ZMIENNA LOSOWA

• Dane jest doświadczenie określone zbiorem zdarzeń elementarnych E.

• Jeśli każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkujemy liczbę rzeczywistą to mówimy, że została określona zmienna losowa jednowymiarowa - słowo jednowymiarowa zwykle się opuszcza;

• Zmienna losowa jest funkcją, której dziedziną jest zbiór zdarzeń elementarnych E, a wartościami liczby rzeczywiste;

• Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami alfabetu łacińskiego X, Y, …;

• Wartości jakie przyjmuje zmienna losowa oznaczamy małymi literami, x, y, …;

• Symbol X=x oznacza zdarzenie losowe będące zbiorem tych zdarzeń elementarnych, którym została przyporządkowana liczba x;

• Symbol a<X<b oznacza zdarzenie będące zbiorem tych zdarzeń losowych elementarnych, którym przyporządkowano liczby większe od a i mniejsze od b;

• Prawdopodobieństwa tych zdarzeń zapisujemy odpowiednio: P(X=x); P(a<X<b).

ZMIENNE LOSOWE SKOKOWE

• Zmienna losową, której zbiór wartości jest skończony lub przeliczalny (tzn. taki, że wszystkie jego elementy można ponumerować), nazywamy zmienną losową skokową.

PRZYKŁAD:

Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie kostką do gry. Każdemu z 36 możliwych wyników doświadczenia (zdarzeń elementarnych) przyporządkujemy liczbę równą sumie oczek uzyskanych w obu rzutach.

***

Dziedziną tak określonej zmiennej losowej są zdarzenia elementarne:

• 1-1;

• 1-2;

• …………

• 6-6.

Wartościami liczby:

• 2;

• 3;

• ………..

• 12.

co ilustruje poniższa tabela:

Wynik II rzutu kostką Wynik I rzutu kostką	1	2	3	4	5	6
zdarzenia: 1 wartości:	1-1 2	1-2 3	1-3 4	1-4 5	1-5 6	1-6 7
zdarzenia: 2 wartości:	2-1 3	2-2 4	2-3 5	2-4 6	2-5 7	2-6 8
zdarzenia: 3 wartości:	3-1 4	3-2 5	3-3 6	3-4 7	3-5 8	3-6 9
zdarzenia: 4 wartości:	4-1 5	4-2 6	4-3 7	4-4 8	4-5 9	4-6 10
zdarzenia: 5 wartości:	5-1 6	5-2 7	5-3 8	5-4 9	5-5 10	5-6 11
zdarzenia : 6 wartości:	6-1 7	6-2 8	6-3 9	6-4 10	6-5 11	6-6 12

****

• Zakładamy, ze zmienna losowa X jest zmienną losową skokową o wartościach: x₁, x_{2, ….,} x_{n, …..}

• Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość x_i nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, i fakt ten zapisujemy w postaci:

P(X=x_i)=p_i

• Dziedzina funkcji prawdopodobieństwa jest skończonym lub przeliczalnym zbiorem liczb rzeczywistych;

• Wartościami funkcji prawdopodobieństwa są liczby rzeczywiste dodatnie;

• Zachodzi ponadto:

- dla dziedziny skończonej;

- dla dziedziny przeliczalnej.

• Zakładając, że wszystkie wyniki doświadczenia (w rozpatrywanym przykładzie) są jednakowo możliwe, tzn. prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń elementarnych jest jednakowe i wynosi
  funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej jest równa:

P(X=2)=P(1-1)=

P(X=3)=P(1-2)+ P(2-1)=

……………………..

P(X=7)=P(1-6)+P(2-5)+P(3-4)+P(4-3)+P(5-2)+P(6-1)=

……………………………

P(X=12)=P(6-6)=

Wartości funkcji prawdopodobieństwa przedstawiono w poniższej tabeli:

xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(X=xi)=pi

• Przy wyznaczaniu wartości funkcji prawdopodobieństwa wykorzystano tę własność, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się parami jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń;

Poniżej przedstawiono wykres funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej:

• Obok funkcji prawdopodobieństwa stosuje się jeszcze inną charakterystykę poszczególnych wartości zmiennej losowej.

• Funkcję tę oznaczamy F(x) i nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej X.

• Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną wzorem:

F(x)=P(X<x)

• Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa P(X=x_i)=p_i

(tzn. zmiennej losowej skokowej) wyraża się wzorem:

gdzie, sumowanie w powyższym wzorze rozciąga się na wszystkie składniki p_i o wskaźnikach i dla których x_i<x.

• Dystrybuanta skokowej zmiennej losowej X jest funkcją przedziałami stałą i w skończonej lub przeliczalnej liczbie punktów, które są wartościami tej zmiennej ma skoki równe prawdopodobieństwom, z którymi zmienna losowa X te wartości przyjmuje;

• Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej X ma następujące własności:

1. F(x) jest funkcją niemalejącą;

2. F(x) jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą:




1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   - prawdopodobieństwo , że zmienna losowa X przyjmie wartość a jest równe skokowi dystrybuanty w tym punkcie;

5. Jeżeli a jest punktem ciągłości dystrybuanty F(x), to P(X=a)=0.

• Każda funkcja spełniająca warunki 1-4 może być dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X.

• Dla omówionej w przykładzie zmiennej losowej X jej dystrybuanta F(x)=P(X<x) przyjmuje wartości jak w tabeli poniżej:

x	x<2	2 x<3	3 x<4	4 x<5	5 x<6	6 x<7	7 x<8
F(x)	0	1/36	3/36	6/36	10/36	15/36	21/36

......

8 x<9	9 x<10	10 x<11	11 x<12	x 12
26/36	30/36	33/36	35/36	36/36=1

• Na rysunku poniżej przedstawiono wykres dystrybuanty zmiennej losowej X:





ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA

• w wielu przypadkach wynikowi doświadczenia przyporządkowana jest dowolna liczbą rzeczywista z określonego przedziału;

• stosowanie wówczas modelu dyskretnego nie będzie należytym odzwierciedleniem rzeczywistości - dlatego wprowadza się pojęcie zmiennej losowej ciągłej;

• Jeśli zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x), która jest funkcją wszędzie ciągłą i jeśli istnieje ciągła pochodna dystrybuanty (z wyjątkiem skończonej liczby punktów), to X nazywamy zmienna losową ciągłą.

• Pochodna dystrybuanty F(x) zmiennej losowej ciągłej X jest nazywana funkcją gęstości tej zmiennej losowej i oznaczana przez f(x), tj.

F'(x)=f(x)

• W przypadku, gdy zadana jest funkcja gęstości zmiennej losowej, to dystrybuanta tej zmiennej losowej wyznaczana jest ze wzoru:

F(x)=


• Z własności dystrybuanty wynika, że dla punktu ciągłości dystrybuanty prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową tej wartości jest równe zero, wnosimy, że ciągła zmienna losowa przyjmuje każdą pojedynczą wartość z prawdopodobieństwem równym zeru (co nie oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe).

• Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmuje wartości z przedziału a, b jest równe:

P(a
X
b)= P(a<X
b) - P(a
X<b)=F(b) - F(a)=


• Funkcja gęstości ma następujące własności:

1. jest funkcja nieujemną, tj.:

f(x)
o

2. jest funkcją ciągłą (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów);

3. 
   

• Każda funkcja, która spełnia warunki 1÷3 może być funkcja gęstości pewnej zmiennej losowej.

PRZYKŁAD:

Wyznaczyć stałą c tak, aby funkcja




była gęstością pewnej zmiennej losowej X.

****

• Z warunku, mamy:




• A zatem

1=
=
=c


skąd otrzymujemy:

c=
.

• na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji gęstości:








PRZYKŁAD:

Zmienna losowa X ma funkcję gęstości, postaci:




Wyznaczyć:

• dystrybuantę zmiennej losowej X;

• prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości z przedziału (1/2, 1);

• prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości większej od 1;

*****

Ad 1.

• Wiemy, że: F(x)=
  

Stąd, dla:

• x
  0, mamy: F(x)=
  ;

• 0 < x < 2, mamy: F(x)=
  ;

• x
  2, mamy: F(x)=
  ;

• wykres dystrybuanty przedstawiono poniżej:





Ad 2: P(
<X <1) = F(1) - F(
) =
-
=


Ad 3: P(X> 1) =
=
=


Pytania kontrolne:

1. Co to jest zmienna losowa

2. Co to jest zmienna losowa skokowa

3. Co to jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej

4. Co to jest dystrybuanta zmiennej losowej

5. Jakim wzorem wyraża się dystrybuanta zmiennej losowej skokowej

6. Podać własności dystrybuanty

7. Co to jest zmienna losowa ciągła

8. Co to jest funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej

9. Podać własności funkcji gęstości

10. Jakim wzorem wyraża się dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej, gdy dana funkcja gęstości

Zadania:

1. Zmienna losowa przyjmuje wartości: x₁=-1; x₂=1; x₃=4 odpowiednio z prawdopodobieństwami: p₁=2/7; p₂=4/7; p₃=a.

Wyznacz a oraz dystrybuantę zmiennej losowej X.

2. Zorganizowano grę. Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jeśli suma oczek jest równa 2 otrzymujemy 10 zł; jeśli 3 - 5 zł, a w pozostałych przypadkach płacimy 1 zł.

Niech X oznacza wygraną. Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X.

PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ

• Zmienna losowa jest całkowicie określona, jeśli znana jest funkcja prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej skokowej lub funkcja gęstości w przypadku zmiennej losowej ciągłej;

• Zmienna losowa jest całkowicie określona również, jeśli znana jest dystrybuanta zmiennej losowej;

• W wielu przypadkach , szczególnie dla celów porównawczych, wygodnie jest charakteryzować rozkład zmiennej losowej przy pomocy wartości pewnych wskaźników, zwanych parametrami rozkładu;

• Charakterystyka rozkładu przez wartości parametrów zawiera mniej informacji o rozkładzie niż znajomość funkcji prawdopodobieństwa (lub gęstości) lub dystrybuanty;

WARTOŚĆ OCZEKIWANA ZMIENNEJ LOSOWEJ

• Wartością oczekiwaną zmiennej losowej skokowej X przyjmującej skończoną liczbę wartości x_1, x_2, x_3, …, x_n odpowiednio z prawdopodobieństwami p₁, p₂, p₃, …, p_n nazywamy liczbę określoną jak poniżej:

EX=


przy czym wymagane jest założenie, że szereg




jest zbieżny.

Jeśli powyższe założenie nie jest spełnione, to zmienna losowa X nie ma wartości oczekiwanej.

• Wartością oczekiwaną ciągłej zmiennej losowej X o funkcji gęstości f(x) nazywamy liczbę określoną jak poniżej:

EX=


przy czym wymagane jest założenie, że całka




jest zbieżna.

Jeśli powyższe założenie nie jest spełnione, to zmienna losowa X nie ma wartości oczekiwanej.

PRZYKŁAD:

Zmienna losowa X przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz ma funkcję prawdopodobieństwa P(X=x_i)=
; i=1, 2, …, 6.

Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X:

EX=
=x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + x₄p₄ + x₅p₅ + x₆p₆ =

= 1
+2
+ 3
+ 4
+ 5
+ 6
= 3,5

PRZYKŁAD:

Zmienna losowa X ciągła ma funkcję gęstości:

f(x)=


Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X:

EX=
=
=
=


Zmienna losowa X nie ma wartości oczekiwanej.

Własności wartości oczekiwanej:

1. wartość oczekiwana stałej jest równa stałej, tj. Eb=b; (b-stała)

2. stałą można wyłączyć przed znak wartości oczekiwanej: E(aX)=a EX;

3. E(aX + b) = a E X + b

4. wartość oczekiwana sumy (różnicy) zmiennych losowych jest równa sumie (różnicy) ich wartości oczekiwanych:

E(X
Y) = E X
EY

5. wartość oczekiwana iloczynu zmiennych losowych niezależnych jest równa iloczynowi ich wartości oczekiwanych:

E(XY) = EX
EY

Momenty zmiennej losowej

• Momentem k-tego rzędu zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej X^k i oznaczamy symbolem m_k, tj.

m_k = E X^k .

• Moment k-tego rzędu zmiennej losowej X wyraża się wzorem:

• m_k =
  - gdy zmienna losowa X ma rozkład skokowy o funkcji prawdopodobieństwa P(X=x_i)=p_i;

• m_k =
  - gdy zmienna losowa X ma rozkład ciągły o funkcji gęstości f(x);

• Momentem centralnym k-tego rzędu zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej (X - m)^k , gdzie m - jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej X i oznaczamy symbolem
  _k, tj.


_k = E(X - m)^k

• Moment centralny k-tego rzędu zmiennej losowej X wyraża się wzorem:

• 
  _k =
  - gdy zmienna losowa X ma rozkład skokowy o funkcji prawdopodobieństwa P(X=x_i)=p_i;

• 
  _k =
  - gdy zmienna losowa X ma rozkład ciągły o funkcji gęstości f(x);

• Warunkiem istnienia k-tego momentu zwykłego lub centralnego jest bezwzględna zbieżność odpowiedniego szeregu lub całki podobnie jak przy określaniu wartości oczekiwanej.

• Szczególne przypadki:

m₁ = EX = m i to jest wartość oczekiwana zmiennej losowej X;


₁ = E(X-m) = 0;

PRZYKŁAD:

Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa, jak w tabeli poniżej:

xi	-2	3	7	11
pi	0.2	0.3	0.1	0.4

Wyznacz:

m₂, m₃


₂,
₃

Wzór na podstawie którego wyznaczamy moment k-tego rzędu ma postać: m_k =


W rozważanym przypadku k=2 oraz 3, przy czym i=1,2,3,4 a więc:

• m₂ =
  =
  +
  +
  +
  =

= (-2)²
0.2 + 3²
0.3 + 7²
0.1 + 11²
0.4 =

= 4
0.2 + 9
0.3 + 49
0.1 + 121
0.4 =

= 0.8 + 2.7 + 4.9 + 48.4 = 56.8

• m₃ =
  =
  +
  +
  +
  =

= (-2)³
0.2 + 3³
0.3 + 7³
0.1 + 11³
0.4 =

= -8
0.2 + 27
0.3 + 343
0.1 + 1331
0.4 =

= -1.6 + 8.1 + 34.3 +532.4 = 573.2

Wzór na podstawie którego wyznaczamy moment centralny k-tego rzędu ma postać:


_k =


• Ze wzoru wynika, że, aby z niego skorzystać należy wyznaczyć m wartość oczekiwaną. Wiemy, że m=m₁, a zatem:

m₁ =


m =
=
+
+
+
=

= (-2)
0.2 + 3
0.3 + 7
0.1 + 11
0.4 =

= -0.4 + 0.9 + 0.7 + 4.4 = 5.6

• W takim razie moment centralny k-tego rzędu:


_k =


przybiera postać:
_k =


• Natomiast
  ₂ wyraża się wzorem:


₂ =


W rozważanym przypadku k=2 oraz 3, przy czym i=1,2,3,4 a więc:


₂ =




= 11.4+2.028+0.196+11.664=25.288

Natomiast
₃ wyraża się wzorem:
₃ =
tj.:


₃ =
=



= -87.552 - 5.2728 + 0.2744 + 62.9856 = -29.5648

PRZYKŁAD:

Zmienna losowa X ma funkcję gęstości:





Wyznaczyć m₁, m₂ oraz
₁,
₂.

• Moment pierwszego rzędu zmiennej losowej ciągłej wyraża się wzorem:

m₁=m=EX=


• Moment drugiego rzędu zmiennej losowej ciągłej wyraża się wzorem:

m₂=EX²=


• Moment centralny pierwszego rzędu zmiennej losowej ciągłej wyraża się wzorem:


₁=


• Moment centralny drugiego rzędu zmiennej losowej ciągłej wyraża się wzorem:

Wiemy, że E(X-m)²= E(X²)-2mEX+m² = EX² - m²;


₂=


PODSTAWOWE ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rozkład dwumianowy

• Powtarzające się i niezależne próby nazywamy próbami Bernoulliego, jeżeli każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki i ich prawdopodobieństwa pozostają te same przez cały czas prób.

• Oznaczamy te prawdopodobieństwa przez p i q. Wyniki o prawdopodobieństwie p nazywamy sukcesem S, a drugi wynik - porażką oznaczamy przez P.

• Oczywiście liczby p i q muszą być nieujemne oraz

p+q=1

• Przestrzeń wyników każdego indywidualnego doświadczenia składa się z dwóch punktów S i P.

• Przestrzeń wyników n doświadczeń Bernoulliego zawiera 2ⁿ punktów odpowiadającym 2ⁿ ciągom o długości n zawierającym symbole S i P, przy czym każdy punkt przedstawia jeden możliwy wynik doświadczenia złożonego.

• Ponieważ próby są niezależne, więc prawdopodobieństwo uzyskania konkretnego ciągu jest iloczynem otrzymanym przez podstawienie zamiast symboli S i P odpowiednio p i q; np.:




• Często interesuje nas tylko ogólna ilość sukcesów osiągniętych w ciągu n prób Bernoulliego, a nie ich kolejność. Ilość ta może wynosić 0, 1, 2, …, n.

• Zdarzenie: „n prób dało w wyniku k sukcesów i n-k porażek” może zajść na tyle rozmaitych sposobów, ile jest sposobów ustawienia k liter S na n miejscach,

• zdarzenie to składa się z
  zdarzeń elementarnych.

• Z poprzedniego wynika, że prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego, zawierającego k sukcesów, jest równe
  .

• Zmienna losowa X, której funkcja prawdopodobieństwa wyraża się wzorem




ma rozkład dwumianowy.

Przykład

Rzucamy ośmiokrotnie kostką do gry. Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w żadnym z rzutów nie pojawi się 5 oczek.

• Zmienna losowa X może przyjmować wartości 0, 1, 2, …, 8 równe liczbie uzyskanych 5-tek przy ośmiokrotnym rzucie kostką.

• Prawdopodobieństwo sukcesu, tzn. uzyskania 5 oczek w jednym rzucie
  ;

• Prawdopodobieństwo porażki, tzn. uzyskania liczby oczek różnej od 5 w jednym rzucie
  ;

• Interesuje nas zdarzenie uzyskania zera sukcesów w ośmiu niezależnych próbach




• Wartości funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X podlegającej rozkładowi dwumianowemu dla n=8 przedstawia tabela i rysunek .

Tabela

X=k
0	0,232568
1	0,372109
2	0,260476
3	0,10419
4	0,026048
5	0,025038
6	0,000419
7	0,0000239
8	0,000000595





Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej podlegającej rozkładowi dwumianowemu, dla n=8

• Zmienna losowa X podlegająca rozkładowi dwumianowemu ma:

• Wartość oczekiwaną




• Wariancję




Rozkład Poissona

• Zmienna losowa X ma rozkład Poissona, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa wyraża się wzorem




gdzie


• Przykładową funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X podlegającej rozkładowi Poissona dla
  przedstawia poniższy rysunek:





Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej podlegającej rozkładowi Poissona dla


• Rozkład Poissona ma istotne znaczenie praktyczne z dwóch względów.

• Po pierwsze okazało się, że wiele zjawisk fizycznych jak np. rozpad radioaktywny, trafienia Londynu przez bomby latające, błędne połączenia telefoniczne itp. ma rozkład identyczny z rozkładem Poissona.

• Po drugie może on w pewnych warunkach stanowić przybliżenie rozkładu dwumianowego, mianowicie jeśli n osiąga duże wartości i p małe, to




gdzie


• Na rys. powyżej przedstawiono wartości funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego przy
  oraz
  .

• Dla rozkładu Poissona przy
  , co jest równe w dużym przybliżeniu
  .

• Zmienna losowa X podlegająca rozkładowi Poissona ma:

• Wartość oczekiwaną




• Wariancję




Rozkład Poissona jest tablicowany dla różnych wartości parametru
.

Przykład

Fabryka w M, ma 1,5% braków i nie ma kontroli technicznej. Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w pudełku zawierającym 200 śrub dwie będą niedobre.

• Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie niedobrych śrub wśród 200 sztuk. Należy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia X=2. Ponieważ X podlega rozkładowi dwumianowemu o parametrze p=0,015, więc




• Wartość tego wyrażenia można obliczyć stosując przybliżenie Poissona dla
  oraz
  




Rozkład normalny

• Wśród rozkładów ciągłych najważniejszą rolę, ze względu na szerokie zastosowania, odgrywa rozkład normalny, zwany inaczej rozkład Gaussa.

• Zmienna losowa ciągła X podlega rozkładowi normalnemu, jeśli jej funkcja gęstości da się przedstawić w postaci




• Dystrybuantę zmiennej losowej o rozkładzie normalnym oznaczamy
  , zatem:




Zmienna losowa X podlegająca rozkładowi normalnemu ma:

• Wartość oczekiwaną




• Wariancję




• Rozkład normalny z wartością oczekiwaną m i odchyleniem standardowym σ oznaczamy
  .

• Rozkład normalny, tzn. jego funkcja gęstości i dystrybuanta dla
  i
  są stablicowane.

Przykład

Zmienna losowa X podlega rozkładowi
, tzn. o wartości oczekiwanej i odchyleniu standardowym 5.

Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia
.

• Skorzystamy z właściwości, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i wariancję σ², to zmienna losowa Z taka że:




ma wartość oczekiwaną zero i wariancję jeden.

Zatem


Ponieważ tablice dystrybuanty rozkładu normalnego podane są dla
, zachodzi potrzeba korzystania z zależności:




• Wpływ odchylenia standardowego na wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego ilustruje rysunek poniżej





Funkcja gęstości rozkładu normalnego



Dystrybuanta rozkładu N(0, 1)

W oparciu o dane z tablic można stwierdzić, że:




• Widać, że z prawdopodobieństwem praktycznie równym jedności zmienna losowa o rozkładzie normalnym przyjmuje wartości nie różniące się od wartości oczekiwanej więcej niż o 3σ.

Rozkład wykładniczy

• Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem




przy
.

Zmienna losowa X podlegająca rozkładowi wykładniczemu ma:

• Wartość oczekiwaną




• Wariancję




Rysunek przedstawia wykres funkcji gęstości dla rozkładu wykładniczego.





Funkcja gęstości rozkładu wykładniczego

Przykład

Zmienna losowa X podlega rozkładowi wykładniczemu. Wyznaczyć dla jakiej wartości parametru a prawdopodobieństwo zdarzenia, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od jedności, wynosi 0,5




Stąd




Rozkład Równomierny

• Zmienna losowa ma rozkład równomierny, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem




Zmienna losowa X podlegająca rozkładowi równomiernemu ma:

• Wartość oczekiwaną




• Wariancję




Rysunek poniżej przedstawia wykres funkcji gęstości zmiennej losowej podlegającej rozkładowi równomiernemu:





Funkcja gęstości rozkładu równomiernego

Rozkład χ² (chi - kwadrat)

• Jeśli zmienne losowa
  są niezależnymi zmiennymi losowymi i każda z nich podlega rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej zero i odchyleniu standardowym równemu jeden, to zmienna losowa
  podlega rozkładowi
  o n stopniach swobody.

• Rozkład
  jest stablicowany. W tablicy rozkładu
  , dla
  stopni swobody oraz wybranych wartości
  umieszczono liczby
  takie, że:
  -------------

co ilustruje rysunek poniżej .





Funkcja gęstości rozkładu f(χ²)

Zmienna losowa X podlegająca rozkładowi
o n stopniach swobody ma:

• Wartość oczekiwaną




• Wariancję




Jeśli liczba stopni swobody jest większa od 30, to zmienna losowa


ma w przybliżeniu rozkład normalny o wartości oczekiwanej
i odchyleniu standardowym
.

Przykład

Wyznaczyć prawdopodobieństwo, ze zmienna losowa
, podlegająca rozkładowi
o siedmiu stopniach swobody, przyjmie wartości z przedziału
.








Rozwiązanie ilustruje rozwiązanie przykładu 5

Rezultat jest przybliżony, ponieważ ani dokładnie 2,8 ani dokładnie 12 nie występują w siódmym wierszu tablicy rozkładu
.

Rozkład t- Studenta

Jeśli zmienne losowe X i Y_n są zmiennymi losowymi niezależnymi:

X o rozkładzie
, zaś Y_n o rozkładzie
o n stopniach swobody, to zmienna losowa




ma rozkład T - Studenta o n stopniach swobody.

Rozkład T - Studenta jest stablicowany. W tablicy rozkładu t - Studenta dla
stopni swobody i wybranych wartości
umieszczono liczby
takie, że:


Co ilustruje rysunek 9.





Funkcja gęstości rozkładu T - Studenta

Jeśli liczba stopni swobody dąży do nieskończoności, rozkład t - Studenta można przybliżyć rozkładem
.

PYTANIA KONTROLNE

1. Jakie próby nazywam próbami Bernoulliego?

2. Jakim wzorem wyraża się prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wypadnięciu k sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego?

3. Co to znaczy, że zmienna losowa ma rozkład dwumianowy?

4. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej podlegającej rozkładowi dwumianowemu?

5. Jakim wzorem wyraża się funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie Poissona?

6. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej podlegającej rozkładowi Poissona?

7. Co to znaczy, że zmienna losowa ma rozkład normalny?

8. Zmienna losowa X ma rozkład
   . Jak przekształcić te zmienną, by otrzymać zmienną losową Z o rozkładzie
   ?

9. Jaki wpływ ma wariancja rozkładu normalnego na kształt funkcji gęstości zmiennej losowej?

10. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że zmienna losowa podlegająca rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej m i wariancji σ² przyjmie wartości z przedziału (-3σ; 3σ)?

11. Co to znaczy, że zmienna losowa ma rozkład wykładniczy?

12. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej podlegającej rozkładowi wykładniczemu?

13. Co to znaczy, że zmienna losowa ma rozkład równomierny?

14. Jak jest wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej podlegającej rozkładowi równomiernemu?

15. Co to jest ilość stopni swobody rozkładu
    ?

16. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej podlegającej rozkładowi
    o n stopniach swobody?

17. Co można odczytać z tablic rozkładu
    ?

18. Jak określamy rozkład t - Studenta o n stopniach swobody?

19. Co można odczytać z tablic rozkładu t - Studenta?

ZADANIA

1. W hali pracuje 5 maszyn. Prawdopodobieństwo zepsucia się każdej z tych maszyn jest równe
   . Maszyny psują się niezależnie od siebie. Obliczyć prawdopodobieństwo, ze:

1. zepsują się 2 maszyny;

2. zepsuje się 1 maszyna;

3. nie zepsuje się żadna maszyna;

4. zepsuje się co najmniej 1 maszyna;

5. zepsuje się więcej niż 1 maszyna;

6. zepsuje się co najwyżej 1 maszyna.

2. Prawdopodobieństwo co najmniej jednego pojawienia się sukcesu przy czterech niezależnych doświadczeniach jest równe 0,59. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia się sukcesu w jednym doświadczeniu?

3. Aparatura radiowa składa się z 1000 elementów elektrycznych. Prawdopodobieństwo zepsucia się jednego elementu w ciągu roku pracy jest równe 0,001 i nie zależy od stanu pozostałych elementów. Jakie jest prawdopodobieństwo:

1. zepsucia się dwóch elementów?

2. zepsucia się nie mniej niż dwóch elementów?

4. Wśród ziaren pszenicy znajduje się 0,6% ziaren chwastów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1000 wybranych losowo ziaren znajdują się:

1. co najmniej 3 ziarna chwastów?

2. dokładnie 3 ziarna chwastów?

3. dokładnie 6 ziaren chwastów?

4. co najwyżej 3 ziarna chwastów?

15

1/36

6/36

P(X=x_i)=p_i

x_i

2

7

12

1

2

3

12

1/36

7

8

21/36

F(x)

x

1

2

x

f(x)

F(x)

x

1

2

1

X

P(X=k)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,1

0,2

0,3

0,4

P(X=k)

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,1

0,2

0,3

0,4

odpowiednie wartości dla rozkładu dwumianowego n=8,


1,0

1,5

0,5

X

-3

-2

-1

3

2

1

0

f(x)

σ=0,25

σ=0,50

σ=1,0

0,9986

0,9772

0,8413

1,0

0,5

X

-3

-2

-1

3

2

1

0

1

2

3

4

a=1,0

a=0,1

f(x)

X

0

0,5

1,0

0

m

b




a

f(x)

X




y_α

f(y)

^y

α

y

12

f(y)

y

2,8







t

-t_α

0

f(t)

t_α







---