CCF20090120056

PROBLEM BUŁECZEK I CIASTEK

Większość podręczników algebry w rozdziale zatytułowanym „Układy równań” zawiera podobne zadania. „Dwukrotnie byłem w cukierni. Pierwszy raz zamówiłem 2 bułeczki i 1 ciastko; zapłaciłem 4 zł. Za drugim razem zamówiłem 3 bułeczki i 2 ciastka; rachunek wyniósł 7 zł. Jaka jest cena bułeczki, a jaka cena ciastka?”

Dawałem to zadanie ludziom nie mającym żadnego pojęcia o algebrze, zwykle rozwiązywali je. Rozumowali tak: drugi rachunek wyniósł o 3 zł więcej niż pierwszy. A więc 3 zł to łączny koszt 1 ciastka i 1 bułeczki. Ale 1 ciastko i 2 bułeczki kosztowały 4 zł. Zatem różnica, 1 zł, to cena jednej bułeczki. Wobec tego cena ciastka wynosi 2 zł.

Problem ten może wydawać się dość błahy, a jednak w takiej czy innej postaci powraca on raz po raz w matematycznych dociekaniach bardzo praktycznej natury. Również my będziemy musieli rozwiązać takie zadanie w rozdz. 8.

Matematycy stosowali naszkicowany powyżej tok rozumowania przy wielu bardzo różnych okazjach. I — jak to z reguły bywa — stopniowo, w celu przyspieszenia pracy, zaczęli wprowadzać pewne skróty. Można sobie łatwo wyobrazić, że rychło rozumowanie to zaczęto zapisywać tak:

2    bułki i    1    ciastko    4    zł

3    bułki i    2    ciastka    7    zł

a więc, lecz zatem i

1    bułka i    1    ciastko    3    zł

2    bułki i    1    ciastko    4    zł

1 bułka    1    zł

1    ciastko    2    zł

Później zamiast całego wyrazu „bułka” zaczęto pisać b, a zamiast „ciastko” — c. Jeśli jeszcze zastąpimy spójnik „i” znakiem „ +    otrzy

mamy współcześnie używaną postać zapisu: 114

26 +    c    =    4

36 + 2c    =    7

a więc,    6+    c    =    3

lecz    26+    c    =    4

zatem 6    — 1

i    c = 2

W tym przypadku 6 oznacza, ile zł zapłacono za 1 bułkę, a c — ile zapłacono za 1 ciastko. W celu podwojenia 6 piszemy 26. Nie stawiamy znaku mnożenia między 2 i 6. Nie ma sensu spieranie się o to, czy należałoby tu stawiać znak mnożenia, czy nie. Jeśli komuś koniecznie brak do szczęścia zapisu 2X6, proszę bardzo, niech sobie tak pisze. Ma to wprawdzie tę wadę, że dla oznaczenia liczby często używamy litery x_t zaś „X”, znak mnożenia, wygląda bardzo podobnie.

Oczywiście 126 oznacza 12 razy b, a nie 1X2X6. Takie rozróżnienie może się Czytelnikowi wydać kłopotliwe, ale każdy system stenografii ma jakieś słabe strony. W algebrze ustawienie obok siebie cyfr takich, jak 123, oznacza dokładnie to samo co w arytmetyce; ale 26c oznacza 2X6Xc.

Spróbuj wyrazić w normalnym języku poniższe stwierdzenia

6+ c + h = 6 26 + 3c + h — 11 46 + 8c+h = 23

Litery 6 i c oznaczają to sarnio, co w poprzednim przykładzie, ale teraz za każdym razem zostaje zamówiona także herbata, której cena wynosi h zł. Rozwiązanie także i tego zadania jest zupełnie łatwe. Badając różnicę między kosztem I i II posiłku, otrzymamy równanie, w którym występują tylko 6 i c. Porównując koszt II posiłku z kosztem III również otrzymamy nowe równanie, w którym nie występuje cena her-

8*

115