WYKŁAD 7
(by elle)
Dystrybuanta rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y przy warunku, że zmienna X=x wyraża się wzorem
Wartość oczekiwana rozkładu warunkowego zmiennej losowej (warunkowa).
Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego
1.
przy założeniu, że
przy założeniu, że
Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego
przy założeniu,
(że jest skończona co do wartości bezwzględnej )
przy założeniu,
(że jest skończona co do wartości bezwzględnej)
Wariancja rozkładu warunkowego
Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego
przy założeniu, że
przy założeniu, że
Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną typu ciągłego
przy założeniu
przy założeniu
Charakterystyki liczbowe (momenty) wielowymiarowej zmiennej liczbowej
momenty zwykłe
Momentem zwykłym rzędu r1+r2 +…+rn (ri
No; i=1,2…n) zmiennej losowej wielowymiarowej (x1,x2,…xn) nazywamy wyrażenie
o ile one istnieje .
Szczególny przypadek m=2 - dwuwymiarowa zmienna losowa
Momentem zwykłym rzędu r +s (r, s
No) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) nazywamy wyrażenie jeżeli ono istnieje
Jeżeli (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną typu losową typu skokowego to
przy założeniu
r, s
N0
Jeżeli (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego to
przy założeniu
UWAGA!!
moment zwykły rzędu r w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej x(r
N)
wartość oczekiwana (przeciętna) zmiennej x
moment zwykły rzędu s w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej typu y
wartość oczekiwana zmiennej losowej y
momenty centralne
Momentem centralnym rzędu r1+r2+…+rn zmiennej losowej (x1,x2,…xn) nazywamy wyrażenie jeżeli ono istnieje
Szczególny przypadek n=2
Momentem centralnym rzędu r+s (r,s
N0) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) nazywamy wyrażenie (jeśli ono istnieje)
Jeżeli (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego, to
przy założeniu , że
r,s
N0
Jeżeli (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego, to
przy założeniu, że
UWAGA!!
wariancja w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej X
wariancja w rozkładzie brzegowym zmiennej Y
Jeżeli dla zmiennej losowej (x1,x2,…xn) dla ustalonych i oraz k , ri=1, rk=1, rj=0 dla j≠i, j≠k to moment centralny rzędu 1+1 nazywamy kowariancją między zmiennymi Xi oraz Xk o zapisujemy
Załóżmy, że istnieją
dla 1≤i, k≤n i ponadto przyjmujemy
wtedy:
UWAGA !!
Macierz kwadratowa jest symetryczna
Wyznacznik macierzy M jest ≥0 (det m ≥0)
Szczególny przypadek dla dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
Tw.
Jeżeli zmienne losowe (X,Y) są niezależne i istnieje E(X,Y) (wartośc oczekiwana) to
Uwaga:
(związek momentu centralnego z momentem zwykłym )
Współczynnik korelacji
Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową .Załóżmy ,że istnieją momenty rzędu 1 i 2
Def.
Współczynnikiem korelacji
między zmiennymi (x, y) nazywamy wyrażenie określone następująco
przy założeniu