9719394364992723076i2553763 n

<iel

o*

o z wiązanie wynika, k

§ 8. Równanie o zmiennych rozdzielonych i równania sprowadzalnc do niego    35

61. Rozwiązać równania:

a) y'=(x+y)²; b) /=cos(x-y).

Rozwiązanie. Są to równania typu (3).

a) Podstawiamy //=*+;;, skąd u' I +/, czyli w'- 1 =u². Rozdzielając zmienne i całkując. otrzymujemy

zatem

Ale

skąd ostatecznie

czyli arctgu=x + C, arc tg (x +y)=x+C.

/, skąd z/ = l - cosu,	zatem
f du	"J*
J 1 -cos w
r du i r	du
J 1 cos u 2 J	sin^2 ju
x —y ctg 2 =x + C,	gdzie

x-y

i

tzn. y&x—2nn, ne E (por. zadanie 34c).

Zauważmy jednak, że podstawiając bezpośrednio do równania / = cos(x-y) funkcje y = x-2/in mamy (x-2/m)'=cos2mc, czyli 1=1. A więc funkcje y=x-2m są również całkami równania y‘=cos (x-y).

62. Rozwiązać równania:

2xy

a) y'=~2->> ^b> yOny-\nx)dx-xdy=0:

x —y

c) (2x-y + l)dx+(x+y)dy=0;    d) (2x+3y-l)dx+(4x + 6y +2)dy =0.

Rozwiązanie, a) Jest to równanie typu (5), zatem podstawimy

v    ••    ,    2u

n=—. skąd y' ~u^rx+u, czyli «x + ti=---₂.

x    ¹ “^M

Po przekształceniu otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

du u +n³

^Xdx \-u²

(por. zadanie 53 b), skąd    oraz po podstawieniu u=^ mamy

,_c/.n‘^c ^

roP^lł^_dK^

łcj

x² +y²=Cy.

Również, funkcja y=0 jest całką rozwiązywanego równania.

3*