CCF20090120134

15

+ ~l¥ ^{+ itd}*’ ^sumę P^os^pu geometrycznego. Przyjmując w tym szeregu dostatecznie dużo wyrazów, możemy otrzymać odpowiedź o dowolnym stopniu dokładności; przytoczone tu cztery wyrazy dają odpowiedź różniącą się od dokładnej odpowiedzi o mniej niż 0,001.

Można znaleźć sumę tego szeregu. Wskazówka godzinowa przebywa tylko 5 minut, gdy wskazówka minutowa przebywa 60 minut; a więc wskazówka minutowa zdobywa nad wskazówką godzinową 55 minut przewagi w 55

każdej godzinie, czyli ^ minuty w każdej minu-

cie. jest dokładnie tym samym, co —. A za-bO    lz

tern, aby nadrobić 15 minut na wskazówce godzinowej, wskazówka minutowa

11    4

musi mieć 15 dzielone przez — minuty, tj. 16 —

4

minuty. Suma szeregu musi więc wynosić 16 yp

Inne zadanie: 1 tona zasadzonych ziemniaków daje zbiór 3 ton ziemniaków, które można zjeść albo użyć ponownie do sadzenia; ile ziemniaków musi kupić ogrodnik, jeżeli jego rodzina zjada co roku 1 tonę ?

Przede wszystkim, ogrodnik musi 'kupić 1 tonę ziemniaków, aby zaspokoić tegoroczne potrzeby swojej rodziny. Aby otrzymać tonę ziemniaków

. , • ¹

na rok następny, wystarczy zasadzić obecnie —

O

tony. Aby zaspokoić potrzeby rodziny w trzecim

roku, wystarczy obecnie zasadzić ~ tony ziem-

9

niaków: otrzymamy z nich w następnym roku ~ tony ziemniaków, które zasadzone dadzą

w trzecim roku 1 tonę. Aby móc zawsze zapewnie rodzinie 1 tonę ziemniaków rocznie, ogrod

1 -f——i---1^- --1---"i^- ton

3^9 ^27    81

nik musi zasadzić

Ile wynosi suma tego szeregu? Oznaczmy tę sumę przez x. Możemy znaleźć x przez prosty chwyt, mianowicie tworząc 'wyrażenie 3cc i porównując je z cc.

Tak więc

_ , , ¹ , 1 , 1 , ¹⁺3‘⁺?⁺27⁺-'-’

czyli

3* = 3 + H-|-+-|-+...

Zauważmy, że sizereg dający 3cc jest taki sam, jak szereg dla x, z tym że na początku dodano 3, a więc 3cc = 3+x. Stąd wynika, że 2x — 3,

czyli x = 1— .

Łatwo można zauważyć, że jest to odpowiedź

właściwa. Jeżeli ogrodnik kupi 1 tony ziem-

² 1

niakow, to 1 tonę zje wraz z rodziną, a — tony zasadzi. Zbiór wyniesie trzy razy tyle, ile zasadził, a więc 1 tony; i znów ogrodnik ma

1

1 tonę do zjedzenia, a — tony do zasadzenia.

W ten sposób on i jego potomkowie mogą postępować tak długo, jak zechcą.

Ten. sam rodzaj szeregu powstaje w związku z zagadnieniem rent, procentu składanego, dyskonta itd. Procent składany jest jednym z głównych powodów historycznych, dla których zaczęto badać postęp geometryczny. Dla człowie-

271