143(1)

Prosta x = 1 jest asymptotą pionową wykresu funkcji podcałkowej y = vt== (rys. 137). Całki tej funkcji wzięte w granicach od —1 do

^s/(*-l)²

1 --e_l i od l+£₂ do 2 przedstawiają pola trapezów krzywoliniowych aAPe i ?]QBb. Przy e₂ -> +0 i s₂ +0 trapezy te rozciągają ' nieograniczcnie

do góry, ale mają przy tym skończone pola, których suma jest właśnie równa wyznaczonej wartości danej całki niewłaściwej zbieżnej.

690. Obliczyć całki niewłaściwe:

r x³dx .. p ln.v

2    , „    -f co

dx

o '    i

Rozwiązanie: 1) Wprowadzamy nową zmienną, podstawiając x = 2sin/, skąd dx = 2costdt oraz / == 0 dla x = 0 i t = ~ dla x = 2, czyli

f-££L = ₈f

? I 4-X* J

sin³ f cos f cos t

⁼⁸/^si

³tAł —

sin³/</r

u

ii

3

= 8 j (1 — cosrt)dcost = 8 J^cost— ^-cos³tJ =

W tym przypadku w wyniku zamiany zmiennej całkowania dana całka niewłaściwa (z funkcji mającej nieciągłość nieograniczoną w prawym

końcu przedziału całkowania) została przekształcona na całkę właściwą o ciągłej funkcji podcałkowej i skończonych granicach całkowania, i którą obliczamy w zwykły sposób bez stosowania przejścia granicznego.

Ale może być i odwrotnie, że przy zamianie zmiennej całkowania całka właściwa staje się całką niewłaściwą.

2) W myśl wzoru (1)

T O

'=/

1

4*00

\nxdx .. r \nxdx

y3 = ,^lim —-1

Do ostatniej całki stosujemy wzór na całkowanie przez części fadv =

— uv—\vdu. Podstawiając u — \nx, dv = x~³dx, otrzymamy du — ^d—,

1 *

v. = - 27, oraz

0

flnx. _ f lnx 1 (• dxlf f In* 1 "V _

J w⁵ aX~[ 2*^{2 +} 2 J “ “[    4.v²J, ~

ln/?

1

+

2/3²    4/3^{2 1} 4

Podstawiając ten wynik do poprzedniej równości, mamy

ln/9'

I = lim

P~> + 00

IJ___¹___

\ 4    4£²    2/?²

OK

\    1    1 .. la?

Aby wyznaczyć granicę ostatniego składnika, zastosowaliśmy tu regułę de 1’Hospitala.

Obliczyć całki niewłaściwe:

691. f e' dl

T w

692. f

dx

— 00 3

693. ( In xdx

ó

694.

-|- 2x -j- 2 xdx

]/x² — 4

695. J xe^xdx

696.

dx

19 Metody rozwiązywania zadań

289