Matematyka 2 3

122 II. kachunek różniczkowyfunkcit me/u rmienmfh

b) f(x,y)= xc"^ł ~^yl, D«=((x,y)eR²:x² + y²-2x£0}.

a) Ponieważ funkcja f ma pochodne cząstkowe w dowoln punkcie płaszczyzny R^:, więc funkcja ta może mieć ekstrema lokal jedynie w punktach stacjonarnych. Rozwiązujemy układ rówr £ = y + 3 « 0, fy = X -2y -3 = 0. Okazuje się, że punkt (-3,-3) jest jedynym punkiem stacjonarnym funkcji f, lecz nie należy on do wnętrza obszaru D. Tak więc, funkcja f nic ma ekstremów lokalnych wewnątrz obszaru O. a ekstrema absolutne osiąga na brzegu tego obszaru.

y
\Bf-2.0) y-0	0	A(10)
	m w	X
	m	• *
		01.-3)

Rvs 6.3.

Rys 6.4.

Badamy funkcję f na kolejnych bokach trójkąta D (rys 6.3.) i wyznaczymy te punkty, w których funkcja przyjmuje wartości największe i najmniejsze na poszczególnych bokach. Spośród tych punktów wybierzemy potem te. w których osiągane są ekstrema absolutne funkcji f na obszarze D.

Na odcinku AB mamy: y = 0, -2<x£ 1, a funkcja f przyjmuje wartości z(x)=3x (rys 6.4.). Funkcja la osiąga swoją najmniejszą wartość dla x = -2. a największą dla \ = 1. Ekstremalne wartości funkcji f na odcinku AB są więc osiągane w punktach p, =(-2,0) i p_: = (l,0).

Na odcinku AC mamy: x = I, - 3 < y < 0, a funkcja f ma wartości z<y) = (l-yXy +3) Jest to funkcja kwadratowa zmiennej y.

zatem łatwo widać (por. rys 6.5.), że wartość największą i najmniejszą funkcji z(y) na przedziale <-3.0> otrzymujemy odpowiednio dla

) =-l i y=—3. Funkcja f osiąga więc ekstrema na odcinku AC w punktach p_} = (1,-1) i p₄ = (1,-3).

Na boku BC mamy: y = -x-2, -2 < x <1. zatem funkcja f przyjmuje wartości z(x)=2(l-x^:). Funkcja zfx) (por. rys 6.6.) osiąga na przedziale < -2,1 > największą wartość dla x = 0, a najmniejszą dla x = -2. Zatem funkcja f na odcinku BC osiąga ekstrema w punktach Ps ⁼ (0,-2) i p₆ = p, =(-2,0).

Reasumując stwierdzamy, że funkcja f(x,y)=3x-3y+xy-y“ może osiągać ekstrema absolutne na trójkącie D jedynie w punktach .......p_?. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach:

f(p,)=-6. f(P2> «* 3. f(Pj) = 4. f(P₄) = 0. f(p_f)=2.

Stąd wynika, ż.e maksimum absolutne na trójkącie D funkcja f osiąga w punkcie pj = (1.—1) i jest ono równe 4; minimum absolutne ftinkeji f na

tym trójkącie jest równe -6 i osiągane jest w punkcie p, =(-2,0).

b) Funkcja ma pochodne cząstkowe w dowolnym punkcie płaszczyzny R‘, zatem ekstrema lokalne tej funkcji mogą istnieć jedynie w jej punktach stacjonarnych. Okład równań Ę = 0, fy = 0, czyli

(l-2x^:)e-*^V =0,

-2xye“*^:'^ył =0