez badane jednostki w ciągu uporządkowanych ze względu na badane cechy

• obliczenie różnic pomiędzy rangami przyporządkowanymi poszczególnym badanym jednostkom w obu ciągach

• obliczenie współczynnika korelacji rang:

,

gdzie:

a_i, b_i - rangi nadane i-tej badanej jednostce w poszczególnych, uporządkowanych ciągach:

d_i = a_i - b_i

Własności:

• umożliwia ocenę zarówno siły jak i kierunku zależności pomiędzy cechami niemierzalnymi

• przyjmuje wartości z przedziału <-1,1>

• jest miarą symetryczną

---