Zmiana
wartości pieniądza w czasie

Przyszła wartość (pieniądza)

gdzie:

FV - przyszła wartość (pieniądza) [ future value ],

V - zainwestowana suma,

i - stopa procentowa,

t - czas (lata),

n - ilość kapitalizacji w roku.

Przykład 1

Bank A oferuje 5 procentowe lokaty z roczną kapitalizacją odsetek, bank B oferuje 4 procentowe lokaty z kwartalną kapitalizacją odsetek. Jaką sumę otrzy-

mamy po pięciu latach inwestując po 2000 zł. w każdym z tych banków ?

Rozwiązanie

Bank A FV = 2000 (1+0,05)
= 2000 x 1,2763= 2 552,60 złote

Bank B FV = 2000 (1+

= 2000 x 1,2202 = 2 440,40 złote

Mimo kapitalizacji co kwartał w banku B, przyszła wartość FV w banku A jest większa. Decydujące znaczenia ma bowiem wysokość stopy procentowej.

Na pytanie - czy kapitalizacja ciągła zmienić może niekorzystną dla banku B sytuację (zakładając niezmienność stopy procentowej) można odpowiedzieć posługując się następującą formułą obliczeń :

gdzie: e - jest podstawą logarytmu naturalnego

FV = 2000 e
= 2000 x 1,2214 = 2442,8 złotego.

Po pięciu latach w zależności od przyjętej stopy procentowej i zasady kapitalizacji odsetek będziemy mieli odpowiednio :

- w banku A - 2552,60 złotych, w banku B - 2440,40 złotych, a w przypadku kapitalizacji ciągłej w banku B otrzymamy - 2442,80 złotych .

Jak wynika z przeprowadzonych obliczeń największy wpływ na przyszłą wartość pieniądza ma stopa procentowa. O jej znaczeniu możemy się przekonać analizując tablice przyszłej wartości (będące załącznikiem większości pozycji traktujących o inwestycjach lub ogólnie o finansach). Z analizy wartości współczynników dyskontowych wynika że na przykład dla podwojenia zainwestowanej sumy trzeba 35 lat przy stopie procentowej i = 0,02 (2 proc.), i odpowiednio 15 lat przy stopie i = 0,05 oraz niecałe 4 lata przy i = 0,20. Mniejszą choć nie bez znaczenia rolę odgrywa sposób kapitalizacji odsetek.

Bieżąca (aktualna ) wartość (pieniądza )

gdzie :

PV - aktualna (bieżąca) wartość - Present value

Pozostałe oznaczenia jak przy formule FV .

Przykład 2

Za sześć lat zamierzamy nabyć mieszkanie. Ile należy dziś zablokować na koncie w banku, aby w odpowiednim czasie dysponować kwotą 200 000,- zł.?

Przyjmijmy, że oprocentowanie lokat wynosi 4 procent rocznie.

Rozważmy przypadki, w których:

1. kapitalizacja odsetek odbywa się raz w roku ( na koniec);

2. kapitalizacja odsetek odbywa się co kwartał;

3. kapitalizacja odsetek odbywa się w sposób ciągły.

ad. a)

PV = 200 000 x
= 200 000 x 0,790315 = 158 063,- zł.

ad. b)

PV = 200 000 x
= 200 000 x 0,787566 = 157 513,20 zł.

ad. c)

PV = 200 000 x
= 200 000 x
= 200 000 x 0,7866 =

= 157 320 ,- zł.

Za 6 lat będziemy dysponować kwotą 200 000,- zł. jeżeli zablokujemy na 4 proc. 158 063 złote (przy rocznej kapitalizacji odsetek): 157 513,20 zł. przy kapitalizacji kwartalnej i odpowiednio przy ciągłej kapitalizacji odsetek kwotę 157 320 złotych.

Rozpatrzmy powyższy przykład w sytuacji, gdy kupujemy obligacje skarbu państwa (rentowność obligacji 5-cio letnich wynosi 4,97 proc.). Przy założeniu, że w szóstym roku za wycofane pieniądze (z odsetkami ) kupimy na rok bony skarbowe o rentowności 4,20 proc. Kwota którą aktualnie zainwestujemy w powyższy sposób wyniesie :

PV
- przyszła wartość po 5 latach zainwestowanych w obligacje 5-cio letnie,

PV
- przyszła wartość po zainwestowaniu PV
w bony skarbowe.

PV
= 200 000 x
= 200 000 x 0,7846 = 156 920,- zł.

PV
= 156920 x
= 150 596,12 złotych

Inwestując w sposób podany wyżej 150 596,12 zł. po sześciu latach uzyskamy kwotę 200 000 zł .

Przeanalizujmy powyższą sytuację po upływie 15 miesięcy:

PV'
= 200 000 x
= 200000 x 0,713= 142600,- zł.

PV'
=142600 x
=142600 x 0,94= 134044,- zł.

Oceniając fakt, iż po zainwestowaniu w tym przypadku 134044,- zł. otrzymamy po sześciu latach 200000,- zł., należy pamiętać o znacznie wyższej inflacji w roku 2008 ( w porównaniu do 2007 r.).

Kontynuując obliczenia, zbadajmy sytuację po kolejnym roku (początek czwartego kwartału 2009 r.)

PV”₁= 200 000 x
200000 x 0,7558= 151160,- zł.

PV”₂= 151160 x
= 151160 x 0,95785 = 144789,- zł.

Zestawiając powyższe wyniki otrzymamy następujące wielkości aktualnych pieniędzy, które należałoby zainwestować w obligacje skarbu państwa i bony skarbowe w latach 2007 - 2009, aby po sześciu latach dysponować kwotą 200 000 zł.

Rok 2007 - 150 596,- zł.

Rok 2008 - 134 044,- zł.

Rok 2009 - 144 789,- zł.

Rok 2010 - 150 612,- zł.

Interesująco wygląda interpretacja otrzymanych wyników w powiązaniu z sytuacją gospodaeczą w Polsce i na świecie.

Przykład 3

Przedsiębiorstwo zamierza podjąć inwestycję o łącznych nakładach 150 000 zł. (samochód dostawczy) sfinansowaną w pełni ze środków własnych. Eksploatacja inwestycji przyniesie, jak się oczekuje, następujące przepływy finansowe netto CF w kolejnych latach:

CF
= 30 000,- ; CF
= 30 000,- ; CF
= 35 000,- ; CF
= 40 000,- ;

CF
= 40 000,- zł.

Ocenić efektywność projektu.

Uzasadnić wysokość przyjętej do obliczeń stopy dyskontowej (procentowej).

Przeprowadzić analizę wrażliwości.

Obliczenia

Metody statyczne

1. Okres zwrotu T
=
T
=
= 4,2857 roku

Zwrot nakładów nastąpi po 4 latach i 104 dniach (0,2857 x 365 dni)

2. Księgowa stopa zwrotu ARR=
;

D - roczna wartość amortyzacji ( wielkość amortyzacji winna być ustalona zgodnie z załącznikiem do ustawy CIT określającym procentowe stawki amortyzacji w zależności od rodzaju środka trwałego w przypadku pojazdów samochodowych poz. 07, symbol KŚT -742 stawka procentowa wynosi 20%)

ARR=
= 0,0667

Księgowa stopa zwrotu wynosi 6,7 proc.

Oceniając otrzymane wyniki - projekt może być zaakceptowany gdyż :

- zwrot nakładów nastąpi przed upływem 5 lat,

- stopa zwrotu (bez uwzględnienia zmiany wartości pieniądza w czasie) jest

do przyjęcia (środki własne).

Metody dynamiczne

1. Wartość zaktualizowana netto NPV

NPV =

gdzie:

NPV - wartość zaktualizowana netto,

t - czas,

n - ilość lat eksploatacji,

CF
- przepływ finansowy netto w roku t,

a
- współczynnik dyskontowy,

a
=

i - stopa dyskontowa,

J
- jednorazowy nakład inwestycyjny.

Przed przystąpieniem do obliczeń musimy określić ( i uzasadnić) wysokość przyjętej stopy dyskontowej. Fakt, iż inwestycja została zrealizowana w oparciu o środki własne jest wskazówką pomocną przy ustaleniu satysfakcjonującej inwestora stopy procentowej. Postępując racjonalnie ( inwestor) winien w tym przypadku do obliczeń przyjąć stopę proc. wyższą od oprocentowania lokat bankowych i obligacji skarbu państwa, które to lokaty uważa się za nie ryzykow-

ne (problem w rzeczywistości jest o wiele bardziej złożony).

Załóżmy , że satysfakcjonującą stopą procentową jest i=0,08 (8 proc.).

- suma zdyskontowanej wartości przepływów finansowych netto

CF
x a
= 30 000
= 30 000 x 0,9259 / = 27777,-

CF
x a
= 30 000
= 30 000 x 0,8573 = 25719,-

CF
x a
= 35 000
= 35 000 x 0,7938 = 27 783,-

CF
x a
= 40 000
= 40 000 x 0,735 = 29 400,-

CF
x a
= 40 000
= 40 000 x 0,6806 = 27 224,-

= 137 903,- zł.

Suma zdyskontowanych przepływów finansowych netto wynosi = 137 903 zł.

Od sumy zdyskontowanych przepływów finansowych netto należy odjąć

nakład inwestycyjny
:

NPV = 137 903 - 150 000 = - 12 097 zł.

Wynik ujemny oznacza stratę finansową a tym samym odrzucenie projektu.

2. Wewnętrzna stopa zwrotu IRR

Wewnętrzna stopa zwrotu IRR oznacza stopę procentową, przy której

NPV = 0

Formuła obliczania IRR ma postać:

gdzie: i
- stopa procentowa, przy której NPV
>0 ,

i
- stopa procentowa, przy której NPV
<0.

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że w tym przypadku mamy dane:

i
= 0,08 oraz odpowiednio NPV
= - 12 097,-

Poszukujemy więc stopy procentowej i
dla której NPV
> 0

Przyjmijmy założenie, że przy i = 0,05 NPV będzie dodatnie .

Obliczenie zdyskontowanej wartości przepływów finansowych netto

Dla i = 0,05

30 000 0,9524 = 28 572,-

30 000 0,9070 = 27 210,-

35 000 0,8638 = 30 233,-

40 000 0,8227 = 32 908,-

40 000 0,7835 = 31 340,-

= 150 263,- złote

NPV
= 150 263 - 150 000 = 263,- zł.

i
= 0,05 , NPV
= 263,-

= 0,050638 = 0,051

Wewnętrzna stopa zwrotu IRR = 5,1 %

Wewnętrzna stopa zwrotu nazywana jest często graniczną stopą zwrotu, stanowi bowiem „granicę” do której NPV jest dodatnie, a po przekroczeniu

- jest ujemne.

Projekt przy założonej 8 proc. stopie dyskontowej jest nie efektywny. Nadwyżka finansowa pojawia się dopiero poniżej 5,1 proc. , podobną rentowność mają obligacje skarbu państwa, traktowane jako pewna inwestycja a przecież każda działalność gospodarcza jest obarczona ryzykiem.

Ostateczna decyzja o zaakceptowaniu projektu należy do inwestora, poprzedzić ją jednak powinna analiza wrażliwości projektu.

Analiza wrażliwości

Ocena wrażliwości projektu polega na ustaleniu wpływu zmian przepływów finansowych na opłacalność przedsięwzięcia.

Należy odpowiedzieć na pytanie jak procentowe zmiany przepływów finansowych wpłyną na wartość zaktualizowaną netto - NPV .

Standardowo analizuje się zmiany przepływów wynoszące:

5, 10, 15, 20, 25 procent

Rozważmy sytuację, w której przepływy finansowe wzrosną o 5 proc.

Zdyskontowana wartość przepływów finansowych wyniesie:

31 500 0,9259 = 29 166,-

31 500 0,8573 = 27 005,-

36 750 0,7938 = 29 172,-

42 000 0,735 = 30 870,-

42 000 0,6806 = 28 585,-

=144 798,-

NPV` =144 798 - 150 000 = - 5 202 zł.

Mimo wzrostu przepływów finansowych o 5 proc. nadal projekt generuje stratę.

Kontynuując analizę wrażliwości obliczamy wartość NPV , gdy przepływy finansowe netto wzrosną o 10 proc.

Zdyskontowana wartość przepływów finansowych, w tym przypadku wyniesie :

33 000 0,9259 = 30 555,-

33 000 0,8573 = 28 291,-

38 500 0,7938 = 30 561,-

44 000 0,735 = 32 340,-

44 000 0,6806 = 29 946,-

= 151 693,-

NPV`` = 151 693 - 150 000 = 1693 zł.

Przy wzroście przepływów finansowych netto o 10 procent projekt generuje nadwyżkę finansową wynoszącą 1693 złote .

Oceniany projekt jest nie efektywny, choć wrażliwy na zwiększenie przepływów finansowych netto o 10 procent.

Przykład 4

Przedsiębiorstwo zamierza zakupić maszyny do robót budowlanych za

2 000 000,- zł. . Inwestycja ta ma być sfinansowana w oparciu o kredyt bankowy . Spodziewane w kolejnych latach przepływy finansowe netto oszacowano następująco [ zł.] :

CF
= 400 000,- ; CF
= 800 000,- ; CF
= 1 000 000,- ;

CF
= 700 000,- i CF
= 300 000,-

Ocenić efektywność tej inwestycji.

Uzasadnić wysokość przyjętej do obliczeń stopy dyskontowej.

Przeprowadzić analizę wrażliwości.

1. Ocena efektywności

• Metody statyczne

Okres zwrotu

T
=
= 3,125 roku

Zwrot poniesionych nakładów nastąpi po trzech latach i 47 dniach (0,125x365 dni), lub odpowiednio po 3 latach i 6,5 tygodnia (0,125x52 tyg.),

albo 3 latach i 1,5 miesiąca (o,125x12 m-cy).

Księgowa stopa zwrotu

Zgodnie z załącznikiem do ustawy o podatku od osób prawnych (CIT)

maszyny do robót budowlanych (pozycja 05, symbol KŚT 581) mają procentową, roczną stawkę amortyzacyjną równą 25%.

czyli 14 procent

Oceniając powyższe wyniki - okres zwrotu 3 lata i 1,5 miesiąca oraz wysoką księgową stopę zwrotu wynoszącą 14 proc. - projekt akceptujemy

2. Metody dynamiczne

Wartość zaktualizowana netto NPV

Przed przystąpieniem do obliczenia NPV musimy ustalić stopę procentową (dyskontową) satysfakcjonującą inwestora. Zważywszy na to, że inwestycja została sfinansowana w oparciu o kredyt bankowy, do obliczeń należy przyjąć stopę przekraczającą średnie oprocentowanie kredytów na cele gospodarcze, które wynosi 12,57 proc. Inwestor, uwzględniając rzeczywiste oprocentowanie kredytu oraz ryzyko przedsięwzięcia, przyjął stopę dyskontową wynoszącą 16 proc.

Obliczamy zdyskontowaną wartość przepływów finansowych:

Rok

1. 400 000 0,8621 = 344 840,-

2. 800 000 0,7432 = 594 560,-

3. 1000 000 0,6407 = 640 700,-

4. 700 000 0,5523 = 386 610,-

5. 300 000 0,4761 = 142 830,-

=2109540,- zł.

Zgodnie z wcześniej zaprezentowaną formułą obliczania NPV otrzymamy:

NPV
= 2109540 - 2000000 =109540,- złotych

NPV > 0 - wynik dodatni oznacza nadwyżkę finansową w wysokości 109540 zł.

Obliczenie Wewnętrznej Stopy Zwrotu IRR

Przypomnijmy, że wewnętrzna stopa zwrotu IRR - to stopa procentowa, przy której NPV = 0.

Skoro dla stopy równej 0,16 NPV > 0 szukamy stopy procentowej , przy której NPV < 0

Załóżmy, że NPV < 0 przy stopie równej 0,19. Obliczenia:

Rok

1. 400 000 0,8403 = 336 120,-

2. 800 000 0,7062 = 564 960,-

3. 1000 000 0,5934 = 593 400,-

4. 700 000 0,4987 = 349 090,-

5. 300 000 0,4190 = 125 700,-

=1 969 270,- zł.

Stąd :

NPV
= 1969270 - 2000000 = -30 730,- złotych (co oznacza stratę finansową).

Wewnętrzna stopa zwrotu IRR wynosi 18,34 % , oznacza to, że wartość zaktualizowana netto NPV jest dodatnia (nadwyżka finansowa) dla stóp procentowych mniejszych od 18,34 proc.

Projekt akceptujemy.

Analiza wrażliwości

1. Zakładamy spadek przepływów finansowych o 5 proc.

Obliczenia:

CF
a

380 000 0,8621 = 327 598,-

760 000 0,7432 = 564 832,-

950 000 0,6407 = 608 665,-

665 000 0,5523 = 367 280,-

285 000 0,4761 = 135 689,-

=2004064,-

Stąd NPV
=2004064 - 2000000= 4064,- złotych

Mimo zmniejszenia przepływów finansowych o 5 proc. nadal występuje nadwyżka finansowa ( choć znacznie mniejsza od rozwiązania bazowego).

2. Zakładamy spadek przepływów finansowych o 10 proc.

Obliczenia:

CF
a

360 000 0,8621 = 310 356,-

720 000 0,7432 = 535104,-

900 000 0,6407 = 576 630,-

630 000 0,5523 = 347 949,-

270 000 0,4761 = 128 547,-

= 1898586,- zł.

Stąd:

NPV
= 1898586 - 2000000= -101414,- złotych

Zmniejszenie przepływów finansowych o 10 proc. skutkuje stratą finansową.

Przedsięwzięcie jest wrażliwe na spadek przepływów finansowych ( o 10 %).

Powyższy przykład posłuży do zaprezentowania wpływu zmiany struktury rocznych przepływów finansowych netto na kształtowanie się wartości zaktualizowanej netto NPV. Jednocześnie wielkości uzyskane przy obliczeniach metodami statycznymi pozostaną nie zmienione ( T
i ARR = const.).

1. przepływy netto uszeregowano od najniższych do najwyższych:

300 000 0,8621 = 258 630,-

400 000 0,7432 = 297 280,-

700 000 0,6407 = 448 490,-

800 000 0,5523 = 441 840,-

1000000 0,4761 = 476 100,-

= 1 922 340,- zł.

NPV` = 1922340 - 2000000 = -77 660,- zł.

2. przyjęto średnią wartość przepływów finansowych netto (640 000 zł.)

- wówczas wartość zaktualizowana netto obliczona jak wyżej, wyniesie:

NPV`` = 2095616 - 2000000 = 95 616,- zł.

c )po uszeregowaniu rocznych przepływów finansowych netto od największych do najmniejszych analogicznie otrzymamy:

NPV```= 2268900 - 2000000 = 268 900,- zł.

Jak wynika z przeprowadzonych rozważań, im wyższa wartość przepływów finansowych netto w pierwszych latach, tym projekt generuje większą nadwyżkę finansową.

Przykład 5

Przedsiębiorstwo rozpatruje celowość inwestycji związanej z zakupem nowej linii technologicznej. Ofertę złożyło dwóch dostawców. Dostawca A oferuje urządzenie za 4 miliony złotych, dostawca B oferuje urządzenie za 4,5 miliona

złotych. Planowane (uwzględniające wpływy i koszty eksploatacyjne) roczne przepływy finansowe netto przedstawiono w tabeli:

Przepływy finansowe netto [zł.]

Rok 1 2 3 4 5

Dostawca A 1200000 1200000 1100000 1000000 800000

Dostawca B 1000000 1200000 1200000 1400000 1300000

Obliczyć efektywność tego przedsięwzięcia.

Zakup u którego dostawcy jest bardziej korzystny ?

Obliczenia

Metody statyczne

1. Okres zwrotu:

dla A
roku dla B
roku

W oparciu o wyżej wymienioną formułę , w przypadku dostawcy A zwrot poniesionych nakładów nastąpi po 3 latach i 281 dniach; a zwrot poniesionych nakładów w przypadku dostawcy B , będzie miał miejsce po 3 latach i 252 dniach czyli o prawie miesiąc szybciej.

2. Księgowa stopa zwrotu

=0,142

Księgowa stopa zwrotu w przypadku zakupu linii technologicznej u dostawcy B będzie o 1,2 proc. wyższa od konkurenta (dostawcy A).

Metody dynamiczne

1. Wartość zaktualizowana netto NPV /

Dostawca A Dostawca B

=


=

1200000 x 0,9091=1090910 1000000 x 0,9091=909100

1200000 x 0,8264= 991680 1200000 x 0,8264=991680

1100000 x 0,7513= 826430 1200000 x 0.7513= 901560

1000000 x 0,683 = 683000 1400000 x 0,683 = 956200

800000 x 0,6209=496720 1300000 x 0,6209= 807170

Suma zdyskontowanych przepływów finansowych netto wynosi :

dla A = 4 088 750 złotych, dla B = 4 565 710 złotych

Wartość zaktualizowana netto NPV będzie wynosiła:

NPVA = 4 088 750 - 4 000 000 = 88750 zł.

NPVB = 4 565 710 - 4 500 000 =65710 zł.

dla i = 0,1 (10 proc.) NPVA > NPVB

W obu przypadkach, przy stopie dyskontowej równej 10 proc. - jest nadwyżka finansowa. Korzystniejszy zakup instalacji jest w przypadku dostawcy A, bowiem to rozwiązanie generuje większą nadwyżkę ( o 23 040 zł.).

Jak wynika z analizy wykresu funkcji NPVA i NPVB w przykładzie tym

występuje stopa procentowa - tzw. stopa Fischera, (dla i=0,0895 ,

NPVA =NPVB = 19 250 zł.) - przy której NPV obu projektów jest jednakowe.

Interpretując powyższe stwierdzamy, że do 8.95 proc. projekt B jest korzystniejszy (ma większą nadwyżkę finansową) zaś po przekroczeniu 8,95 proc. to projekt A generuje wyższą NPV.

2. Wewnętrzna stopa zwrotu IRR

W celu obliczenia wewnętrznej stopy zwrotu znajdujemy stopę dyskontową, przy której NPV będzie miało wartość ujemną ( strata finansowa) .

Obliczenia zdyskontowanej wartości przepływów finansowych netto dla obu dostawców przy i = 0,12 ( 12 proc. ).

Dostawca A Dostawca B

=


=

1200000 x 0,8929 = 1071480 1000000 x 0,8929 = 892900

1200000 x 0,7972 = 956640 1200000 x 0,7972 = 956640

1100000 x 0,7118 = 782980 1200000 x 0,7118 = 854160

1000000 x 0,6355 = 635500 1400000 x 0,6355 = 889700

800000 x 0,5674 = 453920 1300000 x 0,5674 = 737620

Suma zdyskontowanych przepływów finansowych netto przy i = 0,12 wynosi :

dla A = 3 900 520 złotych, dla B = 4 331 020 złotych

Znajdujemy wartość zaktualizowaną netto NPV*:

NPVA* = 3 900 520 - 4 000 000 = - 99480 zł.

NPVB* = 4 331 020 - 4 500 000 = - 168980 zł.

Przykład 6

Przedsiębiorstwo rozpatruje celowość zakupu nowej linii technologicznej. Uzyskane dzięki eksploatacji tego urządzenia wpływy wyniosą 1 500 000 zł rocznie.

Ofertę złożyło dwóch dostawców.

Dostawca A oferuje urządzenie za 2 000 000 zł., roczny koszt wytworzenia produktów na tym urządzeniu wynosi 900 000 zł.

Dostawca B oferuje instalację za 2 200 000 zł., roczny koszt wytworzenia produktów w tym przypadku wynosi 850 000 zł.

Czas trwanie projektu wynosi 5 lat.

Przyjęta stopa dyskontowa równa się 10% .

Która oferta umożliwia bardziej efektywną produkcję ?

Dla wariantu mniej efektywnego rozważ sytuację, w której dostawca proponuje zakup urządzenia z częściowo odroczoną płatnością - to znaczy połowa należności z góry, reszta po roku (bez odsetek).

Oceń ryzyko przedsięwzięcia (dowolną metodą).

Metody statyczne

Okres zwrotu T_z

Księgowa stopa zwrotu

ARR_A

Metody dynamiczne

Wartość zaktualizowana netto NPV

Obliczenie zdyskontowanej wartości przepływów finansowych netto dla dostawców A i B

Rok	at	CFt at (600000xat)	CFt at(650000xat)
1	0,9091	545 460	590 915
2	0,8264	495 840	537 160
3	0,7513	450 780	488 345
4	0,683	409 800	443 950
5	0,6209	372 540	403 585
	SUMA	2 274 420	2 463 955

NPV_A= 2 274 420 - 2 000 000 = 274 420 zł.

NPV_B= 2 463 955 - 2 200 000 = 263 955 zł.

NPV_A > NPV_B

W obu przypadkach mamy nadwyżkę finansową, akceptujemy dostawcę A, ponieważ NPV_A jest większe od NPV_B

WARIANT I

Odroczona płatność dot. dostawcy B

J = 1 100 000 + 1 100 000 x 0,9091 = 2 100 010 zł.

NPV_B = 2 463 955 - 2 100 010 =363 945 zł. NPV_A < NPV_B

Oba projekty generują nadwyżkę finansową, w wyniku zmiany sposobu zapłaty, bardziej efektywny jest projekt B

WARIANT II

Biorąc pod uwagę możliwe ryzyko niepowodzenia inwestycji uwzględniamy inflację roczną w wysokości

3,6 % - do obliczeń wykorzystujemy współczynnik dyskontowy dla i = 0,14

Zdyskontowana wartość przepływów finansowych netto

Lp	at dla i =0,14	Dostawca A	Dostawca B
1	0,8772	526 320	570 180
2	0,7695	461 700	500 175
3	0,675	405 000	438 750
4	0,5921	355 260	384 865
5	0.5194	311 640	344 110
	SUMA	2 059 920	2 238 080

NPV_{A dla i=0,14}= 2 059 920 - 2 000 000 =59 920 zł.

NPV_{B dla i=0,14}= 2 238 080 - 2 200 000 =38 080 zł.

NPV_A > NPV_B

Oba projekty dają nadwyżkę finansową, lepszy jest projekt A

WARIANT III

Podwyższamy stopę dyskontową do i = 0,16

Zdyskontowana wartość przepływów finansowych netto

Lp (rok)	at dla i = 0,16	Dostawca A	Dostawca B
1	0,8621	517 260	560 365
2	0,7432	445 920	483 080
3	0,6407	384 420	416 455
4	0,5523	331 380	358 995
5	0,4761	285 660	309 465
	SUMA	1 964 640	2 128 360

NPV_{A dla i=0,16} =1 964 640 - 2 000 000 = - 35 360 zł.

NPV_{B dla i= 0,16} =2 128 360 - 2 200 000 = - 71 640 zł.

NPV_A > NPV_B

Projekt odrzucamy

Obliczenie wewnętrznej stopy zwrotu IRR

(czyli takiej stopy procentowej, przy której NPV = 0)

IRR_A = 0,1532 czyli 15,32 %

IRR_B = 0,1472 czyli 14,72 %

WARIANT IV

Analiza wrażliwości

1. Rozważamy sytuację, w której wpływy roczne są mniejsze o 5 % to znaczy wynoszą 1 425 000 zł. rocznie. Wówczas przepływy finansowe netto CF_t

wynoszą: CF_tA = 525 000 zł., CF_tB=575 000 zł.

Zdyskontowana wartość przepływów finansowych netto

Rok	at dla i=0,10	Dostawca A (525000 x at)	Dostawca B (575000 x at)
1	0,9091	477 277,5	522 732,5
2	0,8264	433 860	475 180
3	0,7513	394 432,5	431 997,5
4	0,683	358 575	392 725
5	0,6209	325 972,5	357 017,5
	Suma	1 990 117,5	2 179 625,5

NPV_A = 1 990 117,5 - 2 000 000 = -9 882,5 zł.

NPV_B = 2 179 625,5 - 2 200 000 = -20 347,5 zł.

Projekt odrzucamy w całości

2. Oceniamy wrażliwość projektu na wzrost

kosztów o 5 %

W tym wariancie roczny koszt wytworzenia produktów na instalacji zakupionej od A wynosi 945 000 zł. a od B - 892 000 zł. Przepływy finansowe netto wyniosą odpowiednio: 1500000-945000 = 555 000 zł. i 1500000-892000 = 608 500 zł

.

Zdyskontowana wartość przepływów finansowych netto

Rok	at dla i=0.1	Dostawca A (555000 x at)	Dostawca B (607500 x at)
1	0,9091	504 550,5	552 278.25
2	0,8264	458 652	502 038
3	0,7513	416 971,5	456 414,75
4	0,683	379 065	414 922,5
5	0,6209	344 599,5	377 196,75
	SUMA	2 103 838,5	2 302 850,25

NPV_A = 2 103 838,5 - 2 000 000 = 103 838,5 zł.

NPV_B = 2 302 850,25 - 2 200 000 = 102 850,25 zł.

Mimo wzrostu kosztów o 5 % mamy nadal nadwyżkę finansową, z tym że nieco lepszy (o 988,25 zł.) jest wariant z dostawcą A.

*

3. Zakładamy wzrost kosztów o 10 % i badamy

efektywność przedsięwzięcia

W analizowanym przypadku roczny koszt wytworzenia produktów na instalacji zakupionej od A wynosi : 990 000 zł. rocznie, a od B - 935 000 zł. Przepływy finansowe netto wyniosą odpowiednio :

(15000000-990000= 510 000 zł. i (1500000-935000= 565 000 zł.

Zdyskontowana wartość przepływów finansowych netto

Rok	At dla i = 0,1	Dostawca A	Dostawca B
1	0,9091	463 641	513 641,5
2	0,8264	421 464	466 916
3	0,7513	383 163	424 484,5
4	0,683	348 330	385 895
5	0,6209	316 659	350 808,5
	SUMA	1 933 257	2 141 745,5

NPV_A = 1 933 257 - 2 000 000 = - 66 743 zł.

NPV_B = 2 141 745,5 - 2 200 000 = - 58 254,5

Przy założeniu jak wyżej oba projekty odrzucamy

Wykres NPV dla obu projektów

Dla sporządzenia wykresu (odręcznie) znajdujemy wartości NPV dla A i B przy zerowej stopie dyskontowej (dla i=0, a_t=1)

NPV_{A dla i=0}= 3000000-2000000=1000000zł.

NPV_{B dla i=0}= 3250000-2200000=1050000zł.

NPV_A<NPV_B

Wykorzystujemy obliczone wcześniej IRR dla A i B

IRR_A>IRR_B

W przykładzie powyższym mamy do czynienia z sytuacją, gdy do pewnej stopy dyskontowej wyższa jest wartość NPV_B a od tej stopy (i=0,079) wyższą wartość przyjmuje NPV_A.

Dla stopy dyskontowej równej 7,9 proc. NPV_A=NPV_B i wynosi około

396 tys. zł. JEST TO TZW. STOPA FISZERA

Obliczenie wskaźnika Benefict Cost Ratio B/C Ratio

Wskaźnik B/C Ratio jest ilorazem zdyskontowanych wartości korzyści, uzyskanych w całym okresie obliczeniowym do zdyskontowanych wartości nakładów inwestycyjnych i kosztów eksploatacji.

Projekt akceptujemy gdy jego wartość jest większa od jedności.

Najczęściej stosowana formuła wskaźnika przybiera postać:

Gdzie :

B_t - łączna wartość efektów uzyskanych w roku t;

C_t - łączna wysokość nakładów pieniężnych poniesionych w roku t, na realizację przedsięwzięcia inwestycyjnego oraz eksploatację inwestycji;

i - stopa dyskontowa w skali roku;

t - indeks poszczególnych lat realizacji inwestycji (t=0,1,…m) oraz eksploatacji obiektu inwestycyjnego (t=1,2,…n);

a_t - współczynnik dyskontowy dla roku t.

Obliczenie zdyskontowanych korzyści i kosztów dla dostawców A i B

( przy i = 0,1)

Rok, at	BtAiB	BtAiB x at	Ct	CtA x at	CtB	CtB x at
0, 1	-	-	2000000	2000000	2200000	2200000
1, 0,9091	1500000	1363650	900000	818190	850000	772735
2, 0,8264	1500000	1239600	900000	743760	850000	702440
3, 0,7513	1500000	1126950	900000	676170	850000	638605
4, 0,683	1500000	1024350	900000	614700	850000	580550
5, 0,6209	1500000	931350	900000	558810	850000	527765

7500000 5686050 6500000 5411630 6450000 5422095

B/CRatio
=1,0507 B/CRatio
=1,0487

dla A dla B

W obu przypadkach B/CRatio jest większe od jedności - projekty akceptujemy, nieco lepszy jest projekt A .

Obliczenie zdyskontowanych korzyści i kosztów dla dostawców A i B

( przy i = 0,16 )

Rok	at	BtAiB	BtAiB x at	CtA	CtA x at	CtB	CtB x at
0	1	-	-	2000000	2000000	2200000	2200000
1	0,8621	1500000	1293150	900000	775890	850000	732785
2	0,7432	1500000	1114800	900000	668880	850000	631720
3	0,6407	1500000	961050	900000	576630	850000	544595
4	0,5523	1500000	828450	900000	497070	850000	469455
5	0,4761	1500000	714150	900000	428490	850000	404685

4911160 4946960 4983240

B/CRatio=
=0,9928 B/CRatio=
=0,9856

dla A , przy i=0,16 dla B, przy i=0,16

W obu przypadkach B/CRatio jest mniejsze od 1

Projekty odrzucamy

Rozpatrzmy sytuację , w której i = 0,0 , wówczas a_t = 1 skąd otrzymamy :

B/CRatio=
=1,1539

dla A, przy i=0,0

B/CRatio
1,1628

dla B, przy i=0,0

Przy zerowej stopie dyskontowej B/CRatio dla B > od B/CRatio dla A

Co potwierdza wcześnie dokonane ustalenia związane ze stopą Fischera.

Obliczanie Wskaźnika Dochodów i Wydatków B/C Ratio

Przedsiębiorstwo zamierza zrealizować inwestycję, której spodziewane przepływy finansowe przedstawiono w tab. nr 1

Tab. nr 1 Planowane przepływy finansowe projektu [mln. PLN]

Wyszczególnienie /rok	Rok 1	Rok 2	Rok 3	Rok 4	Rok 5	symbol
Nakłady inwestycyjne	10,0	2,0	-	-	-	I t(Ct1)
Koszty eksploatacyjne	0	3,0	3,0	2,5	2,0	Ct2
Wpływy	0	10,0	8,0	6,0	4,0	Bt

Tab. nr 2 Wpływy i koszty ogółem [mln. PLN]

Wyszczególnienie /rok	Rok 1	Rok 2	Rok 3	Rok 4	Rok 5
Nakłady + koszty	10,0	5,0	3,0	2,5	2,0
Wpływy	-	10,0	8,0	6,0	4,0

Suma nakładów inwestycyjnych i kosztów eksploatacji = 22,5 mln. PLN

Suma wpływów = 28,0 mln. PLN

B/C Ratio dla i=0,0

B/C Ratio dla i=0,1 ( 10 proc.)

Tab. nr 3 Zdyskontowane wpływy finansowe netto [mln. PLN]

Wyszczególnienie / rok	Rok 1	Rok 2	Rok 3	Rok 4	Rok 5	Suma
Wpływy	0	10	8	6	4
at	0,9091	0,8265	0,7513	0,683	0,6209
Bt at	0	8,265	6,0104	4,098	2,4836	20,857

Tab. nr 4 Zdyskontowane koszty finansowe (C_t1 + C_t2) [mln. PLN]

Wyszczególnienie/rok	Rok 1	Rok 2	Rok 3	Rok 4	Rok 5	Suma
Nakłady + koszty	10,0	5,0	3,0	2,5	2,0
at	0,9091	0,8265	0,7513	0,683	0,6209
Ct at	9,0909	4,1323	2,2539	1,7075	1,2418	18,4264

B/C Ratio =
=1,1319

B/C Ratio dla i=0,14 (14 proc.)

Tab. nr 5 Zdyskontowane wpływy i koszty finansowe [mln. PLN]

dla i = 14 proc.

Wyszczególnienie/rok	Rok 1	Rok 2	Rok 3	Rok 4	Rok 5	Suma
Wpływy	0	10,0	8,0	6,0	4,0
at	0,8772	0,7695	0,675	0,5921	0,5194
Bt at	0	7,695	5,4	3,5526	2,0776	18,7252
Nakłady + koszty	10,0	5,0	3,0	2,5	2,0
at
Ct at	8,772	3,8475	2,025	1,48025	1,0388	17,16355

B/C Ratio =
= 1,091

B/C Ratio dla i = 0,2 (20 proc.)

Tab. nr 6 Zdyskontowane wpływy i koszty finansowe [mln. PLN]

dla i = 20 proc.

Wyszczególnienie/rok	Rok 1	Rok 2	Rok 3	Rok 4	Rok 5	Suma
Wpływy	0	10,0	8,0	6,0	4,0
at	0,8333	0,6944	0,5787	0,4823	0,4019
Bt at	0	6,944	4,6296	2,8938	1,6076	16,075
Nakłady + koszty	10,0	5,0	3,0	2,5	2,0
at
Ct at	8,333	3,472	1,736	1,2057	0,8038	15,5505

B/C Ratio =

B/C Ratio dla i = 0,24 (24 proc.)

Tab. nr 7 Zdyskontowane wpływy i koszty finansowe [mln. PLN]

dla i = 24 proc.

Wyszczególnienie/rok	Rok 1	Rok 2	Rok 3	Rok 4	Rok 5	Suma
wpływy	0	10,0	8,0	6,0	4,0
a t	0,8065	0,6504	0,5245	0,423	0,3411
Bt at	0	6,504	4,196	2,538	1,3644	14,6024
Nakłady + koszty	10,0	5,0	3,0	2,5	2,0
at
Ct at	8,065	3,252	1,5735	1,0575	0,682	14,6302

B/C Ratio =

/ Sobczyk M.: Matematyka finansowa Agencja Wydawnicza Placet Warszawa 1995 r. ,s.47 - 48

/ Rzeczpospolita nr 96 (7693) 2007 r. dodatek Ekonomia & Rynek

/ jw.

/ Rzeczpospolita nr 232 (8133) 2008 r. dodatek Ekonomia & Rynek . Średnia rentowność na przetargu bonów skarbowych 52-tyg. - 6,43%, obligacji skarbowych 5-letnich - 7,00 %.

Rzeczpospolita 2.10.2009 r.. Dodatek jw. Średnia rentowność na przetargu bonów skarbowych 52 - tygodniowych - 4.40 proc., obligacji skarbowych 5 - letnich - 5,76 proc.

W praktyce często przyjmujemy w obliczeniach uproszczenie polegające na uzależnianiu stopy amortyzacji od okresu eksploatacji

Wartości współczynników dyskontowych znajdujemy w tablicach będących załącznikiem do większości podręczników traktujących o efektywności inwestycji

Jest to formuła uproszczona, zakłada bowiem liniowy (a nie wykładniczy) przebieg krzywej NPV

Przy i = 0, a
= 1 stąd
NPV = 175000-150000=25000.- zł. a więc mamy nadwyżkę finansową.

Rzeczpospolita . Dodatek Ekonomia & Rynek nr 276 (8787)

Formuła obliczania NPV jak w przykładzie poprzednim

jak wyżej

Jeżeli nie korzystamy z odpowiedniego programu komputerowego, aby uniknąć zbędnych obliczeń, przyjmujemy stopę procentową nieco mniejszą od obliczonej wcześniej ARR

30

---