Metody numeryczne zajmują się szukaniem i udoskonalaniem sposobów rozwiązania zadań matematyki za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych i logicznych.
Konieczność zastąpienia pewnych wielkości - wielkościami przybliżonymi.
Budując rozwiązanie przybliżone, musimy więc umiejętnie ocenić jego dokładność, szacując wielkości błędów popełnianych na kolejnych etapach budowy modelu obliczeniowego i jego rozwiązywania.
Algorytm- przepis, według którego realizowane są obliczenia.
Program- algorytm wraz z szeregiem dodatkowych informacji związanych z techniką obliczeń napisany w języku „zrozumiałym” przez maszynę matematyczną.
Podstawowe podzespoły maszyn cyfrowych i ich wzajemne powiązania.
Użytkownika komputera obowiązuje znajomość zasad pracy urządzeń: wejścia, wyjścia i pamięci.
Pamięć przechowuje 2 rodzaje informacji:
- liczby związane z analizowanym problemem;
- oraz rozkazy określające operacje, jakie urządzenie ma wykonać.
Operacje możemy podzielić na następujące grupy:

1. Operacje arytmetyczne,

2. Operacje logiczne i sterujące,

3. Operacje przesyłania danych,

4. Operacje wejścia i wyjścia.

Jednostka sterująca - określa która z operacji ma zostań wykonana w danym momencie i z udziałem jakich liczb.
ARYTMETYKA STAŁOPRZECINKOWA I ZMIENNOPRZECINKOWA
Jeśli każda z liczb d-cyfrowych ma kropkę dziesiętną przed pierwszą cyfrą, to można założyć, że wszystkie te liczby są co do modułu mniejsze od 1.
Gdy wynikiem działania jest liczba co do modułu nie mniejsza od 1 - powstaje nadmiar.
Jeżeli urządzenie cyfrowe wykonuje działania arytmetyczne na liczbach o kropce dziesiętnej w stałym miejscu, to stosowany rodzaj arytmetyki nazywamy arytmetyką stałoprzecinkową.
Praktycznie wszystkie urządzenia cyfrowe umożliwiają prowadzenie działań stałoprzecinkowych jak i zmiennoprzecinkowych.
ARYTMETYKA WSPÓŁCZESNYCH KOMPUTERÓW- Obliczenia numeryczne
Współcześnie w obliczeniach numerycznych do reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych wykorzystywane są tzw. rozwinięcia systematyczne.
Zalety:
- proste algorytmy realizacji działań arytmetycznych,
- czytelność i prostota zapisu pozycyjnego
Najistotniejsze informacje o liczbie zawiera pierwsza, różna od zera cyfra i jej położenie względem kropki pozycyjnej.
Zapis półlogarytmiczny rozwinięć systematycznych
Każdą liczbę rzeczywistą x różne od 0 można zapisać w następującej postaci:


Gdzie: m - mantysa m1 różne od 0(warunek normalizacji),

c- cecha całkowita
LICZBY W ARYTMETYCE NUMERYCZNEJ/ZMIENNOPOZYCYJNEJ
Punktem wyjścia lub reprezentacji liczb a arytmetyce numerycznej, nazwanej także arytmetyką zmiennopozycyjną lub arytmetyką fl (floating-point-arithmetic) jest zapis półlogarytmiczny, w którym dopuszczamy jedynie stałą liczbę cyfr mantysy i ustalony zakres liczb całkowitych dla cechy.
Arytmetyka rozwinięć systematycznych względem bazy będącej potęgą liczby 2:
- baza=2 - arytmetyka dwójkowa,
- baza=8 - arytmetyka ósemkowa,
- baza-16- arytmetyka szesnastkowa
Szybkość obliczeń.
Generalnie , jeśli dwie metody służące do rozwiązywania tego samego zagadnienia różnią się jedynie ilością i rodzajem realizowanych operacji, a nie różnią się istotnie pod względem uzyskiwanych wyników, to powinniśmy stosować metodę wymagającą krótszego czasu obliczeń.
PODSTAWOWE POJĘCIA W SZACOWANIU BŁĘDÓW- Źródła błędów.
Błędy danych wejściowych- Tego typu błędy występują wówczas, gdy dane wejściowe pochodzą z pomiarów podlegających wpływowi błędów systematycznych lub czasowych zakłóceń.
Błędy numeryczne:
- błędy zaokrągleń w czasie obliczeń- zaokrąglenie wyników pośrednich przed wykonaniem kolejnych obliczeń,
- błędy obcięcia- występują gdy proces obliczania granicy jest przerywany przed osiągnięciem wartości granicznej.
Uproszczenia modelu matematycznego
Wynikają z idealizacji rzeczywistych sytuacji w większości zastosowań matematyki. Wielkość błędów wynikłych z uproszczenia modeli matematycznych jest zwykle trudniejsza do oszacowania niż w przypadku innego rodzaju błędów.
Błędy człowieka: błędy pisarskie, błędy popełniane w rachunkach „ręcznych” jak i zwykłych pomyłek
Błąd bezwzględny wartości przybliżonej dokładnej a.

Błąd względny dla
:

gdzie:
- poprawka.Jeśli spełniona jest nierówność:
to mówimy, że przybliżona liczba
przedstawia liczbę a z dokładnością do wielkości
.
Cyfry istotne w ułamku dziesiętnym-cyfry pozostałe po pominięciu zer na początku ułamka dziesiętnego.
Cyfry ułamkowe- wszystkie cyfry po kropce dziesiętnej-także ewentualnie zera między kropką dziesiętną a pierwszą cyfrą rożną od zera.
Poprawne cyfry ułamkowe- jeśli moduł błędu wartości
nie przewyższa to mówimy, że
ma t poprawnych cyfr ułamkowych.
Cyfry znaczące - cyfry istotne występujące w
aż do t-ej pozycji po kropce dziesiętnej nazywamy cyframi znaczącymi.
Skracanie liczb do danej długości t-cyfr ułamkowych: ucinanie, zaokrąglanie
Ucinanie- polega na odrzucaniu cyfr na prawo od t-ej cyfry.
Zaokrąglanie- jeśli fragment liczby znajdujący się na prawo od t-ej cyfry ułamkowej jest co do modułu:
- mniejszy od
, to t-tą cyfrę zostawia się bez zmiany;
- wiekszy od
, to do t-ej cyfry ułamkowej dodaje się 1;
- równy dokładnie
, można zwiększać t-ą cyfrę o 1, jeśli jest nieparzysta pozostawić bez zmiany.
Większość komputerów, w których wykonuje się zaokrąglenia, zwiększa liczbę we wspomnianym przypadku granicznym o
.

Oszacowanie błędu bezwzględnego wyniku odejmowania:

Oszacowanie błędu bezwzględnego wyniku dodawania:

Oszacowanie błędu względnego iloczynu:
,


Błąd względny ilorazu

Znoszenie się składników- występuje, gdy różnica dwóch argumentów jest znacznie mniejsza od każdego z nich.
Ogólny wzór dla przenoszenia się błędów:

gdzie:
- wartości przybliżone,y- funkcja zmiennych,
- błąd bezwzględny wartości x,
- błąd bezwzględny y,
- oszacowanie błędu
Błąd maksymalny - oszacowanie dla

Błąd standardowy (statystyczny)
- odchylenie standardowe przybliżonej zmiennej (traktowanej jako zmienna losowa)

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Istotą metod iteracyjnych jest uzyskanie ciągu x_o, x_2, x_2.. przypuszczalnie zbierznego do poszukiwanego pierwiastka.
W zależności od metody, aby uzyskać zbieżność - musimy określić:
- przedział zawierający poszukiwany pierwiastek [a,b];
- lub początkowe przybliżenie - dostatecznie bliskiego poszukiwania pierwiastka.
Wstępna analiza położenia pierwiastków równania f(x)=0 - wykreślenie funkcji;
- metody lokalizacji przedziałów występowania pierwiastków rzeczywistych (metoda tablicowa, wzór Maclaurina, Metoda Newtona itp.)
METODA BISEKCJI
Załóżmy że f(x) jest ciągła w [a₀, b₀] i że f(a₀) f(b₀)<0 => f(x) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty w analizowanym przedziale.
Wyznaczamy ciąg (a₁, b₁) -> (a₂, b₂)->…. Takich, że każdy z nich zawiera poszukiwany pierwiastek równania f(x)=0
Przy założeniu, że f(a₀)<0 i f(b₀)>0 przedziały I_k=(a_n, b_n) dla k=1,2,…) wyznaczamy następująco:

W związku z tym, że w każdym kroku przedział zmniejszamy o połowę jako wartość przybliżoną poszukiwanego pierwiastka α należy przyjąć:
α=c_n+1±d_n, d_n=2^-n-1(b₀-a₀)

Dla danego p.p. x₀ tworzymy ciąg: x_1, x_1, x_1,… w którym kolejne elementy x_n+1 wyznaczamy aproksymując funkcję f(x) za pomocą stycznej do wykresu w punkcie o współrzędnych (x_n,f(x_n)). Odcięta punktu przecięcia stycznej z osią x - wskazuje położenie x_n+1.
x_n+1 = x_n+h_n

Proces iteracji można zakończyć gdy [h_n] przyjmuje wartości mniejsze od dopuszczalnego błędu pierwiastka.
ZBIEŻNOŚĆ METODY NEWTONA
Twierdzenie:
Załóżmy że f`(x)≠0 i f``(x) nie zmienia znaku w przedziale [a,b] oraz, że iloczyn funkcji f(a)*f(b)<0

i
,wtedy metoda Newtona jest zbieżna dla dowolnego przybliżenia początkowego x₀ε[a,b]
METODA SIECZNYCH

aproksymacja pochodnej f`(x)

Metoda siecznych wynika z prostego przekształcenia metody Newtona wg której dokonano aproksymacji f`(x_n)
Dla p.p. x₀ i x₁ tworzony jest ciąg: x₂,x₃,… w którym dla f(x_n-1):
X_n+1=x_n+h_n


Odpowiada to przyjęciu x_n+1 jako odciętej punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty (x_n-1, f(x_n-1)) i (x_n, f(x_n)) z osią x-ów. f`(x)/f(x) > 0,44

ZBIEŻNOŚĆ METOD SIECZNYCH
Metoda siecznych jest zbieżna dla dostatecznie dobrych przybliżeń początkowych x₀ i x₁ gdy f`(α)≠0 oraz gdy f(x) ma ciągłą drugą pochodną.
Inne metody:
-regóła falsi;
- metoda Steffensona;
- metoda Mullera-Trauba;
OGOLNA TEORIA METOD TRADYCYJNYCH
Jeżeli x_n+1 możemy wyrazić przez wartości finkcji f(x) i jej pochodnych w punktach x_n, x_n+1,… x_n-m+1;
to φ-nazywamy funkcją iteracyjną!
-Metoda Newtona


-Metoda siecznych


ITERACYJNE ROZWIĄZANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH
Metody bezpośrednie zawsze prowadzą do rozwiązania układu - o ile takowe rozwiązanie istnieje.
Metody iteracyjne - startują z przybliżenia początkowego, które w kolejnych krokach stopniowo się ulepsza, aż do uzyskania dostatecznie dokładnego rozwiązania.

METODY ITERACYJNE

Metoda iteracji prostej (metoda Jacobego)
Liniowy układ postaci AX=f rozwiązujemy względem niewiadomych stojących na głównej przekątnej:
Zapis w formie macierzowej:

X=BX+g, (I-B)X=g
gdzie: I - macierz jednostkowa, AI=IA=A
Tworzymy następujący ciąg wektorów:

Przy „m”-> ∞ => X_m=X - będzie rozwiązaniem układu równań.
Zbieżność metody iteracji prostej
Dla zbieżności metody iteracji prostej Przy dowolnym wektorze początkowym x₀ i Przy dowolnej wartości wektora g wyrazów wolnych potrzeba i wystarcza, żeby wszystkie wartości własne macierzy B były co do wartości bezwzględnej mniejsze od jedności.
Twierdzenie
Dla zbieżności procesu iteracji prostej wystarcza, żeby którakolwiek z norm macierzy B była mniejsza od jedności
Elementy macierzy iteracji B:

Metoda iteracji prostej jest zbieżna dla macierzy A ze ściśle dominującą główną przekątną.

METODA SEIDLA (GAUSSA-SEIDELA)
W metodzie Seidla do obliczenia k-tej składowej wektora X_m+1 w kolejnych przybliżeniach wykorzystujemy k-1 wcześniej obliczonych pierwszych składowych tego wektora.
ZBIEŻNOŚĆ METODY SEIDLA
Twierdzenie
Jeśli norma max macierzy B jest mniejsza od jedności:


to metoda seidla jest zbieżna (kryterium dostatecznej zbieżności).
TWIERDZENIE
Dla zbieżności Seidla w zastosowaniu so układu:
X=(B1=B2)X+g, gdzie:

,

Potrzeba i wystarczy, żeby wszystkie wartości własne macierzy M=(I-B1)^-1 B2 - były co do wartości mniejsze od jedności.
Met bezpośrednie rozwiązania ukł rów liniowych- roz- metody, które przy założeniu braku błędów zaokrągleń dają dokładne roz po skończonej liczbie kroków. Najefektywniejsze gdy większość elem macierzy A ≠0. Wybór met zależy od liczby i rozmieszczenia oraz znaku i wielkości elem ≠0 macierzy A.
Met bezpośrenie: cramera, Gauss, met Chaleckiego,metoda rzutu ortogonalnego.
Ukł jednorodne (wszystkie wyrazy wolne =0) zawsze mają rozw.
Ukła niejed mają rozw gdy wyznacznik macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych ≠0 (det≠0).
Reguła Cramera: x_i=
gdzie IAiI wyz macierzy Ai otrzymanej w wyniku zamiany i-tej kolumny macierzy A z kolumną wyrazów wolnych.
Met Gauss- Jordana: -każdy z etapów eliminacji poprzedzany jest wyszukiwaniem max co do wartości bezwzględnej współ macierzy A, który obieramy za współ kierunkowy układu w danej podmacierzy -konieczność poddawania poszczególnych podmacierzy operacjom przekształceń elementarnych -w pewnych przypadkach zapewnia większą dokładność rozw.

DOPASOWANIE KRZYWEJ-APROKSYMACJI
APROKSYMACJA- określenie/konstruowanie przybliżonych zależności analitycznych opisujących prawidłowości dla zmiennych losowych (w formie zbiorów n+1 punktów x1, x2, … , xn) pochodzących z badań eksperymentalnych lub pomiarów.

Kryteria oceny trafności wyboru funkcji aproksymacyjnej[1]:

• kryterium minimalizacji modułu maksymalnego odchylenia wartości eksperymentalnych od wartości funkcji aproksymującej,

• kryterium minimalizacji sumy modułów odchyleń,

• kryterium minimalizacji sumy kwadratów odchyleń

Przybiżenie średniokwadratowe dla danego wyrażenia analitycznego f(x) w przedziale [a,b]:

Przybliżenie średniokwadratowe dla funkcji f(x) danej w n+1 punktach:

Odchylenie średniokwadratowe funkcji f(x) i P(x) w przypadku wyrażenia f(x) zapisanego analitycznie:

Odchylenie średniokwadratowe funkcji f(x)i P(x)w przypadku wyrażenia f(x)danego n+1 punktach:

?

Przybliżenie średniokwadratowe dla funkcji f(x)danej n+1 punktach:

Odchylenie średniokwadratowe funkcji f(x)i P(x)w przypadku wyrażenia f(x)zapisanego analitycznie:

Odchylenie średniokwadratowe funkcji f(x)i P(x)w przypadku wyrażenia f(x) danego w n+1 punktach:

Metoda najmniejszych kwadratów w przypadku ciągu punktów

Przyjmnijmy że dysponujemy wartościami dokładnymi lub przybliżonymi y₀, y_1, ...,y_n funkcji f(x) w punktach: x₀, x₁, …, x_n.

Poszukujemy takiego wielomianu stopnia m(przy m<m),

P_n(x)=a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ,

który spełni kryterium minimalizacji sumy kwadratów odchyleń:

²

Metoda najmniejszych kwadratów w przypadku punktów:

Przyjmnijmy, że dysponujemy wartościami dokładnymi lub przybliżonymi: y₀, y_1, ...,y_n funkcji f(x) w punktach: x₀, x₁, …, x_n.

Poszukujemy takiego wielomianu stopnia m (przy m<n),

P_m(x)=a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m,

który spełni kryterium minimalizacji sumy kwadratów odchyleń:

²

Metoda najmniejszych kwadratów w przypadku odcinka:

rozpatrujemy całkę:

przyrównując pochodne cząstkowe całki I względem współczynników a_k poszukiwanego wielomianu otrzymujemy układ równań postaci:

-uzyskujemy układ równań m+1 równań liniowych, którego rozwiązaniem jest wektor A^*:

-uzyskujemy układ równań o symetrycznej macierzy podstawowej(dokładnie jedno rozwiązanie A^*=a_k spełniające kryterium minimalizacji sumy kwadratów odchyleń):

CA^*=d

-Schemat obliczeń elementów c_k i d_k

CA*=d

schemat obliczeń elementów c_n i d_n

x0	x1	…	x^2m	x^0y	x^1y	…	x^my
1 1 1 …	x0 x1 x2 …	… …	x 0^2m x 1^2m x 2^2m ...	y0 y1 y2 ..	x0y0 x1y1 x2y2 ..	… …	x0^my0 x1^my1 x2^my2 …
c0	c1	…	c2m	d0	d1	…	dm

METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW W PRZYPADKU ODCINKA:

Rozpatrujemy całkę
. Porównując pochodne cząstkowe całki I względem współczynników a_k poszukiwanego wielomianu otrzymujemy układ postaci
, k=1,2,…,m
Rozwiązanie zapewnia uzyskanie najlepszego średniokwadratowego przybliżenia funkcji y= f(x) na odcinku [a,b].

Wykorzystanie innych funkcji aproksymujących niż wielomiany stopnia m prowadzi do konieczności rozwiązywania nieliniowych układów równań normalnych.

Tylko w nielicznych przypadkach uzyskiwany jest układ równań liniowych (dzięki prowadzeniu jednej lub kilku nowych zmiennych).

PRZYKŁAD: Za przykład może posłużyć funkcja
, którą logarytmując obustronnie lny=lnb+a₁x+a₂x² a następnie podstawiając nową zmienną: Y=lny i nowy parametr a₀=lnb otrzymamy wielomian w dogodnej formie Y= a₀+a₁x+a₂x² => a₀,a₁,a₂=> b=e^a0 => poszukiwana postać funkcji aproksymującej. WERYFIKACJA APROKSYMACJI
x_i,y_i- odpowiednio wartości dane i uzyskane w wyniku aproksymacji,
- średnie arytmetyczne z wartości x_i,y_i

INTERPOLACJA, EKSTRAPOLACJA

INTERPOLACJA funkcji f(x)- przybliżanie funkcji za pomocą P(x), która w danych punktach x₀,x_1,x₂,…,x_n. przyjmuje identyczne wartości jak f(x) tzn: y₀,y_1,y_2,…,x_n.

Węzły interpolacji (punkty interpolacji)-punkty x₀,x_1,x₂,…,x_n.

Funkcja interpolującą - funkcja P(x).

INTERPOLACJA PARABOLICZNA - interpolacja za pomocą wielomianów potęgowych stopnia niższego niż liczba danych węzłów interpolacji, przez które funkcja musi przechodzić:

Inne rodzaje interpolacji:

-wielomianami trygonometrycznymi

-funkcjami wymiernymi

WZÓR INTERPOLACYJNY/WIELOMIAN LAGRANGE'A

Dla danych argumentów: x₀,x_1,x₂,…,x_n i odpowiadających im wartości funkcji y_i=f(x_i), poszukiwany jast wielomian P(x):

P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ.

a)P(x)-w oparciu o rozwiązanie układu równań:

Zakładając, zeP(x) musi przyjmować w węzłach x_i, te same wartości co f(x) otrzymujemy układ n+1 równań z niewiadomymi współczynnikami a₀,a_1,a_2,…,a_n.

b)-bez konieczności rozwiązywania układu równań:

P_n(x)=y₀Q_n⁰(x)+y₁Q_n¹(x)+y₂Q_n²(x)+…+y_nQ_nⁿ(x).

Wielomiany fundamentalne Q_n^k(x_i)(współ. Lagrange'a)-przyjmują wartość,,1” przy i=k oraz wartość ,,0” przy i≠k:

x₀,x_1,x_2,…,x_n-1-pierwiastki wielonianu

WZÓR INTERPOLACYJNY/WIELOMIAN LAGRANGE'A:

w formie rozwiniętej:

Bardziej zwartą formę uzyskamy wprowadzając oznaczenia:

Π(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)_,

Π(x)=(x_k-x₀)(x_k-x₁)…(x_k-x_k-1)( x_k-x_k-1)…( x_k-x_n).

Interpolacja procesem liniowym Aitkena:

P_0,1,2,…n(x)- wielomian interpolacyjny stopnia n utworzony w punktach interpolacji: x₀,x₁,x_2,…,x_n,

Wielomiany interpolacyjne pierwszego stopnia P_0,j+1(x):

itd.

Schemat interpolacji procesem liniowym Aitkena:

xj	yj	I	II	III	IV	xi-x
x0	y0				…	x0-x
x1	y1	P0,1(x)			…	x1-x
x2	y2	P0,2(x)	P0,1,2(x)		…	x2-x
x3	y3	P0,3(x)	P0,1,3(x)	P0,1,2,3(x)	…	x3-x
…	…	…	…	…	…	…

Iloraz różnicowy pierwszego rzędu:
f(x,x_o)=[y₀+(x-x₀)f(x,x₀)]- y₀/x-x₀
Iloraz różnicowy drugiego rzędu:
f(x,x₀,x₁)=[f(x_o,x₁)+(x-x₁)f(x,x₀,x₁)]-f(x₀,x₁)/x-x₁
Wzór interpolacyjny Newtona:
f(x)=y₀+(x-x₀)f(x₀,x₁)+(x-x₀)(x-x₁)*f(x₀,x₁,x₂)+…+(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1)*f(x_0,x₁,…,x_n)
Interpolacja w przód i wstecz - wzór Newtona
Interpolacja funkcji o wartościach x bliskich wartościach początkowego punktu interpolacji x₀, w przypadku, gdy pomiędzy węzłami interpolacji występują stałe odstepy h.
Wzór Newtona interpolacji w przód
f(x)=f(ht+x₀)=y₀+t∆y₀+t(t-1)/2! ∆²y₀+ t(t-1)(t-2)/3! ∆³y₀+…+ t(t-1)…(t-n+1)/n! ∆ⁿy₀
Interpolacja funkcji o wartościach x bliskich punktowi interpolacji x_n:x-x_n/h=t
Wzór interpolacyjny Newtona z różnicami wstecznymi:
f(x)=f(ht+x_n)=y_n+t∆y_n-1+t(t+1)/2! ∆²y_n-2+ t(t+1)(t+2)/3! ∆³y_n-3+…+ t(t+1)…(t+n-1)/n! ∆ⁿy₀
Ekstrapolacja. Przedłużanie tablic.
Stopień wielomianu interpolacyjnego przyjmujemy zazwyczaj równy różnic praktycznie stałych. Przedłużanie tablic o jeden krok na ich początku i końcu
f(x)=f(ht+x₀)=y₀-∆y₀+∆²y₀-∆³y₀+..+(-1)ⁿ∆ⁿy₀
różniczkowanie numeryczne
h-krok zadanej punktowo funkcji
pochodna funkcji:
lewostronna: f'(x₀)=f(x₀)-f(x₀-h)/h
centralna: f'(x₀)= f(x₀+h)-f(x₀-h)/2h
prawostronna: f'(x₀)=f(x₀+h)-f(x₀)/h
f(x)o ciągłych pochodnych rzedu n-1 w <a,b> można przedstawić w postaci:
f(x)=P_n(x)+R(x)
błąd bezwzględny różniczkowania: dR(x)/dx, d²R(x)/dx²
różniczkowanie numeryczne za pomocą wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a


Wzory na różniczkowanie numeryczne
Dla m=2:

Dla m=3:

Pochodne centralne
Dla n=2

Dla n=4

Dla n=6
Wzory różnicowe różniczkowania numerycznego

Wzór interpolacyjnyBessela
Rozwiązywanie równań różniczkowych wyczajnych
Problem początkowy dla równań pierwszego rzędu

Wzory Rungego-Kutty IV rzędu do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
I rzędu


Problem początkowy dla równań drugiego rzedu
z''(x)=f(x,y,y')
Wzory Rungego-Kutty-Nystroma rzędu do numerycznego
rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
II rzędu

i=1 x₁=x₀+h
Y₁=Y₀+1/6[k₁+2*k₂+2*k₃+k4]
K₁=h*f(x₁,y₁)=h[x₁+y₁]
K₂=h*f(x₁+h/2,y₁+k₁/2)=h*[x₁+h/2+y₁+k₁/2]
K₃=h*f(x₁+h/2, y₁+k₂/2)=h[x₁+h+y₁+k₃]
Metody obliczeniowe(metody komputerowe)- metody przybliżonych rozwiązań problemów fizycznych, opisywanych przez modele matematyczne.
Budowa modelu matematycznego(modelu obliczeniowego): możliwie prosta postać modelu, model musi uwzględnić najistotniejsze czynniki obejmujące zbiór przyjętych odpowiednich założeń, model musi być dostosowany do rozwiązania problemu przy użyciu metod komputerowych.
Modele matematyczne: mogą nimi być: problemy dla równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych oraz funkcjonały podlegające minimalizacji.; przybliżone odwzorowanie problemu rzeczywistego; konieczność weryfikacji rozwiązania
Stopień złożoności stosowanych metod zależy od : typu zadania, rodzaju konstrukcji. Model obliczeniowy konstrukcji jest tworzony przy rozwiązywaniu każdego z zagadnie brzegowo- początkowych mechaniki ciał odkształcalnych.
Zagadnienia brzegowo-początkowe są opisywane za pomocą układów równań różniczkowych i algebraicznych ,warunków granicznych (początkowych i brzegowych) oraz warunków ograniczających (wytrzymałościowych, sztywnościowych i technologicznych).
Model dyskretny układu: scharakteryzowany za pomocą skończonej liczby parametrów- stopni swobody jednoznacznie opisujących zachowanie się ustroju dyskretnego; proces dyskretyzacji ściśle wiąże się z idea danej metody obliczeniowej.
Obliczanie ustrojów ciągłych polega na rozwiązywaniu tzn zagadnień początkowo brzegowych. Rozwiązaniem SA funkcje ciągle, rozpięte nad całym badanym obszarem: sformułowanie lokalne obszaru, sformułowanie globalne obszaru.
Sformułowanie lokalne- wprowadzenie kompletu równań różniczkowych i równań algebraicznych, które opiszą dany problem z uwzględnieniem zarówno warunkow początkowych jak i brzegowych.
Równania muszą być spełnione w każdym punkcie rozpatrywanego obszaru, a warunki brzegowe na jego brzegu: rozwiązanie dla zbudowanego modelu matematycznego można uzyskać przy wykorzystaniu metod ścisłych (analitycznych) i przybliżonych; tylko nieliczne zagadnienia mają rozwiązanie analityczne; rozwiązanie analityczne umozliwia przeprowadzenie oceny dokładności rozwiązań przybliżonych.
Sformułowanie globalne- Uzyskanie rozwiązania w wyniku minimalizacji pewnego funkcjonału. W analizie zagadnień mechaniki ciała sprężystego takim funkcjonalem jest całkowita energia potencjalna.
W sformułowaniu globalnym wykorzystujemy zasadę minimum całkowitej energii potencjalnej, równoważna zasadzie prac wirtualnych, z przyjęciem wirtualnych wielkości kinematycznych i rzeczywistych wielkości statycznych. Zgodnie z zasadą minimum całkowitej energii potencjalnej- ze wszystkich kinematycznie dopuszczalnych funkcji przemieszczeń tylko te opisują rzeczywisty stan równowagi, dla których jest spełniony warunek minimalnej wartości całkowitej energii potencjalnej.
Zgodnie z zasadą prac wirtualnych - wariacja funkcjonału pracy sił wewnętrznych jest równa wariacji funkcjonału pracy sil zewnętrznych.
Zagadnienia brzegów zginania belki prostej można opisać na trzy sposoby:

1. za pomocą czterech równań: fizyczne: M(x)=EJ_K(x); kinematyczne: _k(x)=-(d²v(x))/dx² ; dwóch równań równowagi: dT(x)/dx=-p_y(x) , dM(x)/dx=T(x)

2. za pomocą równań różniczkowych drugiego rzędu: d²v(x)/dx²=-M(x)/EJ

3. za pomocą przemieszczeniowego równania różniczkowego: EJ((d⁴v(x))/dx⁴=p_y(x)

Warunki brzegowe Ad. C:
-dla x₀=0 (dwa kinematyczne warunki brzegowe (tzw. Istotne))
v(x₀)=0 oraz φ(x₀)= v'(x₀)=0
-dla x_L=L (dwa statyczne warunki brzegowe (tznw. Naturalne):
M(x_L)=EJ_K(x_L) = - EJv”(x_L)=M*
T(x_L)=M'(x_L) = - EJv”'(x_L)=P*
W analizowanym przypadku funkcjonałem, który musi sie odnosić do całej belki xϵ[0,L] jest całkowita energia potencjalna zginanej belki π[v(x)]. π=U-W w którym:
-U- suma energii sprężystej zginania: U=1/2 całka (od zera do L) M_Kdx=
= 1/2całka(od zera do L) EJ_K²dx= ½ całka (od 0 do L)EJ(v”)²dx
-W - potencjałem obciążenia (praca obciążenia zewnętrznego W ze znakiem minus):
W=całka (od 0 do L) p_yvdx+(T_Lv_L-M_Lφ_L)+(-T₀v₀+M₀φ₀)
Warunek minimum całkowitej energii potencjalnej: πδ=0
Równanie Eulera: obowiązuje w całym przedziale xϵ[0,L] przemieszczeniowe rówanie różniczkowe (równanie równowagi); EJv^iv=p_y
- warunki brzegowe statyczne dla dowolnych wariacji na obu brzegach belki oznaczonych indeksem i=0 lub L: v”_i=-M_i/EJ v”'_i=-T_i/EJ
Δπ=0 -> δU=δW - minimum całkowitej energii potencjalnej układu
δLw=δLz ->δU=δW - zasada prac wirtualnych

Metoda Elementów skończonych- MES
DYSKRETYZACJA UKŁADU- proces przejścia z układu ciągłego do układu dyskretnego
Mechaniczny model rzeczywistej konstrukcji zamieniamy na układ dyskretny, złożony ze zbioru węzłów i elementów skończonych.
Najpopularniejsza wersja MES-u polega na przybliżonym opisie pół przemieszczeń i jest odpowiednikiem macierzowej wersji metody przemieszczeń
OPIS FUNKCJI PRZEMIESZCZEŃ D(x)=N(x)q^e
D(x)- wektor uogólnionych przemieszczeń dowolnego punktu wewnątrz ES
N(x)- macierz funkcji kształtu
q^e- wektor uogólnionych przemieszczeń węzłowych elementu skończonego
ZWIĄZKI MACIERZOWE- pomiędzy przemieszczeniami i odkształceniami, odkształceniami i naprężeniami :

E(x)- wektor uogólnionych odkształceń ES
S(x)- wektor uogólnionych sił przekrojowych ES
Wyprowadzenie podstawowych macierzy i wektorów (sformułowanie globalne wykorzystujące zasadę prac wirtualnych dla indywidualnego ES)

gdzie:

- wariacja pracy uogólnionych naprężeń na wariacjach odkształceń,

-praca obciążeń zewnętrznych i sił bezwładności (zależnych od
) na wariacjach przemieszczeń z wnętrza ES oraz oddziaływań reakcji przywęzłowych na wariacjach węzłowych przemieszczeń

- gęstość masy

- wektor przyspieszenia
Uwzględnienie związków kinematycznych i fizycznych oraz wariacji funkcji przemieszczeń

Prowadzi do:

gdzie:

- macierz sztywności liniowej

- konsystentna macierz mas

- wektor węzłowych zastępników obciążenia

OGÓLNE RÓWNANIE RÓWNOWAGI ELEMENTU SKOŃCZONEGO

Dla problemu statyki

Zasadę prac wirtualnych dla całego układu można zapisać sumując wkłady poszczególnych ES. Etap ten nazwany jest AGREGACJĄ
Przejście z LOKALNEGO układu współrzędnych do układu GLOBALNEGO związanego z całą konstrukcją zapewnia macierz transformacji T^e
MACIERZOWE RÓWNANIE RÓWNOWAGI STATYCZNEJ całego zdyskretyzowanego układuKQ=P+Z+R
K- globalna macierz sztywności układu
Q- wektor globalnych przemieszczeń układu

P- wektor zewnętrznych przemieszczeń węzłowych
Z- wektor globalnych zastępników obciążeń elementarnych

R- wektor globalnych reakcji w węzłach podporowych
OPIS WYBRANYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Element kratowy płaski
Opis pól dowolnego punktu wewnątrz elementu kratowego
d(x)={u(x)}- wektor przemieszczeń dowolnego pkt elementu kratowego wzdłuż jego osi
e(x)={ε_x(x)}- wektor odkształcenia osiowego (odkształcenie osiowe)
s(x)={N(x)}- wektor uogólnionych sił przekrojowych
Opis pola przemieszczeń węzłów i elementów elementu kratowego
q_w={u_(w)}- wektor przemieszczeń węzła w układzie lokalnym
Q_w= {U_wV_w}- wektor przemieszczeń węzła w układzie globalnym
q^e={q₁q₂}={u₁u₂}- wektor przemieszczeń elementu w układzie lokalnym
Q^e={Q₁Q₂Q₃Q₄}={U₁V₁U₂V₂}- wektor przemieszczeń elementu w układzie globalnym
LINIOWE FUNKCJE INTERPOLUJĄCE- N_i- wykorzystujemy wewnątrz kratowego ES


gdzie:
- lokalna bezwymiarowa współrzędna

- macierz funkcji kształtu

=[

MACIERZ SZTYWNOŚCI kratowego elementu skończonego w układzie lokalnym k^e

Globalna macierz sztywności K^e

α- kąt nachylenia lokalnej osi (x) elementu względem osi globalnej(X)

Macierz MAS elementu kratowego w układzie globalnym

Dwuwęzłowy element belkowy
d(x)={v(x)}- wektor przemieszczeń- ugięcie dowolnego pkt wewnątrz elementu skończonego na kierunku osi y
e(x)={k(x)}- wektor uogólnionego odkształcenia -krzywizna w dowolnym pkt elementu o współrzędnej xs(x)={M(x)}- wektor uogólnionych sił przekrojowych- moment zginający w dowolnym pkt elementu o współrzędnej x
q_w={v_wφ_w}- wektor uogólnionych przemieszczeń węzła (w układzie lokalnym)- ugięcie oraz kąt obrotu normalnej do przekroju poprzecznego elementu
q^e={q₁q₂q₃q₄}={v₁φ₁v₂φ₂}- wektor uogólnionych przemieszczeń elementu skończonego belkowego w układzie lokalnym
Opis funkcji ugięcia elementu belkowego- za pomocą wielomianów trzeciego stopnia (tzw. Wielomianów Hermite'a)
d

Związek kinematyczny

Związek fizyczny

Macierz sztywności elementu belkowego

ELEMENT RAMOWY PŁASKI
d(x)={u(x) v(x)}- wektor przemieszczeń-przemieszczenie dowolnego pkt elementu wzdłuż jego osi oraz jego ugięcie na kierunku osi y
e(x)={ε_x(x) k(x)}- wektor uogólnionych odkształceń- odkształcenie osiowe oraz krzywizna w dowolnym pkt elementu
s(x)={N(x) M(x)}- wektor uogólnionych sił przekrojowych- siła podłużna oraz moment zginający w dowolnym pkt elementu o współrzędnej x
q_w={u_w v_wφ_w}- wektor uogólnionych przemieszczeń węzła w układzie lokalnym - przemieszczenie, ugięcie oraz kąt obrotu normalnej do przekroju poprzecznego elementu Wektor uogólnionych przemieszczeń elementu skończonego
q^e={q₁q₂q₃q₄ q₅ q₆}={u₁ v₂ φ₁ u₂ v₂φ₂}- w układzie lokalnym
Q^e={Q₁ Q₂ Q₃ Q₄ Q₅ Q₆}={U₁ V₂ φ₁ U₂ V₂φ₂}- w układzie globalnym
Wektor WĘZŁOWYCH ZASTĘPNIKÓW
Dla elementu belkowego

Dla elementu ramowego

---