Magdalena Poterek

WPPT IB, II rok

SPRAWOZDANIE

Z

ĆWICZENIA NR 1

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

I SPRAWDZENIE TWIERDZENIA STEINERA

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Ruchem drgającym (drganiami), nazywamy każdy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu to ruch taki nazywamy ruchem okresowym.

Najprostszym rodzajem drgań okresowych są drgania harmoniczne.

Przykładem drgań harmonicznych (obrotowych) jest ruch fizycznego wahadła grawitacyjnego.

Fizycznym wahadłem grawitacyjnym nazywamy ciało doskonale sztywne (dowolnego kształtu), zawieszone powyżej jego środka ciężkości, mogące pod działaniem siły ciężkości wykonywać drgania obrotowe wokół poziomej osi. Po wychyleniu ciała z położenia równowagi pojawia się różny od zera moment siły, wymuszający obrotowe drgania ciała. Czynnikiem zapewniającym ciągłość ruchu jest bezwładność poruszającego się ciała.

Dla małych wychyleń z położenia równowagi ruch wahadła jest harmoniczny.

Okres drgań [T] wahadła wyraża się wzorem:

i stąd:

gdzie: I - moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,

m- masa ciała,

g - przyspieszenie ziemskie,

d -odległość środka masy wahadła od osi obrotu.

Po przekształceniu powyższego wzoru (na okres drgań) otrzymujemy następujące wyrażenie na moment bezwładności:

.

Jest to moment względem osi drgań obrotowych. W praktyce jednak, często chodzi o znajomość momentów bezwładności ciała względem osi środkowej przechodzącej przez środek masy ciała.

Korzystamy wówczas z twierdzenia Steinera, które brzmi: różnica momentów bezwładności ciała względem dwu równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d między osiami:

I - I₀ = m ^. d².

Dla dwu różnych odległości
i
od osi środkowej mamy:

I₂ - I₁ = m( d₂² - d₁²).

Po podstawieniu poprzedniego wzoru otrzymujemy:

T₂²gd₂ - 4π²d₂² = T₁²gd₁ - 4π²d₁² = const = C

Stała C pozwala obliczyć moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy:

I₀ = π^{2 .} (m^. C )/ 4 .

Urządzenie pomiarowe.

Zasadniczą częścią jest tarcza metalowa z symetrycznie naciętymi otworami. Umieszczenie podpory w postaci metalowej pryzmy w różnych otworach pozwala zmieniać odległość osi obrotu od środka masy tarczy.

W drugiej części ćwiczenia rolę wahadła spełnia pierścień metalowy, dla którego daje się zrealizować tylko jedno położenie osi obrotu względem środka masy.

Odległość 2d osi obrotu od środka masy tarczy wyznaczamy za pomocą suwmiarki. Okres drgań wahadła wyznaczamy za pomocą stopera. Masę ciała wyznaczamy za pomocą wagi laboratoryjnej.

POMIARY

1. TARCZA.

Suwmiarką zmierzyłam podwójną odległość od osi obrotu do środka masy tarczy. Pomiary wykonałam dla trzech różnych odległości 2d.

a) 2d = 139,3mm 0,1mm

d = 69,65mm = 0,06965m 0,0001m

Następnie zmierzyłam kilkakrotnie czas trwania 100 drgań tarczy i wyznaczyłam średni okres drgań.

POMIAR	100T [s]	100T	C [ ]	C [ ]
1	68,2	0,1
2	68,3	0,1
3	68,2	0,1
4	68,2	0,1
5	68,3	0,1
średnia	68,2	0.1	0,127	0,001

T = 0,682 0,001 s

Stałą drgań wahadła obliczamy ze wzoru : C = T²gd - 4p²d²

gdzie: T- okres drgań

przyspieszenie ziemskie

d- odległość osi obrotu od środka masy tarczy.

C = (0,682)^2. 9,81^. 0,06965 - 4^. (3,14)^2. (0,06965)² = 0,127 m²

DC = 2TgdDT + T²gDd - 8p²dDd

DC = 2^. 0,682^. 9,81^. 0,06965^. 0,001 + (0,682)^2. 9,81^. 0,0001 - 8^. (3,14)^2.0,06965^.

0,0001 = 0,000839 ≈ 0,001 m²

b) 2d = 89,3mm 0,1mm

d = 44,65mm = 0,04465m 0,0001m

POMIAR	100T [s]	100T [s]	C [ ]	C [ ]
1	68,8	0,2
2	68,6	0,1
3	68,6	0,1
4	68,5	0,1
5	68,5	0,1
średnia	68,6	0,2	0,128	0,002

T = 0,686s+0,002s

c) 2d = 50,5mm 0,1mm

d = 25,25mm = 0,02525m 0,0001m

POMIAR	100T [s]	T [s]	C [ ]	C [ ]
1	78,9	0,1
2	79,0	0,1
3	79,0	0,1
4	79,0	0,1
5	79,0	0,1
średnia	79,0	0,1	0,129	0,001

T = 0,79s+0,001s

Wyznaczenie średniej wartości stałej C:

POMIAR	C [ ]	C [ ]
1	0,127	0,001
2	0,128	0,002
3	0,129	0,001
ŚREDNIA	0,128	0,001

Masa tarczy została zmierzona za pomocą wagi laboratoryjnej:

m = 1,062 kg

Dm =0,001 kg

Moment bezwładności I₀ względem środka masy tarczy obliczamy ze wzoru:

I₀ = m ^. C / 4 ^. p²

I₀ = 1,062^. 0,128 / 4^. (3,14)² = 0,335 kgm²

Błąd bezwzględny obliczamy ze wzoru: DI₀ = (m / 4p²)DC + (C / 4p²)Dm

DI₀ = (1,062/4^. (3,14)²)^. 0,000984 + (0,128/4^.(3,14)²)^. 0,001=

0,00289 ≈ 0,003 kgm²

2. PIERŚCIEŃ METALOWY

2d = 105,8 mm 0,1mm

d = 52,9 mm = 0,0529 m 0,0001m

POMIAR	100T [s]	100T [s]
1	66,6	0,1
2	66,6	0,1
3	66,8	0,1
4	66,7	0,1
5	66,7	0,1
średnia	66,7	0,1

T = 0,667s 0,001s

Masa pierścienia została zmierzona za pomocą wagi laboratoryjnej:

m = 215,8 g = 0,216 kg

m = 1g = 0,001 kg

Moment bezwładności pierścienia : I = T²mgd / 4p²

I = 0,00126 kg ^. m²

Błąd bezwzględny: DI = g/4p^2. (2TmdDT + dT²Dm + mT²Dd)

DI = 0,00002 kg ^. m²

Moment bezwładności względem środka masy (z twierdzenia Steinera):

I₀ = I - md²

I₀ = 0,00066 kg ^. m²

DI₀ = DI - d²Dm + 2mdDd

DI₀ = 0,00002 kg ^. m²

Obliczenie momentu bezwładności pierścienia względem osi środkowej na podstawie wzoru tablicowego: I₀ = 0,5 ^. m( r² + R²)

gdzie:

r - promień wewnętrzny : 0,0529 m,

R - promień zewnętrzny : 0,0629 m.

I₀ = 0,00073 kg ^. m²

ΔI₀ obliczamy ze wzoru: ΔI₀ = 0,5(r²Δm + 2mrΔr + R²Δm + 2RmΔR)

ΔI₀ = 0,00001kg ^. m²

Porównanie wyników obliczeń I₀ dla pierścienia metalowego:

METODA			[]
Z twierdz. Steinera	0,00066	0,00002	3
Ze wzoru tablicowego	0,00073	0,00001	2

WNIOSKI

Zastosowane przyrządy pomiarowe zapewniają dużą dokładność co powoduje, że szukane wielkości możemy wyznaczyć z małym błędem. Jednak okazuje się, że duża dokładność przyrządów pomiarowych do końca nie gwarantuje dokładnego wyniku. W rzeczywistości popełniliśmy dodatkowe błędy, których nie uwzględniliśmy w rachunku błędów.

Błędy dodatkowe nie uwzględnione w obliczeniach to:

-ewentualne ślizganie się tarczy po pryzmacie co jest jednoznaczne z przesuwaniem się osi obrotu

-przy pomiarze czasu bierzemy pod uwagę jedynie błąd przyrządu nie uwzględniamy błędu związanego z właściwym włączeniem i wyłączeniem stopera a taki błąd istnieje i jest on tym większy nim krótszy jest czas pomiaru. Błąd ten można w dużym stopniu wyeliminować stosując fotokomórkę, lub uwzględnić wykonując dla ustalonej liczby wahnięć serię pomiarów i za błąd dt

przyjąć średnie odchylenie standardowe. (błąd systematyczny pomiaru czasu wynikający z dokładności zastosowanego stopera okaże się na pewno o wiele mniejszy od wyliczonego na podstawie serii pomiarów. Podejrzewam, że w tym tkwi główna przyczyna niezgodności wyników doświadczalnych z tablicowymi)

Ćwiczenie bardzo mi się podobało ?!

---