07 wrzesień 13

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI EGZAMIN NR 2 • ROK AKAD. 2012/2013 • 16. 09. 2013r. • KMBiM WILiŚ PG

Czas trwania egzaminu: 120 minut (2 godz.)

Uwaei:

•    Każde z zadań części zadaniowej należy rozwiązać na osobnej kartce (kartkach), natomiast wszystkie zadania części teoretycznej należy rozwiązać na jednej kartce!

•    Wszystkie kartki należy podpisać (imię, nazwisko, numer indeksu, grupa oraz numer sali, w której odbywa się egzamin)!

•    W przypadku braku rozwiązania zadania (zadań) także należy oddać podpisaną kartkę (kartki)!

CZĘSC ZADANIOWA

ZADANIE 1: Powierzchnia ugięcia płyty kołowej o promieniu a, swobodnie podpartej, pod obciążeniem ciągłym q = const wyraża się równaniem:

w„(r) =

qa__

64 D

^r-\ -2-

3 + v l + v

^²

5 + v l + v

Natomiast w przypadku obciążenia tej samej płyty ciągłym momentem zginającym M₀, rozłożonym na obwodzie (jak na rys. 1), powierzchnia ugięcia wyraża się równaniem:

.V

(>•) = -

M₀a-

2D(l + v)

-1

Wykorzystując powyższe dane wyznaczyć powierzchnię ugięcia płyty kołowej całkowicie utwierdzonej, o tych samych parametrach geometrycznych i materiałowych, pod równomiernie rozłożonym obciążeniem ciągłym q = const.

Przyjąć parametry płyty: a - promień, h - grubość oraz D - sztywność, jako znane.

Dodatkowo, narysować przekrój w/w powierzchni ugięcia płaszczyzną pionową zawierającą średnicę płyty. Podać charakterystyczne rzędne wykresu.

ZADANIE 2: Stan naprężenia w punkcie dany jest tensorem:

"10 5 5l

0 0 [MPa]

rys. Ib

Przyjmując równomierny wzrost wszystkich składowych tensora naprężeń, zapas bezpieczeństwa, oddzielnie wg hipotez Treski i H-M-H.

Rezultat próby jednoosiowej wytrzymałości materiału a₀ = 20 [MPa].

ZADANIE 3: Podać, analitycznie i graficznie, sumaryczny stan naprężenia w układzie <3x,x₂ wpunkcie M tarczy - półpłaszczyzny sprężystej (zagadnienie Flamanta) w obu stanach: y] i [fi] (jak na rys. 2). Zwroty osi x, oraz x₂ przyjąć zgodnie z iys. 3.

Wielkości: pojedynczą siłę P , grubość tarczy g oraz wymiar a przyjąć jako dane.

W obu przypadkach określić wytężenie - naprężenia zredukowane wg hipotezy H-M-H.

Dla stanu [fi] porównać wytężenie w dwóch wariantach: tarczy i półprzestrzeni sprężystej. Przyjąć v = 0,25.

Wzory elementarne dla zagadnienia Flamanta (układ współrzędnych jak na rys. 3):

podać

2P x³    2P x,²x₂    2P x_xxl

^aU ~    4 > ^CT12 ^- °21 ^-    ‘    4    *    °22 ~    '    4

txg r    ng    r    ng r

H-M-H: er

= yj0,5 • [(<7,, - *22 f + (<*22 -    )² + (<*33 - 1 )² + 6 • (o-₁₂² + O22 +    )] •

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Uwaea: W przypadku udzielenia odpowiedzi świadczącej o niezrozumieniu zagadnienia, zadanie może zostać ocenione na 0 pkt!

PYTANIE 1: W jakim celu stosuje się zastępczą siłę poprzeczną na brzegu płyty?

Podać warunki brzegowe wszystkich krawędzi płyty kwadratowej o boku / (jak na rys. 4).

PYTANIE 2: Podać podstawę definiowania obszaru bezpiecznego, oddzielnie wg hipotez Treski i H-M-H.

Skąd wynika stosowana w hipotezie Treski równość: r₀ = 0,5 -a₀ ?

Objaśnić obecne w w/w zapisie symbole.

Co oznacza, stosowane w hipotezach wytężenia materiału, pojęcie obszaru bezpiecznego?

25x,

-2x,

PYTANIE 3: Dany jest stan naprężenia: <j =

[-2x₂    + 3x₂

Jaki powinien być wektor sił masowych, aby przy jednostkowej

gęstości (p = 1), w każdym punkcie panowała równowaga?

PYTANIE 4: Zilustrować stan naprężenia w biegunowym układzie współrzędnych, w dwóch przypadkach analitycznego problemu dwuwymiarowego: a) tarcza; b) rura grubościenna o nieskończonej długości.

Jakie uproszczenie niesie ze sobą założenie o obrotowej symetrii?

J. Górski. M. Skowronek, V. Konopińska, K Winkelmann, M. Oziębło • Teoria Sprężystości i Plastyczności - Egz. nr 2. rok akad 2012/2013 • KMBiM WILiŚ PG