Picture3

< 'nlLou

I Przez podstawienie av -t- bx + c t obliczamy całkę typu:

(6.21)

f ,    *.f-£«ft.2V7ł<:-łVa»^łtta + c + ».

V,«^! +    +_c v/

2. Przez podstawienie ,v = 47, t ,dx = 47, dl obliczamy całkę typu:

r dx rui \-== = \-==dl = _arcsi

\la-x‘ vl-r

dl

arcsiti/ +c = arcsin—=■ + k

47,

(6.22)

1 Przez podstawienie * + -Ja + jr² = t, a stąd:

I i

.    x+y/a + x²    t

dx = 7=^--. - dx -    dx = dl,

4a + x^:

yja + x²

obliczamy całkę:

dx r dt

J .77^— = J — = ln[/| + c = In|x + 7a + x² \ + c . \a + x^{2 1}

(6.23)

4. Całkę J-

dx

r— - przez sprowadzenie do postaci kanonicznej trój-

■Jax² + bx + c

mianu ux² + bx + c i odpowiednie podstawienie, przekształcamy w całkę przedstawioną w punkcie 2, jeśli a < 0, lub w punkcie 3, jeśli a > 0.

Ogólnie:

Bx + C

[ BX + L j

■Jax² +bx + c ^{X =}

= -g-f : ^{2aX + b} dx + {c-—\\

^2a 7ax² +bx    '

+ c

dx

^2a J 4ax² + bx + c

(6.24)

przy czym metody obliczania całek występujących po prawej stronie tego wzoru zostały omówione powyżej w punktach 1-4.

!*• /ykliiri (>.S

“> J

dx

t-J

dx

dx

V 3 -ł- 2jc - JC² yl4-{x-\)²    2

v 2 ,

po podstawieniu = w , dx = 2,du, otrzymujemy:

J

du

yj\-u^:

= arcsin u + k = arcsin

x-\

+ c

\

h» j-

tlx

-J-

etc

a/a-² + 6x +1    ^/(x + 3)" -8

na podstawie wzoru (6.23);

= In

jr + 3 +    + 3)² S

i o.

s r 3-2* _j f 4-2x

^C) J L , ,^{dx =} \

yj4x-x² —3    ^4x-x² - 3 y/4x-x²    3

= 2\4x — x² -3 - arcsin (x-2)+ c

(na podstawie wzorów (6.21) i (6.22)), ponieważ: 4jc- x" 3 więc podstawiając x-2 = l, dx- dt otrzymujemy:

n

(A

dx

-J-

dt

yj4x-x² -3    a/T-—

■ = arcsin t + c = arcsin (.r - 2) + c .

Zadania

6. Obliczyć całki funkcji niewymiernej:

a) I / ^ ⁶ =dx' ^b) J / ^..... » ^c) J

^J -Jx² - 4x + 5    W9*² + 16    ^J

dx

d) f

a/

_

*² + 2* + 2

e) }

Vl - 9x²

dx,

I

V25a-² -16 dx

yjl-9x² ’