10968105�5914085428240 95379893 n

Jak to si( formułuje?

Jedna z interpretacji tego twierdzenia jest następująca:

Jeżeli oznacza nakład /-tego czynnika na wytworzenie jednostki y-ego wyrobu, a x, oznacza produkcję y-ego wyrobu. to forma liniowa a_t|xf +a_ł2^x:⁺    wyraZa łączne nakłady /-tego czynnika poniesione

na wytworzenie wszystkich wyrobów w ilości jrf.x?. ....x£. Jeżeli ponadto b, oznacza limit /-tego czynnika. to nierówność ostra Ojjrf ♦ o₍₂.rf + ..o₍„x£ <ó, mówi. 2e zapotrzebowanie na /-ty czynnik jest mniejsze od limitu. Implikacja (12a) oznacza więc. Ze (w rozwiązaniach opty malnych zadań dualnych względem siebie) czynnik będący w nadmiarze ma zerową cenę krańcową

Przy wprowadzonych oznaczeniach forma liniowa ♦°2/J'2 ⁺ amj>’n w>ra2a wartość (w cenach dualnych) nakładów wszy stkich czynników poniesionych na wytworzenie jednostki j-ego wyrobu. Implikacja (I2b) oznacza więc. źe jeżeli wartość środków zużytych na wytworzenie jednostki pewnego wyrobu jest wyższa od jednostkowego przychodu (wyrażonego przez odpowiednią wagę funkcji celu), to takiego wyrobu nie należy wytwarzać

Tw ierdzenie o równowadze można wykorzystać również do wyznaczenia rozwiązania zadania dualnego, gdy znane jest rozwiązanie żądania pierwotnego. Skorzy stać wtedy trzeba z implikacji (12a) i (13b).

Można je tez wykorzystać do rozwiązywania LZD o dwóch warunkach

ograniczających, bowiem zadanie dualne do takiego zadania ma dwie zmienne

decyzyjne Sposób rozw iązywania zadań jest wtedy następujący:

•    metodą geometryczną rozwiązać zadanie dualne;

•    na podstawie (12b) stwierdzić, które zmienne zadania pierwotnego przyjmują wartości zerowe w rozwiązaniu optymalnym, a na podstawie (13a) stwierdzić, które warunki ograniczające zadania pierwotnego są przez rozwiązanie optymalne spełnione jako równania:

•    rozwiązać powstały układ równan i wyznaczyć wartości optymalne pozostałych (niczcrowych na mocy (12b)) zmiennych zadania pierwotnego.

Ten sposób wykorzystania twierdzenia o równowadze ilustruje podany dalej

przykład.

Przykład

Rozwiązać zadanie:

Jt| +    + *3 —» min.

<14p)

-2x, + x₂+Xj£10. x₍ + x₂ - xj = 40. x,_t x₂. XjS0

Zadanie (I4p) ma trzy zmienne decyzyjne i trudno je rozw iązać metodą geometryczną Zadanie dualne do (14p):

10.V| + 40>-₂ -* max,

- 2>i + y₂S 1 (14d) y, + y₂ 5 4.

> i -    * i.

>1 *o

ma jednak tylko dwie zmienne, gdyż (14p) ma dwa warunki ograniczające.

Uzyskane metodą geometryczną rozwiązanie optymalne zadania dualnego jest równe y° = l. >•? = 3. a opty malna wartość funkcji celu zadania (14d)

wynosi 130jednostek.

Podstaw iając uzyskane rozwiązanie do kolejnych warunków ograniczających zadnia dualnego, stwierdzamy, te: pierwszy warunek jest spełniony jako równanie, drugi warunek jest spełniony jako równanie, a trzeci warunek jest spełniony jako nierówność ostra. Z (12b) wynika więc, 2c *3 = 0

211