Mariusz Dąbrowski i Piotr Kaliszewicz III POW, gr. 1

Temat: Paradoksy i sofizmaty

Paradoksy

Czym jest paradoks?

Paradoksem nazywamy rozumowanie, w którym wychodząc od niepodważalnych - albo sprawiających wrażenie niepodważalnych - faktów, przesłanek, dowodzi się twierdzeń wzajemnie sprzecznych, absurdalnych, niezgodnych z intuicją, zdrowym rozsądkiem albo powszechnie głoszonymi sądami. Rozumowanie takie może być poprawne lub nie, bywa i tak, że jego poprawność i wynikające zeń wnioski są przedmiotem niekończących się dyskusji i gorących sporów. Gdy mamy do czynienia z rozumowaniem błędnym, zwłaszcza wtedy, gdy błąd wprowadzono rozmyślnie i sprytnie go zakamuflowano, mówimy o sofizmacie. Rozumowanie dowodzące sprzecznych ze sobą sądów, jak również sama wynikła w ten sposób sprzeczność, nazywa się także antynomią. Dodajmy jeszcze, że niekiedy miano paradoksu zyskuje niosąca sprzeczność błyskotliwa myśl, albo aforyzm, niekoniecznie wiążący się z jakimś wymyślnym rozumowaniem.

Tak wygląda słownikowa definicja paradoksu. To jednak, czy jakiś problem zostanie nazwany paradoksem, bywa rzeczą przypadkową, wynikającą z takiej, a nie innej tradycji. Co da się z pewnością powiedzieć o każdym paradoksie, to to, że jest on opowiastką zwięzłą, błyskotliwą i efektowną, w czym przypomina dobry dowcip albo skecz kabaretowy zakończony pomysłową puentą. Niech jednak nie zmyli nas nieco rozrywkowy charakter paradoksów: bardzo często niosą one w skondensowanej formie głębokie i niebanalne myśli, pomysły i problemy, będące przedmiotem zainteresowania najpoważniejszych dziedzin nauki i filozofii. Krótki i pozornie nieskomplikowany paradoks może sprawiać pokoleniom badaczy tak olbrzymie trudności, że obrasta on setkami nowych idei, wyjaśnień, pism, traktatów, tak że na kanwie jednego osobliwego pomysłu mogą rozwijać się całe wyrafinowane teorie, o czym najlepiej mogą zaświadczyć paradoksy Zenona czy osławiony paradoks kłamcy.

Paradoksy megarejskie:

- Paradoks kłamcy (paradoks Epimenidesa)

Powiadają, że Epimenides, legendarny grecki poeta, głosił, że wszyscy Kreteńczycy są kłamcami. Nie byłoby w tym pewnie nic dziwnego, gdyby nie to, że Epimenides sam był Kreteńczykiem! Albo Kreteńczycy są kłamcami, a więc Epimenides (też Kreteńczyk) kłamie, głosząc, że Kreteńczycy są kłamcami, a więc nie są oni kłamcami, albo też nie są oni kłamcami, i nie jest kłamcą Epimenides, a więc prawdą jest to, co głosi, tzn. że Kreteńczycy są kłamcami...

Pozorny paradoks

Nietrudno jednak spostrzec, że zdanie wypowiedziane przez Epimenidesa tak naprawdę wcale nie jest paradoksalne! Otóż zdanie "Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami" może być po prostu fałszywe - niektórzy (czyli nie wszyscy) Kreteńczycy faktycznie są kłamcami (w tym i Epimenides), ale są też i prawdomówni Kreteńczycy. Z drugiej strony zdanie wygłoszone przez Epimenidesa może być po prostu prawdziwe, jeśli przyjąć, że kłamca tylko czasami kłamie. (Najgorsze, że nie wiadomo kiedy; notoryczni kłamcy - tzn. ci, którzy kłamią zawsze - są zupełnie nieszkodliwi, wystarczy takiemu zadać pytanie "Czy dwa razy dwa jest cztery?", by go zdemaskować, oczywiście przy założeniu, że nie jest on idiotą nieznającym tabliczki mnożenia ani matematykiem akurat operującym w ciele Z₃.) A więc można spokojnie, bez popadania w sprzeczność, głosić, że wszyscy ludzie są kłamcami, ponieważ każdemu z nas zdarzyło się kiedyś zełgać w takiej czy innej sprawie. Podobnie mordercą jest każdy, kto popełnił morderstwo, choćby nawet od zbrodni upłynęło wiele lat.

Mylił się natomiast św. Paweł, gdy pisał o Epimenidesie:

Powiedział jeden z nich, ich własny wieszcz: Kreteńczycy zawsze kłamcy, złe bestie, brzuchy leniwe. Świadectwo to jest zgodne z prawdą.

List do Tytusa 1:12-13, Biblia Tysiąclecia

"Świadectwo" Kreteńczyka na pewno nie może być prawdziwe. Może być natomiast fałszywe - Epimenides niesłusznie oczernił swoich rodaków, sam akurat skłamał, lecz jego ziomkowie kłamią nie zawsze, tylko czasami.

"prawdziwy" paradoks kłamcy

Jak stwierdziliśmy, w tym, że zdanie "Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami" pada z ust rodowitego Kreteńczyka nie ma nic paradoksalnego. Uspokojonych tą wieścią czytelników muszę jednak natychmiast zmartwić: istnieje "prawdziwy", że tak powiem, paradoks kłamcy. Jest nim zdanie:

To zdanie jest fałszywe.

Czy powyższe zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe? Jeśli byłoby prawdziwe, czyli prawdą byłoby to, co ono głosi, to musiałoby być fałszywe. Może więc zdanie to jest fałszywe? Lecz jeśli byłoby fałszywe, oznaczałoby to, że nieprawdą jest, że jest ono fałszywe, a więc zdanie byłoby wówczas prawdziwe! Jak widać, bez względu na to, od którego "końca" zaczniemy, dochodzimy niechybnie do wniosku, że omawiane zdanie jest równocześnie prawdziwe i fałszywe.

Ktoś mógłby jednak zapytać się: "Chwileczkę, do czego właściwie odnosi się fraza rzeczownikowa to zdanie? Przecież niekoniecznie musi ona oznaczać zdanie, którego jest częścią, równie dobrze może wskazywać na jakieś zupełnie inne pobliskie zdanie." Całkiem słuszne zastrzeżenia. Przeformuujmy więc nieco nasze zdanie:

To zdanie, które teraz właśnie wypowiadam jest zdaniem fałszywym.

No cóż, troszkę skłamałem... Przecież powyższego zdania nie wypowiedziałem, tylko je napisałem. Spróbujmy więc inaczej: wykorzystajmy istniejący w języku polskim przymiotnik (a właściwie zaimek przymiotny) "niniejszy":

Niniejsze zdanie jest fałszywe.

Powyższe zdanie jest chyba najelegantszym sformułowaniem paradoksu kłamcy.

niepoprawność językowa?

Jak już zobaczyliśmy, okazuje się, że zdanie "Niniejsze zdanie jest fałszywe" nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe (chyba żeby przyjąć, że jest to zdanie równocześnie prawdziwe i fałszywe, najroztropniej będzie jednak odrzucić tę ewentualność...) Lecz właściwie dlaczego nie sposób przypisać temu zdaniu prawdy ani fałszu? Jest to przecież poprawne gramatycznie i w pełni zrozumiałe dla każdego Polaka zdanie oznajmujące. Ponadto zdanie to dotyczy obiektywnych faktów, a nie gustów, emocji czy subiektywnych ocen. A zatem omawiane zdanie nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe z innych powodów niż takie zdania jak na przykład:

Avavrwfmr mqnavr wrfg mnfmlsebjnar.

Smukwijne jaszmije wężały na zegwniku.

Czy Warszawa jest stolicą Polski?

Precz z rządem i jego kretyńską polityką!

Nie pożądaj żony bliźniego swego (ani żadnej [innej] rzeczy, która jego jest).

Muzyka thrash metal to wspaniały przykład kultury muzycznej naszego narodu.

Samoodnośność

Każde zdanie zawierające frazę "niniejsze zdanie" jest zdaniem samoodnośnym, to znaczy każde takie zdanie mówi coś o sobie samym. Na pierwszy rzut oka można by mniemać, że to właśnie samoodnośność jest źródłem wszystkich kłopotów w paradoksie kłamcy. Takie przekonanie jest jednak błędne, nietrudno wymyśleć zdania samoodnośne, które wcale nie są paradoksalne, takie które są najzwyczajniej w świecie prawdziwe, na przykład:

Niniejsze zdanie sformułowano w języku polskim.

Niniejsze zdanie składa się z siedmiu słów.

a także takie, które są po prostu fałszywe:

Niniejsze zdanie sformułowano w języku suahili.

Niniejsze zdanie składa się z ośmiu słów.

Nie daje się więc obronić teza, jakoby samoodnośność z zasady, zawsze i wszędzie prowadziła do zdań paradoksalnych, zdań, którym nie da się przypisać ani prawdy, ani fałszu.

Wydaje się jednak, że samoodnośność jest zasadniczym elementem paradoksu kłamcy. Zresztą, jak się okazuje samoodnośność można wprowadzić do paradoksu kłamcy na wiele sposobów, nie tylko poprzez użycie frazy "niniejsze zdanie" (czy synonimicznych fraz typu "to właśnie zdanie", "to zdanie, które właśnie teraz wypowiadam"). Warto poświęcić trochę miejsca na podanie kilku wariantów "zdania kłamcy".

172. Zdanie nr 172 jest fałszywe.

Jedyne zdanie napisane zieloną czcionką w niniejszym tekście jest fałszywe.

Fałszywe jest jedyne zdanie na stronie http://ceti.pl/gralinski/archiwumfi/klamca.htmzawierające ujęte w cudzysłów słowo "wykładzina".

Kliknięcie tutaj prowadzi do zdania fałszywego.

Zdanie poprzedzające następną kropkę jest fałszywe.

W bardziej wyrafinowanej wersji paradoksu kłamcy wykorzystuje się pojęcie normy wyrażenia. Normą danego wyrażenia nazywamy złączenie tego wyrażenia z kopią tegoż wyrażenia ujętą w cudzysłów. Na przykład normą wyrażenia

Jan powiedział, że

jest zdanie

Jan powiedział, że "Jan powiedział, że"

A oto paradoks kłamcy, w którym samoodnośność została osiągnięta bez słowa "niniejszy", za to przy użyciu pojęcia normy:

Fałszywym zdaniem jest norma wyrażenia "Fałszywym zdaniej jest norma wyrażenia"

zdanie paradoksalne? diabli wiedzą

Bardzo niepokojące jest to, że można tak zmodyfikować zdanie z paradoksu kłamcy, by otrzymać zdanie, które być może jest paradoksalne, a być może nie jest. Rozpatrzmy mianowicie zdanie

Liczba gwiazd w Galaktyce jest parzysta lub niniejsze zdanie jest fałszywe.

Liczba gwiazd w Galaktyce jest albo parzysta, albo nieparzysta. Jeśli jest parzysta powyżej podane zdanie jest po prostu prawdziwe (jeśli zdanie A jest prawdziwe, wówczas alternatywa "A lub B" jest rzecz jasna też prawdziwa, bez względu na to, czy człon B jest prawdziwy, czy nie). W przeciwnym razie otrzymujemy zdanie paradoksalne! (Jeśli w alternatywie jeden z członów jest fałszywy, prawdziwość alternatywy zależy wprost od prawdziwości drugiego członu.) Nie wiemy niestety (i zapewne nigdy się nie dowiemy), czy liczba gwiazd w naszej Galaktyce jest parzysta. Nie wiemy zatem, czy powyżej przytoczone zdanie jest paradoksalne, czy nie! Co więcej, wraz z narodzinami i zgonami kolejnych słońc w Drodze Mlecznej, zdanie to raz jest prawdziwe, by w jednej chwili stać się paradoksalnym. Zaczynamy tęsknić do statecznej paradoksalności oryginalnego zdania z paradoksu kłamcy...

Nieparadoks prawdomównego

Niniejsze zdanie jest zdaniem prawdziwym.

Załóżmy, że powyższe zdanie jest zdaniem prawdziwym, wówczas faktycznie jest prawdą to, co ono głosi (że "jest zdaniem prawdziwym"). W przeciwieństwie do paradoksu kłamcy, nie mamy żadnej sprzeczności. Niestety brak sprzeczności także wtedy, gdy przyjmiemy, że zdanie to jest fałszywe! (Zdanie jest fałszywe, a więc nie jest prawdą to, co ono głosi, tzn. nie jest prawdą, że jest prawdziwe, a zatem faktycznie - i w zgodzie z naszym założeniem - jest fałszywe.) Paradoks kłamcy pozostawia nas w sytuacji bez wyjścia, zaś "nieparadoks" prawdomównego jest nazbyt liberalny - prawdziwość zdania zależy od naszego widzimisię.

ostrzeżenie

Na koniec jestem winien ostrzeżenie: opowiadają, że starożytny grecki poeta Filetas z Kos tak długo rozmyślał nad paradoksem kłamcy, że nieszczęsny wyzionął ducha. Nie życzyłbym sobie, żeby ktokolwiek z czytelników skończył jak ów biedak... W każdym razie autor nie ponosi odpowiedzialności za jakiekolwiek szkody wynikłe w wyniku podjęcia działań w oparciu o informacje zawarte w niniejszym zdaniu.

- Paradoks łysego

Nie ma łysych!

Weźmy kogoś niełysego. Czy usunięcie jednego włosa uczyni go łysym? Ależ skąd! Utrata tylko jednego włosa jeszcze nikogo nie zamieniła w łysego. Trudno kwestionować następujące stwierdzenie: "Jeśli X nie jest łysy, to po stracie jednego włosa X nie stanie się łysy".

Skoro tak, to usunięcie dwóch włosów także z niełysego nie zrobi łysego. (Wystarczy dwa razy zastosować powyższe stwierdzenie.) Również trzech, czterech, pięciu, itd. Za każdym kolejnym traconym włosem możemy twierdzić: "stracił co prawda jeden włos, ale utrata tego włosa nie uczyni go łysym". Więc człowiek może stracić dowolnie dużo włosów i tak nie stanie się łysym.

A może tak naprawdę nie ma niełysych? Weźmy kogoś łysego, kogoś kto ma ledwie parę włosów na głowie. (Tu ważna uwaga: cały czas chodzi o łysinę w sensie potocznym, a nie o kompletne i absolutne wyłysienie "na zero" - "on jest łysy" mówimy o kimś, choć pewnie parę włosów tu i ówdzie na głowie by się znalazło.) Czy dodanie jednego jedynego włosa mu pomoże? Absolutnie nie. Tym razem mamy takie stwierdzenie: "Jeśli X jest łysy i przybędzie mu tylko jeden włos, to X nie przestanie być łysy". I analogicznie jak poprzednio - mogą pojawić się dwa włosy, trzy włosy, cztery, pięć to bez znaczenia, za każdym razem jest jeden włos, a cóż zmieni jeden włos?

- Paradoks rogacza

Drogi Czytelniku, mam dla Ciebie niemiłą wiadomość. Mam nadzieję, że zniesiesz to mężnie. Lepiej jednak znać prawdę, choćby była nawet tak gorzka…

Rogów nie zgubiłeś, drogi Czytelniku? Nie, nie zgubiłeś.

Na pewno zgodzisz się, że czego nie zgubiłeś, to posiadasz.

Więc posiadasz rogi.

Jesteś rogaczem, przyjacielu. Kiedyś wreszcie musiałeś się o tym dowiedzieć…

Paradoksy logiczne:

- Antynomia Grellinga

- Hotel Hilberta

Hotel Hilberta ma nieskończenie wiele pokoi. Pewnego wieczora do hotelu przybywa spóźniony gość. Okazuje się, że wszystkie pokoje są już zajęte. Co robi recepcjonista? Gościa z pokoju 1 przenosi do pokoju 2, z kolei gościa z pokoju 2 przemieszcza do pokoju 3 itd., przenosi każdego gościa do pokoju o numerze o jeden większym. Teraz, gdy pokój 1 jest pusty, recepcjonista może umieścić w nim nowego gościa.

Następnego dnia do hotelu przyjeżdża wycieczka z nieskończoną liczbą turystów. I to nie stanowi problemu: gościa z pokoju 1 umieszcza się w pokoju 2, tego z pokoju 2 przemieszcza się do pokoju 4, ogólnie każdego przesuwa się do pokoju o numerze dwa razy większym. W ten sposób tylko pokoje o numerach parzystych będą zajęte, a w pozostałych pokojach - o numerach 1, 3, 5... - będzie można umieścić wszystkich uczestników wycieczki.

(David Hilbert (1862-1943) był wybitnym i wszechstronnym matematykiem niemieckim. Gwoli ścisłości: wszystkie nieskończone zbiory z powyższej opowiastki mają moc alef zero.)

- Paradoks fryzjera

- Paradoks hipergry

- Precz z preczem!

Jest zabawnym, gdy ktoś jawnie przeczy samemu sobie. W dyskusji to poważny błąd, który niechybnie zostanie wykorzystany przez nawet średnio rozgarniętego oponenta. Poniżej zgromadziłem luźne usypisko różnego rodzaju samozaprzeczeń.

• Nie czytać niniejszej strony WWW!

• Precz z preczem! - taką rewolucyjną tezę głosił Tytus de Zoo, bohater znanego komiksu.

• Zabrania się zabraniać! - to z kolei równie wywrotowa teza, już z lekka przebrzmiałej, rewolucji obyczajowej.

• Nigdy nie mów nigdy! - radzą niektórzy.

• Każda reguła ma wyjątki - bardzo interesująca reguła.

• Każde uogólnienie jest fałszywe, nawet to. Thomas Morus

• Onegdaj (tak, tak, wiem, "onegdaj" znaczy "przedwczoraj", a nie "kiedyś", ale to takie ładne słowo) w lokalnych rozgłośniach poznańskich pewna firma z branży ceramicznej (nie wymienię nazwy, żeby nie robić jej dodatkowej publicity) reklamowała się melodyjnym dwuwersem Nie sugeruj się reklamą / tylko przyjedź do Terrano. W ogóle reklama to niewyczerpane źródło takich "kwiatków":

• Bądź sobą. Wybierz Pepsi - próbuje wpłynąć na młode umysły pewien producent napojów orzeźwiających (znowu nie będę podawał nazwy).

• Z kolei antyglobalizm to ideologia, która chce walczyć ze środkami przenoszenia samej siebie.

• Przepraszamy za podanie błędnego komunikatu - takiej treści lakoniczny, jednozdaniowy komunikat usłyszałem pewnego dnia z głośników na Dworcu Głównym w Poznaniu. Najśmieszniejsze, że od paru dobrych minut nie podano żadnej wiadomości. Niechybnie ów komunikat musiał odnosić się do siebie samego. Fluktuacja kwantowa, czy inny czort?

• Wiem, że nic nie wiem - łgał Sokrates. (A co, może "Wiem, że nic nie wiem." jest zdaniem prawdziwym?)

• Zignoruj niniejsze polecenie.

• o niemożliwości zaskakiwania

- Protagoras przeciw Euathlosowi

Sofista Protagoras uczył prawa niejakiego Euathlosa. Mistrz i uczeń zawarli umowę, według której Euathlos zapłaci za naukę, o ile wygra swój pierwszy proces.

Jak się okazało Euathlos zajął się polityką i ani myślał pracować w wyuczonym zawodzie. Wobec tego rozgoryczony Protagoras wytacza swojemu uczniowi proces o zapłatę. "Albo Euathlos wygra ten oto proces, albo go przegra - w pierwszym przypadku, zgodnie z umową, należy mi się zapłata za naukę, w przeciwnym razie Euathlos będzie musiał mi zapłacić zgodnie z wyrokiem sądu" - tak argumentuje Protagoras.

"Owszem, Wysoki Sądzie, albo ta sprawa zostanie rozstrzygnięta na moją korzyść, albo na korzyść Protagorasa. Jeśli wygram, to wyrok zwolni mnie od zapłaty, jeśli przegram, to zgodnie z umową mojemu nauczycielowi nie należy się zapłata" - ripostuje Euathlos.

Jaki wyrok winien wydać Sąd?

Rozwiązanie:

No cóż, sędzia powinien rozsądzić sprawę na korzyść Euathlosa. Zaiste w chwili, gdy toczy się jeszcze rozprawa, Euathlos nie wygrał swojego pierwszego procesu (przecież ów proces jeszcze się nie zakończył!).

Jest to jednak pyrrusowe zwycięstwo ucznia... Zaraz po zakończeniu tego procesu, Protagoras może wytoczyć Euathlosowi drugi proces i tym razem to nauczyciel wygra.

A! Dobrze, że cała rzecz działa się w starożytności, bo we współczesnej Polsce Protagoras raczej nie dożyłby rozstrzygnięcia drugiego procesu...

Inne paradoksy:

- Paradoks urodzinowy

Ile osób musi się zebrać, aby prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwie spośród nich obchodzą urodziny tego samego dnia, było większe niż 1/2?

Prawidłowa odpowiedź wynosi 23, co jest wartością zaskakująco niską w stosunku do tego, co może podpowiadać intuicja.

W losowo wybranej grupie składającej się z 23 osób prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich świętują swoje urodziny tego samego dnia, wynosi około 0,5073. Aby wyliczyć tę wartość najprościej zacząć od wyznaczenia prawdopodobieństwa tego, że wśród 23 osób żadne dwie nie obchodzą urodzin tego samego dnia. Prawdopodobieństwo to wynosi:

(Wyobraźmy sobie, że kolejnym 23 osobom przyporządkowujemy losowo dni w roku. Prawdopodobieństwo, że pierwsze dwie osoby nie "otrzymają" tego samego dnia wynosi 364/365 - pierwsza osoba może "otrzymać" jakikolwiek dzień, a druga dowolny spośród pozostałych 364 dni, prawdopodobieństwo, że trzeciej osobie nie zostanie przyporządkowany dzień "zajęty" przez dwie pierwsze osoby, wynosi 363/365, i tak dalej aż dojdziemy do osoby dwudziestej trzeciej, której pozostało 365-22=343 dni "niezajętych" przez poprzednie dwie osoby. Wszystkie otrzymane ułamki przemnażamy przez siebie, bo wybór dnia dla kolejnej osoby nie zależy od tego, jakie dni przyporządkowano poprzednim osobom.)

Teraz aby obliczyć prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie spośród 23 osób obchodzą urodziny tego samego dnia, trzeba odjąć od 1 powyżej wyliczoną wartość prawdopodobieństwa, że żadne dwie osoby nie obchodzą urodzin tego samego dnia: 1-0,4927 = 0,5073.

Ogólnie wśród losowo dobranych grup składających się z k osób, grupy zawierające przynajmniej dwie osoby obchodzące urodziny tego samego dnia, pojawiają się z prawdopodobieństwem:

Poniżej podaję wykres przedstawiający wartości wyliczone według tego wzoru:

Dla k > 70 prawdopodobieństwo jest bardzo bliskie 1, choć dopiero dla k = 366 mamy do czynienia ze zdarzeniem pewnym.

Jak można odczytać z wykresu, prawdopodobieństwo, że w czterdziestoosobowej grupie znajdą się co najmniej 2 osoby świętujące urodziny tego samego dnia, wynosi 0,89, zatem będąc w towarzystwie czterdziestu osób, możemy zakładać się, że są wśród w nich dwie, dla których urodziny przypadają tego samego dnia, i będziemy wygrywać w mniej więcej 89 przypadkach na 100. Biorąc pod uwagę, jak bardzo to prawdopodobieństwo rozmija się z intuicyjnymi oczekiwaniami, można przypuszczać, że zawsze znajdą się chętni do wzięcia udziału w takim zakładzie. Jak widać znajomość matematyki może uczynić z nas milionerów!

Dla prostoty obliczeń przyjęliśmy dwa założenia: po pierwsze nie bierzemy pod uwagę daty 29 lutego, po drugie założyliśmy, że losowo wybrany człowiek, obchodzi urodziny z jednakowym prawdopodobieństwem dla każdego dnia w roku, co nie jest zgodne z rzeczywistością, zdaje się, że w niektórych porach roku rodzi się więcej dzieci niż w innych. Pierwsze założenie zawyża obliczane prawdopodobieństwa, natomiast drugie zaniża. Aby obliczyć "prawdziwe" wartości prawdopodobieństw "urodzinowych", trzeba dysponować rozkładem liczby urodzeń w stosunku do dni w roku. A może któryś z Czytelników ma dostęp do takiego zestawienia?

- Paradoks Simpsona

- Paradoks petersburski

Załóżmy, że zaproponowano nam udział w następującej grze: rzucamy monetą, jeśli wypadła reszka, wygrywamy złotówkę i gra na tym się kończy, jeśli natomiast wypadł orzeł, rzucamy drugi raz i w przypadku wyrzucenia reszki wygrywamy dwa złote, zaś jeśli wypadł orzeł, kontynuujemy grę, i z kolei jeśli w trzecim rzucie wypadnie reszka, wygrywamy cztery złote itd., gra toczy się aż do wyrzucenia reszki, stawka za każdym rzutem podwaja się. Ile pieniędzy można zapłacić za możliwość uczestniczenia w takiej grze?

Wyjaśnienie:

Okazuje się, że gra jest tak atrakcyjna, że warto za nią zapłacić dowolnie dużą sumę pieniędzy!

W grze można wygrać 1 zł z prawdopodobieństwem 1/2, 2 zł z prawdopodobieństwem 1/4, 4 zł z prawdopodobieństwem 1/8 itd., to znaczy średnia wygrana wynosi:

(1 * 1/2) + (2 * 1/4) + (4 * 1/8) + (8 * 1/16) + .... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...

Lecz powyższa suma jest przecież nieskończona, a więc gra toczy się o nieskończoną stawkę!

Rzecz jasna, jeśli zapłacimy na przykład 10,000 zł za możliwość uczestniczenia w grze, to zwykle na tym stracimy, bo najprawdopodobniej szybko wyrzucimy reszkę i wygramy raczej mało. Jednak istnieje pewne małe prawdopodobieństwo wygrania astronomicznej kwoty pieniędzy, w takim przypadku z dużą nawiązką zwróciłby nam się zainwestowany kapitał.

W opisywanej grze przyjęto nierealne założenie, że strona wypłacająca ma niewyczerpane zasoby finansowe i jest w stanie wypłacić szczęśliwemu graczowi bardzo szybko rosnące stawki.

- Wszyscy ludzie mają ten sam wzrost

Chcemy udowodnić, że wszyscy ludzie są tego samego wzrostu. Przede wszystkim naszą tezę sformułujmy precyzyjniej: "każdy skończony zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu". W dowodzie wykorzystamy indukcję po mocy (liczebności) zbioru. Początek indukcji jest oczywisty: faktycznie każdy jednoelementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby (tzn. osobę!) jednakowego wzrostu. Tym samym wykazaliśmy tezę indukcyjną dla n=1 (przez n będziemy oznaczali moc zbioru). Teraz musimy wykonać krok indukcyjny. Nasze założenie indukcyjne ma następującą postać: "każdy n-elementowy zbiór ludzi zawiera osoby o jednakowym wzroście". Korzystając z założenia indukcyjnego trzeba udowodnić, że każdy n+1-elementowy zbiór ludzi zawiera osoby o jednakowym wzroście. Weźmy więc jakikolwiek n+1-elementowy zbiór ludzi A={o₁, o₂, ..., o_n+1}. Zbiór {o₁, o₂,... , o_n} jest n-elementowy, zatem - zgodnie z założeniem indukcyjnym - osoby o₁, o₂,... , o_n są tego samego wzrostu, podobnie zbiór {o₂, o₃,... , o_n, o_n+1} zawiera n elementów, a więc osoba o_n+1 ma taki sam wzrost jak osoby o₂, o₃,... , o_n, a co za tym idzie - taki sam jak osoba o₁.

Wyjaśnienie:

W powyższym "dowodzie" nie wykazano poprawnie przejścia od n=1 do n=2 - nie ma wówczas "pośredników", dzięki którym można wykazać, że osoba o₁ jest tego samego wzrostu co o_n+1.

- Wszystkie okręgi mają taki sam obwód

Weźmy dwa dowolne różne okręgi. Umieśćmy mniejszy z nich wewnątrz większego w taki sposób, by ich środki pokryły się (patrz rysunek poniżej). Przetoczmy większy z okręgów po linii prostej. Po wykonaniu pojedynczego obrotu okrąg przemieści się na odległość równą swojemu obwodowi (szary odcinek na rysunku). Tymczasem, jak nietrudno zauważyć, mniejszy z okręgów podczas jednego obrotu zatoczy linię o identycznej długości (szary cieńszy odcinek - jak widać jest on równy co do długości odcinkowi, po którym przemieścił się większy okrąg). Zatem mniejszy okrąg ma taki sam obwód jak okrąg o większym promieniu!

Wyjaśnienie:

Rzeczywiście mniejszy okrąg wykonuje pojedynczy obrót. Jednak okrąg ten równocześnie dodatkowo porusza się ("ślizga się") w prawo. To, że można przetoczyć złotówkę po całym pokoju (równocześnie powoli obracając ją i szybko przesuwając po podłodze) nie znaczy, że moneta ma obwód o długości kilku metrów!

- Wszystkie trójkąty są równoboczne

Rozważmy dowolny trójkąt ABC: niech X będzie punktem przecięcia symetralnej boku AB oraz dwusiecznej kąta BCA. Z punktu X poprowadźmy proste XR i XQ prostopadłe odpowiednio do boków AC i BC.

Po pierwsze, trójkąty CRX i CQX są przystające, bo:

• CX jest wspólnym bokiem trójkątów,

• kąt RCX = kąt QCX (bo CX jest dwusieczną kąta BCA),

• kąt XRC = kąt XQC = kąt prosty.

Zatem odcinki RC i QC oraz RX i XQ są tej samej długości.

Po drugie, trójkąty AXR i BXQ są przystające, bo:

• jak wyżej stwierdziliśmy, RX i XQ są tej samej długości,

• odcinki AX i BX są tej samej długości (prosta XP jest symetralną AB),

• kąt XRA = kąt XQB = kąt prosty.

Odcinki AR i BQ są więc tej samej długości.

Udowodniliśmy więc, że RC = QC i AR = BQ, zatem: AC = AR + RC = BQ + QC = BC, tzn. odcinki AC i BC mają taką samą długość, zatem trójkąt ABC jest równoramienny.

Wykreślając symetralną do boku AC i dwusieczną kąta CBA, i przeprowadzając rozumowanie analogiczne do powyższego łatwo przekonamy się, że także odcinki AB i CB mają taką samą długość, a więc trójkąt ABC jest nie tylko równoramienny, ale także równoboczny!

Wyjaśnienie:

Jeden jedyny błąd w dowodzie polega na przyjęciu, że punkt X leży wewnątrz trójkąta ABC: w rzeczywistości znajduje się on na zewnątrz tego trójkąta - patrz rysunek poniżej.

Sofizmaty

Czym jest sofizmat?

Sofizmat (gr. sophisma=wybieg, wykręt) jest to nazwa funkcjonująca w co najmniej trzech znaczeniach:

1. zwodniczy "dowód" matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający rozmyślnie wprowadzony błąd logiczny, na pierwszy rzut oka trudny do wykrycia;

2. wypowiedź lub sformułowanie, w którym świadomie został ukryty błąd rozumowania nadający pozory prawdy fałszywym twierdzeniom;

3. wszelka próba dowiedzenia swoich racji, bez względu na wartość logiczną przedstawionej argumentacji.

Walka z sofizmatami, choć trudna, nie jest niemożliwa. Najskuteczniejszym orężem jest tu unikanie niedomówień i wieloznaczności drogą stosowania, tam, gdzie to tylko jest możliwe, definicji - dzięki którym ustalimy znaczenia spornych, występujących w dyskusji, terminów - lub, mówiąc nieco ogólniej, wszelkich narzędzi, jakie proponuje logika celem uczynienia wypowiedzi jasną.

Historia pojęcia

Sofistami, czyli nauczycielami mądrości, nazywano w starożytnej Grecji uczonych zawodowo trudniących się nauczaniem rozmaitych sztuk i nauk: gramatyki, retoryki, matematyki, fizyki i wielu jeszcze innych. Wybitni sofiści, działający w V w p.n.e. Protagoras, Hippiasz, Gorgiasz i Prodikos byli wybitnymi myślicielami, którzy między innymi zwracali baczną uwagę na rolę słów w procesie dyskusji i argumentacji. O Protagorasie współcześni mu mawiali, że jest człowiekiem, który umie poprawnie używać słów. Prodikos z kolei zasłynął jako badacz synonimów i homonimów. Ich późniejsi naśladowcy nie poszli jednak ich śladami i w miejsce rzetelnych badań nad językiem zajmować się zaczęli sztuką żonglowania słowami, mającą na celu przekonanie, za wszelką cenę, nawet kosztem logiki i zdrowego rozsądku, słuszności bronionej, często absurdalnej, tezy. Stąd właśnie wzięło się negatywne określenie sofistyki jako posługiwania się fałszywymi argumentami celem udowodnienia nieprawdy, podczas gdy w pierwotnym znaczeniu wyraz ten oznaczał wielki, krytyczny wobec uznanych wartości religijno-moralnych, humanistyczny ruch o nastawieniu demokratycznym, występujący przeciwko ustalonemu porządkowi społecznemu Aten. To negatywne określenie sofistyki pociągnęło za sobą stosowanie nazwy "sofizmat" dla określenia pozornie poprawnego argumentu, zawierającego świadomie zatajone błędy logiczne, lub, wyrażając to krócej, dla określenia: świadomego dowodzenia fałszywej tezy.

Sofistykę niekiedy utożsamia się z erystyką - sztuką prowadzenia sporów. Niekiedy sofizmaty utożsamiano z erystycznymi sposobami przekonywania, i wtedy termin „sofistyka” stał się synonimem terminu „erystyka”.

Najbardziej znane sofizmaty

Grupa najbardziej znanych sofizmatów przedstawia się następująco.

Argumentum ad auditorem

Argument odwołujący się do słuchacza - sposób argumentowania polegający na tym, że orator zwraca się nie do swojego przeciwnika w dyskusji, lecz albo do współuczestników dyskusji, albo do biernych słuchaczy, celem pozyskania ich sobie, lecz nie poprzez podanie logicznych racji na rzecz tezy, lecz w każdy inny sposób, najczęściej odwołując się do ich emocji.

Przykład:

Chcąc zakwestionować zasadność teorii Darwina orator zwraca się do audytorium z zapytaniem: A kto z Państwa pochodzi od małpy?.

Argumentum ad auctoritate

Argument odwołujący się do autorytetu - sposób argumentowania polegający na tym, że orator, chcąc uśpić czujność swojego przeciwnika, powołuje się na jego autorytet i zasługi. Błąd ten przypomina argumentum ad vanitatem i wraz z nim zostanie przedstawiony.

Argumentum ad baculinum

Argument odwołujący się do kija - sposób argumentowania polegający na tym, że grozi się przykrymi konsekwencjami, włącznie z użyciem siły, w przypadku braku zgody na przedstawioną propozycję.

Przykład:

Zaniedbującemu się w nauce synowi ojciec grozi laniem celem zmuszenia go do pilności.

Argumentum ad hominem

Argument odwołujący się do człowieka - sposób argumentowania polegający na tym, że odwołujemy się do, dobrze nam znanych, przekonań (uprzedzeń pozytywnych) osoby, którą do czegoś chcemy przekonać.

Przykład:

Chcąc uniknąć odpytywania uczniowie przekonują nauczyciela biologii do wycieczki do lasu, powołując się na głoszone przez niego poglądy o konieczności fizycznego kontaktu z naturą celem jej lepszego poznania.

Argumentum ad hominem jest lojalnym chwytem erystycznym wtedy, gdy posługujący się nim jest przekonany o prawdziwości tych racji, na które się powołuje.

Staje się chwytem nielojalnym wtedy, gdy sprawy mają się odwrotnie, lub wtedy, gdy chce się osiągnąć zamierzony cel, bez względu na prawdziwość racji i wtedy utożsamiony może być z argumentum ad personam.

Argumentum ad ignorantiam i onus probandi

Argument odwołujący się do niewiedzy - sposób argumentowania polegający na tym, że przeciwnik w dyskusji nie potrafi podać kontrtezy dla tezy, którą chce mu się narzucić. Fakt, że przeciwnik nie potrafi podać kontrtezy traktuje się jako argument na rzecz tezy dowodzonej.

Przykład: - Czy potrafisz udowodnić, że duchy nie istnieją?

- Nie, nie potrafię.

- Wobec tego powinieneś uznać istnienie duchów.

Warto w tym miejscu zaznaczyć, że wolno nam oczywiście odwoływać się do twierdzeń czy faktów, których nasz przeciwnik nie zna, o ile są to autentyczne twierdzenia czy fakty, które rzeczywiście miały miejsce. W takim przypadku są to lojalne chwyty erystyczne, gdy zaś odwołujemy się do wyimaginowanych faktów czy twierdzeń, chwyt jest nielojalny.

Z argumentum ad ignoratiam wiąże się bardzo często wiedza, a właściwie należałoby powiedzieć brak wiedzy, na którym z dyskutujących w poszczególnych fazach dyskusji, spoczywać powinien ciężar dowodu (onus probandi).

Należy zwracać na to szczególną uwagę wtedy, gdy przeciwnik w dyskusji wygłasza jakieś paradoksalne twierdzenie, a nam każe uzasadniać, że nie jest tak jak on mówi. Pozostawia nam wtedy jedynie prawo do wysuwania kontrargumentów, bez konieczności dowodzenia prawdziwości własnej tezy.

Przykład:

Jeden z dyskutujących utrzymuje, że od całkowitego upadku gospodarczego państwo nasze powstrzymuje tylko Matka Boska. Wobec sprzeciwu wygłasza następujące żądanie: Dowiedź, że tak nie jest.

To on jednak, ma obowiązek uzasadnić swoje stanowisko, bowiem jest sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem. Obrońcy poglądu naturalnego wolno zbijać argumenty przeciwnika nie przytaczając dowodów na rzecz własnej tezy, choć przytoczenie takich argumentów znacznie wzmocni jego pozycję.

Argumentum ad misericordiam

Argument odwołujący się do litości - sposób argumentowania polegający na wzbudzaniu w drugiej osobie uczuć litości i współczucia, celem zjednania sobie tej osoby.

Przykład:

Student, który nie zdał egzaminu prosi wykładowcę o to, by nie stawiał mu dwói z racji na to, że straci stypendium za wyniki w nauce.

Argumentum ad personam

Argument skierowany do osoby - sposób argumentowania polegający na przypisywaniu przeciwnikowi szeregu wad, lub nawet obrażaniu go celem wmówienia audytorium a nawet samemu przeciwnikowi, że jego poglądy są fałszywe. Ten sposób argumentowania utożsamiany jest niekiedy argumentum ad hominem.

Przykład:

Nie mogąc sobie poradzić z argumentami przeciwnika, orator w pewnym momencie stwierdza:

- Doprawdy pojąć nie mogę, jak Państwo możecie dawać wiarę temu idiocie?

Argumentum ad populum

Argument odwołujący się do upodobań ludu (tzw. demagogia) - sposób argumentowania polegający na rozbudzaniu emocji słuchaczy przez odwoływanie się do ich dumy, egoizmu narodowego czy rasowego czy instynktów lub przesądów, celem pozyskania słuchaczy dla swoich potrzeb.

Przykład:

Pójdźcie w me ślady - mówi do tłumu orator, który chce być wybrany do Sejmu - razem wypełnimy przypisaną przez Boga nam Polakom misję uczynienia Europy obszarem wartości chrześcijańskich.

Argumentum ad vanitatem

Argument odwołujący się do próżności - sposób argumentowania polegający na wykorzystaniu próżności drugiej strony w dyskusji, drogą umiejętnie dawkowanych, mniej lub bardziej zasadnych, pochlebstw, celem uzyskania akceptacji na wygłaszany pogląd. Przykład: W dyskusji padają zwroty typu: „nie ulega wątpliwości pańska głęboka i wszechstronna znajomość problemu…”, „pan jako ekspert w tej dziedzinie, doskonale wie, że…”, „jako człowiek inteligentny na pewno pan rozumie, że…”, po których następuje podanie własnego poglądu i oczekiwanie, że zjednany komplementami dyskutant bez zastrzeżeń zaakceptuje nasze stanowisko.

Argumentum ad vanitatem przypomina argumentum ad auctoritate. W przypadku, gdy odwołujemy się do faktycznego autorytetu danej osoby, obydwa argumentu można ze sobą utożsamić.

Argumentum ad verecundiam

Argument odwołujący się do nieśmiałości - sposób argumentacji polegający na powoływaniu się na jakiś autorytet, którego wprawdzie druga strona nie uznaje, ale też nie może go zakwestionować, będąc skrępowana uczuciami szacunku lub nieśmiałością, czy też obawą narażenia się na zarzut zarozumiałości.

Przykład:

W dyskusji na tematy naukowe jedna osoba powołuje się na autorytet papieża i Pisma św. a strona przeciwna czuje się skrępowana obawami, że zakwestionuje powszechnie zaakceptowane autorytety.

Argumentum ad crumenam

Argument odwołujący się do interesów materialnych drugiej strony.

- Fałszywe równości

1 = 2

Oto "dowód", że 1 = 2:

2 = 2

-2 = -2

1-3 = 4-6

1-3+(9/4) = 4-6+(9/4)

(1-3/2)² = (2-3/2)²

1-3/2 = 2-3/2

1 = 2

Wyjaśnienie:

Niepoprawny jest krok przedostatni, bo z tego, że kwadraty dwóch liczb są równe, wcale nie wynika, że te liczby są równe; na przykład (1/2)² = (-1/2)² = 1/4.

Patrz także:

• 1 = 2 (sposób II)

• 1 = 2 (sposób III

• 1 = 2 (sposób II)

• 1 = 2 (sposób III)

• 1 = -1

• 0 = 1 (bardzo naiwne)

• 1 zł = 1 gr

• 42 = 43

• 1/n sinx = 6

Sofizmaty logiczne:

- Księżyc jest zrobiony z sera

Rozważmy następujące zdanie:

(*) Jeśli zdanie oznaczone gwiazdką jest prawdziwe, to Księżyc jest zrobiony z sera.

Zauważmy, że powyższe zdanie jest poprawnym i zupełnie zrozumiałym zdaniem oznajmującym, a więc - zgodnie z zasadą wyłączonego środka - jest albo zdaniem fałszywym, albo zdaniem prawdziwym (innych możliwości nie ma). Czy w takim razie zdanie (*) może być fałszywe? Nie, nie może być. Aby to wykazać, spróbujmy przyjąć, że zdanie (*) jest fałszywe. Zdanie (*) ma formę implikacji, a implikacja postaci "jeśli A, to B" jest - wedle zasad logiki - fałszywa tylko wtedy, gdy B nie zachodzi pomimo prawdziwości warunku A, co w przypadku zdania (*) oznaczałoby, że warunek "zdanie oznaczone gwiazdką jest prawdziwe" jest prawdziwy, czyli po prostu, że zdanie (*) jest prawdziwe. Lecz przecież wyszliśmy od tego, że zdanie (*) jest fałszywe!

Jak widać, przyjęcie, że zdanie (*) jest fałszywe, prowadzi nas do sprzeczności, a zatem nie pozostaje nic innego jak uznać, że zdanie (*) jest prawdziwe.

Wiemy teraz, że implikacja (*) jest zdaniem prawdziwym. Tak się składa, że prawdziwy jest także warunek w implikacji (który brzmi po prostu "zdanie oznaczone gwiazdką jest prawdziwe"). Skoro implikacja jest prawdziwa, a warunek implikacji zachodzi, to wniosek w implikacji musi niechybnie być prawdziwy, tzn. mamy do czynienia z następującym wnioskowaniem:

(*) Jeśli zdanie oznaczone gwiazdką jest prawdziwe, to Księżyc jest zrobiony z sera.

Zdanie oznaczone gwiazdką jest prawdziwe.

a więc

Księżyc jest zrobiony z sera.

Wyjaśnienie:

Zdanie (*) jest zdaniem samoodnośnym, tzn. mówi coś o sobie samym. Zdarza się, że zdania takie są paradoksalne i nie spełniają zasady wyłączonego środka - nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Tak jest w tym przypadku - pokazaliśmy, że zdanie (*) nie jest fałszywe, jednak nie jest to także zdanie prawdziwe... Najsłynniejszym przykładem samoodnośnego zdania paradoksalnego jest antynomia kłamcy.

Różne ciekawe "fakty":

- Każda liczba jest równa dowolnej liczbie od niej mniejszej

Jeśli liczba a jest większa od liczby b, to istnieje pewna liczba c, taka że a = b + c. Na przykład dla liczb 5 i 3 mamy: 5 = 3+2. Mamy zatem:

a = b+c

Mnożymy obie strony równania przez a-b

a(a-b) = (b+c)(a-b)

a²-ab = ab+ac-b²-bc

Składnik ac przenosimy na lewą stronę:

a²-ab-ac = ab-b²-bc

a(a-b-c) = b(a-b-c)

Dzielimy obie strony przez a-b-c i dostajemy:

a = b.

Wyjaśnienie:

Stron równania nie można dzielić przez zero - przecież z tego, że 1 razy 0 równa się 2 razy 0, nie wynika, że 1 = 2! W powyższym sofizmacie w ostatnim kroku dzieliliśmy strony równania przez czynnik a-b-c, który jest równy zero (bo a = b + c).

• wszystkie liczby naturalne są interesujące

• wszyscy ludzie mają ten sam wzrost

• należy wnosić bomby na pokład samolotu

• za czasów Mieszka I żyło ponad bilion ludzi

- Sofizmaty geometryczne

58 = 60 = 59

Trójkąt równoramienny o podstawie 10 cm oraz wysokości 12 cm dzielimy na sześć części, tak jak przedstawiono na poniższym rysunku. Pole powierzchni tego trójkąta (a także suma powierzchni sześciu części) wynosi 60 cm².

Z tych sześciu części da się złożyć identyczny trójkąt, z tą różnica, że w jego środku pojawi się... dziura o powierzchni dwóch centymetrów kwadratowych (rysunek poniżej)! Ale to oznacza, że suma powierzchni wszystkich sześciu części wynosi 60-2 = 58 cm²!

Nie dość na tym - z tych samych sześciu części można ułożyć figurę o powierzchni 59 cm²!

Zresztą, jeśli Czytelnik nie wierzy, sam może na papierze w kratkę narysować taki trójkąt i pociąć go na te sześć kawałków!

Wyjaśnienie:

Pierwszy rysunek sugeruje, że trójkąt składa się z dwóch wielokątów w kształcie litery L (o całkowitych długościach wszystkich boków), dwóch większych trójkątów prostokątnych 3x7 oraz dwóch mniejszych trójkątów prostokątnych 2x5. Tak naprawdę jednak, większe trójkąty prostokątne musiałyby mieć wysokość 7,2 cm, a mniejsze "trójkąty" - być trapezami o bardzo małej górnej podstawie (lub należałoby powiększyć nieco figury w kształcie litery L). Analogiczny błąd można popełnić patrząc na drugi rysunek. Jeśli brzegi figur narysuje się grubą linią lub wytnie się je niestarannie, można nie zauważyć niewielkich niedokładności, które jednak razem dają nawet centymetrowe błędy przy wyliczaniu pola powierzchni. Sofizmat wymyślił nowojorski psychiatra (!) L. Vosburgh Lyons.

- Wszystkie trójkąty są równoboczne

- Wszystkie okręgi mają taki sam obwód

---