AKADEMIA EKONOMICZNA

IM. OSKARA LANGEGO

WE WROCŁAWIU

WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA I INFORMATYKI

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

(wybrana problematyka)

WYKONAŁ:

Rafał Ch.

ZI Stacjonarne

ROK I

GR.11

Funkcje wymierne.

Funkcją wymierną nazywamy iloraz U/W dwóch wielomianów U oraz W. Dziedziną funkcji wymiernej U/W jest różnica mnogościowa zbioru R (wszystkich liczb rzeczywistych) i zbioru zer wielomianu W.

Na przykład funkcja

jest wymierna i dziedziną jej jest zbiór R\{2,5}, czyli zbiór jaki otrzymamy, jeżeli ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych usuniemy liczby 2 i 5, co notujemy też w postaci x
2 oraz x
5.

Suma skończonej liczby funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.

Równanie typu
nazywamy wymiernym, jeżeli występujące w nim funkcje f i g są wymierne.

Metody rozwiązywania. Z grubsza biorąc główna metoda rozwiązywania takich równań polega na mnożeniu obu stron równania wymiernego przez taki wielomian, że po wymnożeniu otrzymamy już równanie algebraiczne. Jeżeli obie strony równania są napisane jako sumy ilorazów wielomianów, to wielomianem takim jest najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) mianowników występujących ułamków. Otrzymane równanie algebraiczne jest równoważne równaniu wyjściowemu w dziedzinie równania wyjściowego.

Przykład, rozwiązać równanie:

(a)

Rozwiązanie. Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające warunek:

(b) x
oraz x
2

Po pomnożeniu obu stron równania (a) przez wielomian (x-1)(x-2) otrzymujemy:

(a₁) (2x+1)(x-2)=(x-1)(x+2)

skąd po wymnożeniu u redukcji:

(a₂)

Równanie (a₂) ma 2 rozwiązania:

(c ) x₁=0, x₂=4

Liczby te są również rozwiązaniami równoważnego równania (a₁), a wobec tego, że liczby (c ) spełniają warunek (b), są one także poszukiwanymi rozwiązaniami równania (a).

Odpowiedź. Równanie (a) ma 2 rozwiązania: x₁=0, x₂=4

Funkcje wykładnicze

Funkcją wykładniczą o podstawie a, a>0, nazywamy funkcję oznaczoną symbolem exp_a postaci:

Twierdzenie. Funkcja wykładnicza exp_a jest

1. rosnąca dla a>1

2. malejąca dla 0<a<1

3. stale równa 1 dla a=1

4. dodatnia i ciągła dla każdego x
   

5. przy warunku 0<a oraz a
   1

przyjmuje każdą wartość dodatnią dokładnie jeden raz, to znaczy dla każdego d > 0 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista b taka, że a^b=d.

Własność (e) oznacza geometrycznie, że każda prosta równoległa do osi Ox o równaniu y=d, przy d>0, ma z wykresem funkcji wykładniczej y=a^x, przy a spełniającym warunek 0<a oraz a
1, dokładnie jeden punkt wspólny (rys. 10.1)

Wniosek. Z własności (a) i (b) podanych w twierdzeniu (powyżej) wynika, że jeżeli liczba a spełnia warunek 0<a oraz a
1, to dla każdych b oraz c rzeczywistych spełniona jest implikacja:

Na rysunku 10.2 podane są wykresy funkcji exp_a przy a=2 oraz a=1/2, czyli funkcje y=2^x oraz
.

Funkcje logarytmiczne.

Niech g oznacza liczne dodatnią i różną od 1. Wówczas przez funkcję logarytmiczną przy podstawie g, symbol log_g , rozumiemy funkcję postaci:

dla x>0

Twierdzenie. Funkcja log_g jest

1. dla g>1 rosnąca,

2. dla 0<g<1 malejąca,

3. ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny,

4. odwrotna do funkcji exp_g

Z punktów (a) i (b) powyższego twierdzenia wynika, że funkcja log_g , przy założeniu 0<g oraz g
1, jest zawsze różnowartościowa, to znaczy
, z czego wynika ważna praktycznie implikacja:

Otrzymywanie wykresu funkcji logarytmicznej y=log_gx z wykresu funkcji wykładniczej y=g^x

Przy a > 0, a
1 definiujemy funkcję log_a: (0,
)
R ,w sposób następujący
, że a^y=x. Zatem funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Stąd wyprowadza się jej własności:

,

,

.

Gdy 0 < a < 1 to funkcja log_a jest malejąca i jest rosnąca gdy a > 1.

Wielomiany

Wielomian jednej zmiennej x jest to funkcja określona na zbiorze R, która daje się zapisać w następujący sposób:

, gdzie:

i nazywają się współczynnikami

a₀ - współczynnik (wyraz) wolny

1. 
   jest to wielomian zerowy

2. 
   jest to wielomian stopnia zerowego

3. 
   jest to wielomian stopnia pierwszego (funkcja liniowa)

4. 
   jest to wielomian stopnia drugiego (funkcja kwadratowa)

5. ....

Stopień

Działania na wielomianach

Dzielenie dwóch wielomianów nie zawsze jest wielomianem.

Dzielenia wielomianów dokonujemy w słupku.

Przykład:

Twierdzenie Bézouta

Wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian (x-a)

Założenie W(x), Twierdzenie W(a)= 0 Dowód x = a <=> W(a) = (a-a) · P(x) + R W(a) = 0 + R i R = 0 W(a) = 0

Założenie W(x), W(a) = 0 Twierdzenie Dowód x = a <=> W(a) = (a-a) · P(x) + R 0 = 0 · P(x) + R R = 0

Jeżeli wielomian dzieli się przez x-a to a jest jego pierwiastkiem

Twierdzenie o reszcie

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-a równa się wartości wielomianu dla x = a

x = a <=> W(a) = (a-a) · P(x) + R

W(a) = 0 · P(x) + R

W(a) = R

Miejsca zerowe wielomianów

W przypadku stopni mniejszych od trzech zostały one omówione w innych działach.

Równanie stopnia n może mieć najwyżej n pierwiastków. Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty może wcale taki wielomian nie mieć pierwiastków, gdy jest nieparzysty ma co najmniej jeden pierwiastek.

Są dwie metody szukania pierwiastków:

• rozkład na czynniki (z użyciem praw algebry (prawo rozdzielczości mnożenia względem dodawania, grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia))

• metoda prób i błędów

Jeżeli istnieją wymierne pierwiastki W(x) to są one postaci x₀ = p/q.

p - jest podzielnikiem wyrazu wolnego

q - jest podzielnikiem a_n (gdy a_n = 1 to x₀ jest całkowite i dzieli wyraz wolny)

Metodę tę znacznie ułatwia posługiwanie się metodą "Honera" Polega ona na posługiwaniu się następującą tabelką

[kandydat(x0 = p/q)]	an	a(n-1)	a(n-2)	....	a0
x1= p1 /q1	z1= an	z2= x1 · z1 + a(n-1)	z3= x1 · z2 + a(n-2)	.....	zn= ...
p2/q2	....	.....	....	....	....

Gdy z_n dla x₁ równe jest zero to x₁ jest pierwiastkiem tego wielomianu a wielomian ten rozkłada się w sposób następujący:

W(X) = (x - x₁)(z₁ ·x^(n-1) + z₂ ·x^(n-2) + .... + z_(n-1))

Uwaga: należy umieszczać w tabelce także współczynniki a = 0

Uwaga: Przy rozwiązywaniu równań wyższych stopni również przydatne okazuje się wprowadzenie pomocniczej niewiadomej w celu uproszczenia rozwiązania

Wyznaczanie reszty z nieznanego wielomianu

Wyznaczamy resztę z dzielenia W(x) przez P(x) = ax² + bx + c, wiedząc że W(g) = h i W(i) = j

Ponieważ dzielnik jest stopnia drugiego to reszta będzie stopnia pierwszego a więc w postaci: R(x) = dx + e

(Reszta jest wielomianem stopnia niższego niż dzielnik)

W(x) = P(X) · J(x) + R(x)

W(g) = h ---> (a·g²+ b·g + c) · J(g) + g·a + b = h ---> g·a + b = h

W(i) = j ---> .....

Otrzymujemy układ równań, który pozwoli nam obliczyć współczynniki przy reszcie .

Funkcje potęgowe.

1. funkcja stała: f(x) = c dla każdego x
D,

2. funkcja liniowa: f(x)=a + b x , gdzie a, b stałe,

3. funkcja potęgowa o wykładniku całkowitym: n
1 jest liczbą naturalną, wtedy x²ⁿ jest monotonicznie malejąca na (-
,0] i monotonicznie rosnąca na [0,
). Funkcja x²ⁿ⁺¹ jest monotonicznie rosnąca na R. Funkcja x^-2n :=

jest określona na R\{0} . Jest monotonicznie rosnąca na (-
,0) i monotonicznie malejąca na (0,
). Funkcja natomiast x^-(2n+1) jest natomiast

monotonicznie malejąca na (-
,0) oraz na (0,
). Gdy wykładnik jest równy 0 to z definicji przyjmujemy: dla x
0, x⁰ = 1. Wyrażenie 0⁰ nie jest definiowane.

4. funkcje potęgowe o wykładnikach wymiernych: funkcja y^1/2n jest określona na [0,
) i definiowana jest jako funkcja odwrotna do funkcji x²ⁿ , której dziedzina również jest brana jako równa [0,
). Funkcja y^1/(2n+1) jest określona na R i jest definiowana jako funkcja odwrotna do funkcji x⁽²ⁿ⁺¹⁾ również określonej na R ; dla y > 0, (-y)^1/(2n+1) = -y ^1/(2n+1) . Gdy m jest liczb¸ a całkowitą to przy m > 0 na dziedzinie określoności funkcji x^1/n definiujemy funkcję

x^m/n :=(x^1/n )^m , a przy m < 0 z dziedziny funkcji x^1/n wykluczamy 0 i na pozostałym zbiorze definiujemy x^m/n := (x^1/n)^|-m|.

Uwaga 2 Przy rozpatrywaniu potęg x^m/n zakładamy, że m/n jest ułamkiem nieskracalnym.

Własności funkcji potęgowych:

a)
, x jest z części wspólnej dziedzin określoności wszystkich trzech funkcji,

b)
, x jest z części wspólnej dziedzin określoności wszystkich występujących tu funkcji.

Funkcje trygonometryczne

Sinusem (sin) dowolnego kąta
nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta do promienia wodzącego tego punktu. sin

Cosinusem (cos) dowolnego kąta
nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta do promienia wodzącego tego punktu. cos

Tangensem (tg) dowolnego kąta
nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta do odciętej tego punktu.

Cotangensem (ctg) dowolnego kąta
nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta do rzędnej tego punktu.

Właściwości funkcji trygonometrycznych

Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach

	I	II	III	IV
sin x	+	+	-	-
cos x	+	-	-	+
tg x	+	-	+	-
ctg x	+	-	+	-

Numeracja ćwiartek przedstawiona jest na powyższym rysunku

Tabelka ta stosowana jest m.in. do rysowania kąta przy znanej wartości jednej funkcji i znaku drugiej, obliczania wartości pozostałych funkcji w powyższym przypadku, ustalenia, w której ćwiartce leży kąt.

Tożsamość trygonometryczna

Jest to równość prawdziwa przy wszystkich wartościach miar kątów, dla których jest określona. Przy sprawdzaniu wykorzystuje się podane wcześniej właściwości funkcji trygonometrycznych.

Wykresy funkcji sinus i cosinus:

Funkcje trygonometryczne sum i różnic kątów

Dowód:

Dowód:

Dowód:

Dowód:

Dowód:

Pozostałe dowodzimy analogicznie.

Zamiana sum i różnic funkcji trygonometrycznych na iloczyn

Dowód:

Pozostałe dowodzimy analogicznie

Pozostałe otrzymujemy analogicznie

Przykładowy wzór odwrotny do jednego z powyższych ma postać:

Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych

Funkcją odwrotną do funkcji sin(x) w przedziale, w którym jest różnowartościowa jest funkcja arcsin(x)

Funkcją odwrotną do funkcji cos(x) w przedziale, w którym jest różnowartościowa jest funkcja arcsin(x)

Funkcją odwrotną do funkcji tg(x) w przedziale, w którym jest różnowartościowa jest funkcja arcsin(x)

Funkcją odwrotną do funkcji ctg(x) w przedziale, w którym jest różnowartościowa jest funkcja arcsin(x)

FUNKCJA HOMOGRAFICZNA jest funkcją wymierną, mającą postać

Liczby a, b, c i d są ustalone, przy czym liczba c<>0. Dlaczego liczba c musi być różna od zera - ponieważ jak by była równa zeru to mianownik byłby liczbą stałą i dany iloraz byłby tylko funkcją liniową. Jest jeszcze jedna własność, którą muszą spełniać te liczby, a mianowicie tzw. wyznacznik =a*d-b*c<>0. Chodzi o to, aby licznik i mianownik nie miały w sobie takiej samej funkcji liniowej, co po skróceniu dałoby funkcję stałą. Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz liczby będącej miejscem zerowym mianownika (DR\{-d/c}). Natomiast przeciw dziedziną jest zbiór DR\{a/c}. Miejscem zerowym tej funkcji jest x₀=-b/a. Jeżeli liczba b jest równa zeru, to funkcja nie ma miejsca zerowego.  Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Hiperbola ma dwie asymptoty (poziomą i pionową). Asymptota pozioma jest funkcją stałą wyrażoną wzorem f(x)=a/c, natomiast asymptota pionowa jest zależna od dziedziny (argument nie należący do dziedziny) i ma postać x=-d/c.
Funkcja homograficzna może być na całej swojej długości (poza punktem x=-d/c - asymptotą pionową) malejąca lub rosnąca. Przy określaniu tego faktu korzysta się ze znaku wyznacznika :

1. Jeśli >0 - funkcja jest rosnąca.

2. Jeśli <0 - funkcja jest malejąca.

Najbardziej podstawową funkcją homograficzną jest funkcja o równaniu

Funkcja ta wygląda następująco:

Bibliografia:

• Walter Rudin, „Analiza rzeczywista i zespolona” PWN 1986

• L.Włodarski, E.Hensz „Kurs przygotowawczy z matematyki na wyższe uczelnie” PWN 1984

• http://www.atr.bydgoszcz.pl/~zbig/materialy/funkcje.pdf

• Strona domowa Zbigniewa Gołębiewskiego - „Wykłady z matematyki Materiały pomocnicze dla studentów” - http://www.atr.bydgoszcz.pl/~zbig/wyklad/biotech.pdf

２

---