1.Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest obserwacja zjawiska dyfrakcji elektronów oraz pomiar odległości między płaszczyznowych w graficie

2.Opis metody pomiaru

Postulat de Broglie'a głosi, że z cząstką materialną o pędzie p można związać falę o długości

(1)

gdzie: h - stała Plancka.

Z postulatu tego wynika, że wiązka rozpędzonych cząstek, np. elektronów powinna ulegać załamaniu, dyfrakcji i interferencji w sposób analogiczny jak fale, niezależnie od ich rodzaju. Podobnie jak każda fala, „fala” elektronów padając na odpowiednio dobraną do długości tej fali siatkę dyfrakcyjną tworzyć będzie maksima i minima interferencyjne. W przypadku promieniowania rentgenowskiego rolę siatki dyfrakcyjnej pełni sieć krystaliczna. Płaska fala rentgenowska o długości λ padając na kryształ ulega odbiciu od jego płaszczyzn sieciowych (rysunek nr 1).

Jeżeli różnica dróg 2Δ przebytych przez promienie odbite 1 i 2 wynosić będzie nλ (gdzie n=1,2,3,...) to promienie te docierać będą do ekranu w zgodnych fazach dając maksimum interferencyjne. Z rysunku nr 1 wynika, że
, a zatem warunkiem uzyskania maksimum jest spełnienie równania Braggów-Wulfa:

(2)

Elektronom rozpędzonym w polu elektrycznym o napięciu kilku kilowoltów odpowiadają fale materii o długościach zbliżonych do długości fal „twardego” promieniowania rentgenowskiego. Oddziaływanie takiej wiązki elektronów z siecią krystaliczną przebiega zatem analogicznie, jak fali promieniowania rentgenowskiego i opisane jest równaniem (2).

Schemat aparatury stosowanej w ćwiczeniu jest przedstawiony na poniższym rysunku.

Rysunek nr 2. Schemat aparatury stosowanej w ćwiczeniu

W szklanej lampie próżniowej znajdują się:

- katoda K (źródło elektronów)

- cylinder Wehnelta H (regulacja natężenia wiązki elektronów)

- elektrody ogniskujące wiązkę G

- anoda A

- grafit polikrystaliczny P

- ekran pokryty luminoforem E

Wiązka elektronów wybiegająca z katody K zostaje przyspieszona w polu elektrycznym wytworzonym pomiędzy katodą a anodą. Elektrony padając na warstwę polikrystalicznego grafitu ulegają odbiciu od płaszczyzn sieciowych a następnie padają na ekran luminescencyjny powodując jego świecenie. Część wiązki padającej, która zostaje odbita od tych płaszczyzn tworzy wiązkę odbitą w kształcie stożka. Obrazem tego stożka na ekranie lampy jest okrąg (rysunek nr 2).

Jeżeli pomiędzy katodę a anodę lampy przyłożone zostanie napięcie U_A to energia kinetyczna elektronów docierających do anody wynosić będzie:

(3)

gdzie: e - ładunek elektronu.

Ponieważ

(4)

gdzie: p - pęd elektronu; m- masa spoczynkowa elektronu.

Docierające do warstwy grafitu elektrony mają pęd:

(5)

któremu zgodnie z zależnością (1) odpowiada fala o długości

(6)

Aby fala o tej długości dała maksimum interferencyjne przy odbiciu od zespołu płaszczyzn sieciowych odległych od siebie o d to zgodnie z warunkami (2) i (6) spełnione musi być równanie

(7)

Mierząc kąt Θ i znając rząd interferencji n można obliczyć odległości płaszczyzn sieciowych, od których nastąpiło odbicie. Ponieważ jasność obrazu interferencyjnego szybko maleje wraz ze wzrostem rzędu interferencji, co w nie zaciemnionym pomieszczeniu praktycznie uniemożliwia zobaczenie okręgów odpowiadających n>1 należy przyjąć, że obserwowane okręgi odpowiadają rzędowi n = 1.

Z równania (7) wynika, że zależność sinΘ od
jest funkcją liniową a współczynnik nachylenia tej prostej wynosi

(8)

Za pomocą skali kątowej umieszczonej na obudowie lampy można zmierzyć kąt α odpowiadający szerokości kątowej otrzymanych na ekranie okręgów. Ponieważ oś skali kątowej przechodzi przez środek lampy (punkt O na rys. 3) to pomiędzy kątami α i Θ istnieje zależność:

(9)

Rysunek nr 3. Schemat ukazujący zależność opisaną powyższym równaniem

3.Wyniki pomiarów

Zmierzone wartości kątów α dla odpowiadających im napięć U_A:

L.p.	UA [kV]	αa1 [°]	αb1 [°]	αa2 [°]	αb2 [°]
1	4,0	11	11	18	18
2	4,5	10	10	19	19
3	5,0	10	10	17	17
4	5,5	9	9,5	16	17
5	6,0	8,5	10	15,5	16,5
6	6,5	8	9	15	16
7	7,0	8	8,5	14	15
8	7,5	7,5	8	14	15
9	8,0	7	8	13,5	15
10	8,5	7	8	13	14,5
11	9,0	7	8	13	14

Wyznaczone wartości dla:
, kątów Θ oraz sinusów tych kątów:

L.p.	[V^-1/2]	ၑေaၛႰၝ	ၑေbၛႰၝ		sin	ၑဲb ၛႰၝ	ၑဲb ၛႰၝ		sin
1	0,5	2,75	2,75	2,75	0,04798	4,5	4,5	4,5	0,07846
2	0,4714	2,5	2,5	2,5	0,04362	4,75	4,75	4,75	0,08281
3	0,44721	2,5	2,5	2,5	0,04362	4,25	4,25	4,25	0,07411
4	0,4264	2,25	2,375	2,3125	0,04035	4	4,25	4,125	0,07193
5	0,40825	2,125	2,5	2,3125	0,04035	3,875	4,125	4	0,06976
6	0,39223	2	2,25	2,125	0,03708	3,75	4	3,875	0,06758
7	0,37796	2	2,125	2,0625	0,03599	3,5	3,75	3,625	0,06323
8	0,36515	1,875	2	1,9375	0,03381	3,5	3,75	3,625	0,06323
9	0,35355	1,75	2	1,875	0,03272	3,375	3,75	3,5625	0,06214
10	0,343	1,75	2	1,875	0,03272	3,25	3,625	3,4375	0,05996
11	0,33333	1,75	2	1,875	0,03272	3,25	3,5	3,375	0,05887

4.Wykresy

Współczynniki nachylenia prostej oraz ich błędy liczymy korzystając z metody najmniejszych kwadratów. Prosta ma wzór:

Korzystamy z następujących wzorów:

Błąd współczynnika kierunkowego a₁ wyliczamy ze wzoru:

Wykres zależności
.

Współczynnik nachylenia prostej oraz błąd bezwzględny wynoszą odpowiednio:

. Wykres zależności
.

Współczynnik nachylenia prostej z powyższego rysunku, obliczony metodą najmniejszych kwadratów, oraz błąd bezwzględny dla współczynnika nachylenia wynoszą odpowiednio:

5.Wyznaczenie długości między płaszczyznowych.

Wyniki otrzymanych ze wzoru (8) długości między płaszczyznowych wynoszą:

Rachunek jednostek:

Błędy dla powyższych wartości, policzone metodą różniczki zupełnej, to:

6.Wynik końcowy i wnioski.

W ćwiczeniu wyznaczyliśmy dwie wartości odległości między płaszczyznowych dla grafitu:

d₁ = 203,1 pm oraz d₂ = 140,7 pm. Porównując te wartości z wielkościami umieszczonymi na rysunku w instrukcji gdzie podane są wartości d₁ = 142 pm, d₂ = 123 pm uzyskujemy rozbieżności. Głównym czynnikiem powodującym to jest na pewno niepoprawny odczyt kątów, gdyż okręgi nie miały ostrych krawędzi. Regulacja napięcia ogniskującego nie zawsze była skuteczna, bowiem przy mały napięciu okręgi ulegały zanikowi.

Błąd względny jest dosyć duży w pierwszym przypadku ok.40% natomiast w drugim wynosi on ok.14%.

---