Zarz Ryz Finans R1266

366 Zarządzanie ryzykiem finansowym

w celu określania wartości różnych rodzajów opcji dotyczących różnych aktywów pierwotnych. Przyjrzyjmy się jednak najpierw uproszczonej metodzie wyceny opcji, zaproponowanej przez Williama F. Sharpe’a (1978) i rozwiniętej przez Johna C. Coxa, Stephena Rossa i Marka Rubinsteina (1979). Metodę tę nazywa się dwumianowym modelem wyceny opcji lub - od nazwisk autorów -metodą Coxa, Rossa i Rubinsteina (C-R-R). Choć model dwumianowy stosowany jest najszerzej przy wycenie opcji na stopy procentowe, zaczniemy dla uproszczenia od analizy wyceny europejskiej opcji na akcje. (Do innych zastosowań modelu dwumianowego powrócimy w rozdziale 15).

Przy tym uproszczonym podejściu do wyceny opcji nasz świat ciągłych procesów będziemy wyobrażać sobie jako serię zdjęć fotograficznych. Załóżmy więc, że dzisiaj, w dniu 0, cena danej akcji wynosi 100 USD. Załóżmy dalej, że jutro może ona wzrosnąć lub spaść o 5%:

Dzień 0	Dzień 1
	. 105	wzrost o 5%
ioo <c^	95	spadek o 5%

Przykład 12.2

Realistyczne ujęcie?

Powyższe drzewko wydaje się na pierwszy rzut oka zbyt uproszczone, by mogło mieć jakiś związek ze światem realnym. Jest ono jednak proste tylko dlatego, że dopuściliśmy zaledwie jedną zmianę ceny akcji dziennie. A co by się stało, gdybyśmy dopuścili wzrost lub spadek ceny akcji o 5% co 12 godzin?

Albo co 6 godzin...? Albo...?

Gdy skracamy przedziały czasowe, w jakich mogą się dokonywać zmiany cen, prosty model dwumianowy staje się coraz bardziej realistyczny - całkiem podobnie jak film, który przybliża ciągły ruch, choć składa się przecież z serii nieruchomych zdjęć.

Zastanówmy się nad wartością jednodniowej opcji kupna tej akcji. Dla uproszczenia ustalmy jej cenę wykonania na 100 USD. Wartość opcji w dniu wygaśnięcia - dzień 1 - przedstawia się następująco: