194 195

194 Metody wielokryterialne

4.2.2. Rozwiązanie niezdominowane

Występowanie rozwiązania dominującego to przypadek stosunkowo rzadko spotykany. Zazwyczaj rozpatrywane cele są konfliktowe. Przypadek taki zilustrowano w kolejnym przykładzie.

Przykład 4.2

Przyjmiemy obecnie, że w sytuacji rozpatrywanej w przykładzie 4.1 produkcja limitowana jest dostępnymi zasobami środków S_v S_v natomiast będziemy się starali zminimalizować zużycie deficytowego środka Sj. Jednocześnie chcemy zmaksymalizować zysk. Ponownie korzystamy z danych liczbowych zapisanych w tablicy 1.1.

Otrzymujemy następujący model matematyczny:

x₂) = 2x_l+3x₂ —> max,

4>-,(x_v x₂) = 2x, +2x, —> min, x, + 2x, 8,

4x_t ^ 16, x_r x, > 0.

Zadanie w powyższej postaci nie jest problemem wektorowej maksymalizacji, gdyż jedna z występujących funkcji jest minimalizowana. Dokonując przekształcenia funkcji <f)_n w funkcję f₂ (pomnożymy współczynniki funkcji f₂ przez liczbę - 1), otrzymujemy:

J\ (x_r x₂) = 2x_l + 3x₂ —> tnax, f₂(x,, *₂) = —2jc, — 2x₂ —> max,

+ 2x, < 8,

4jc, ’«S16, je,, .r, > 0.

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych tego zadania w przestrzeni decyzyjnej i w przestrzeni kryterialnej przedstawiono na rys. 4.1 i 4.3.

Zajmiemy się rozwiązaniem zadania. Sprawdzimy czy istnieje rozwiązanie dominujące. W tym celu rozpatrzymy najpierw decyzje będące wierzchołkami w zbiorze decyzji dopuszczalnych, porównując odpowiednie współrzędne w przestrzeni kryterialnej. Rozpoczniemy od punktów O' i A'. Stwierdzamy, że wartość kryterium/, w punkcie O' jest mniejsza od wartości tego kryterium w punkcie A', natomiast wartość kryterium f₂ jest większa w punkcie O' niż w punkcie A'. Nie można więc jednoznacznie wskazać, która z decyzji, O lub A, jest korzystniejsza, czyli zachodzi przypadek nieporównywalności.

W podobny sposób stwierdzamy, że również punkty O' i B' oraz A' i B' są nieporównywalne. Porównując punkty C i A\ stwierdzamy, że wartość kryterium /, w punkcie C' jest mniejsza od wartości kryterium /j w punkcie A', natomiast

wartości kryterium f₂ są w obu tych punktach takie same. Wynika stąd, że punkt A' zdominował punkt C\ czyli decyzja A jest korzystniejsza niż decyzja C. Przeprowadzone porównania wskazują na to, że z czterech istniejących wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej trzy są niezdominowa-ne przez pozostałe, natomiast czwarty z nich (wierzchołek C') jest zdominowany.

Rozszerzymy teraz rozważania na cały zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej. Wybieramy dowolny punkt Y' w tej przestrzeni i znajdujemy te wszystkie punkty przestrzeni kryterialnej, które dominują nad Y'. Ten zbiór punktów tworzy stożek ocen dominujących nad Y'. Z kolei znajdujemy te wszystkie punkty przestrzeni kryterialnej, które są zdominowane przez Y'. Ten zbiór punktów tworzy stożek ocen zdominowanych przez V. Pozostałe punkty przestrzeni kryterialnej są nieporównywalne z Y’. Oba stożki oraz zbiory punktów nieporównywalności dla dowolnie wybranego punktu Y' ilustruje rys. 4.4.

W przypadku zadania z dwoma kryteriami można znaleźć zbiór rozwiązań niezdominowanych w przestrzeni kryterialnej metodą geometryczną. W tym celu należy w każdym punkcie zbioru rozwiązań w przestrzeni kryterialnej utworzyć stożek ocen dominujących, a następnie znaleźć jego część wspólną z całym zbiorem rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej. Rozwiązaniami niezdominowanymi są te, dla których znaleziona część wspólna obu tych zbiorów jest jednoelcmentowa (czyli redukuje się do rozpatrywanego punktu).