M a t e m a t k a k r o k p o k r o k u I Page 01 (11)

FM PDF To Image Converter Pro

Unregistered version www.fm-pdf.com

W trakcie realizacji materiału przypominamy kolejno zbiory N. C. W\ wyróżniamy wśród nich liczby dodatnie, ujemne i stosujemy (w ograniczonym zakresie) zapis mnogościowy. Zero zaliczamy do zbioru liczb naturalnych. Czasami nie jest to wygodne, ale z uwagi na utożsamianie liczb naturalnych z liczebnością zbiorów skończonych należy zero traktować jako liczbę naturalną oznaczającą moc zbioru pustego. W procesie lekcyjnym nie musimy dokładnie omawiać zagadnień dotyczących zbioru pustego.

Trochę uwagi warto poświęcić sposobom zapisywania liczb w dziesiątkowym układzie pozycyjny m czy też w innych systemach pozycyjnych oraz w systemie rzymskim.

Istotną sprawą w teorii liczb wy miernych (i rzeczywistych) jest przedstawianie liczby na osi liczbowej oraz odwrotnie - określanie liczby odpowiadającej punktowi na osi liczbowej. Rozpatrujemy te zagadnienia tylko dla liczb wymiernych. Możliwości zaznaczania na osi liczbowej punktów odpowiadających liczbom niewymiernym pojawią się dopiero po opracowaniu twierdzenia Pitagorasa.

Przypominamy w tej części algorytm dzielenia liczb naturalnych. Stosujemy go, przedstawiając liczbę wymierną w postaci rozwinięcia dziesiętnego (ułamka dziesiętnego). Omawiamy przy tej okazji okresowość takiego rozwinięcia i stwierdzamy, że każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe oraz odwrotnie. Przedstawienia liczby o nieskończonym, ale okresowy m rozwinięciu dziesiętnym w postaci ułamka nieskracalnego jest skomplikowane (wymaga rozwinięcia teorii szeregów zbieżnych) i nie zmuszamy uczniów do opanowania tej metody. Tu jednak przemycamy aksjomat kresu górnego. Treścią tego aksjomatu jest, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ograniczony z góry ma kres górny. Jest to aksjomat bardzo istotny, gdyż gwarantuje istnienie liczb mających nieskończone i nieokresowe rozwinięcie dziesiętne. Uczniom o liczbach takich mówimy, nie wprowadzamy jednak ani pojęcia kresu górnego, ani aksjomatu istnienia kresu.

Nie posługując się teorią zbieżności szeregów, możemy uczniom zaproponować zamianę ułamków okresowych na ułamki zwykłe, korzystając z umiejętności rozwiązywania równań. Zamieńmy na przykład na ułamek nieskracalny 0,(48). Wprowadzamy oznaczenie x = 0,48484848..., następnie obie strony równania mnożymy przez 100. Otrzymamy wówczas 100,v = 48.484848..., skąd po odjęciu stronami obu równań mamy:

99.v = 48. czyli jr = ^,a w wyniku ||, czy\\ 0,(48) = .