00098473

238

m. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

4.    Czy rówoołć i — yT-1 okreSla liczbc ! jednoraaczniel

5.    Pod*ć interpretację feometryczoa modułu Ir, -r,l, a następnie narysować na płaszczyźnie respokwrj rbsót punklów okreiloo> warunkiem: a) ił— II < 1,

Dl 2 < iz+ll < J, «) l*+li*U-łl-4, d) Ir ł 41 > 3.

4. Obtaryć •) /-l. b) ^^1+7. c) Y'■•+/ » A <ł) Kr.

7.    Rozwiałaś równania a) jt’-2x + 5 •• 0, b) ** + 4r + U —0.

c) **-8-0, d) **+«»-0.

8.    Napisać postać trygonometryczną z argumentem głównym liczby rapolonej: a) 2 + ty,

-1-K3A

W --jJ. c) 3,

P punktu r — * +/y na sferą

9.    Znałr*¹ współrzędne ((, q, O

Rrananoa (patrz rya tU Z).

10.    Wykazać, te pierwiastki *_t, n równania r* - J spełniają warunek

a) *,-*-*, + *, - O, b) r, *j■*»-!.

IL Obłkzyć * lyr* równanie: 2 ? ty*-tyy — I4/+Łr~Jjr.

IŁ Wykazać, że

\—1, gdy 3 ple jest podzielnikiem a

(-\+jfi    p. * J“* podiisłnlkkan a

13. Uzasadnić poprawność względnie niepeprawność następujących równedd:

-i ~r -ii - V-t-- K<-» C-D - vT-1.

Wskazówka. W dńedzmie zespolonej pierwiastek nie jest jednoznaczny,

Odpowiedzi 4. Nie. jednostka urojona / jest tytko Jtdaa i wartości y/ — \.    & Odlagtcść

punktu r, od punktu r,; a) wnętrze kota o Środku I i pronuouu I, b) wnętrre ptaśdenia kołowego o środku -1 i promieniach 2 i 3. cl elipsa o ogniskach -111 orat osi dukaj 4, d) irwnętraK koto o Środku —4 l protTueniu J. 6. a) J,

»    z.

a    j»)+/*(y*+y*)]. * — 0.1,2,),

«    *-0.l.2.ł.4,J. 7. a) l-J/. l+ty. » -2-V.-2+V,

c) 2, -1-/K3, -t+fYi. d) Au,-/*• «. a) lKljcw-l+Mt^).

» }[««(-y)+>•*■(-1)]. c) J(co.0+/dn0), d) 2 Jeo. (-!«)+/

HW*

U.

2. CIĄGI I SZERKGI LICZBOWE O WYŁAZACH ZEJFOLONYCH

cny o wyrazach tcjpołotych

“*t *iar "

który oznaczać będziemy krótko tymbołc*

w

Ci« ten jest oczywiście ftmktją, której dziedziną jest zbiór N, zai ptzeówdzleda-ną — pewien zbiór Sczb zespolonych.

Na rys. ffl.3 jat przedstawi om interpretacja geometryczna

8	Z
*1	/
*} *-	u
	z, t *

Jtra. nu

Określimy teraz granicę (właldwą) limz. dąga {z,}. Niech g = a+jb oznacza pewną liczbę zespoloną.

Drf.    . (hm*. =    /\ V A ^< *    <^nL11)

Ponieważ    ___r_

I*,-*! = *^/(*.-«)^s+(ł’„-ó)^r

jazy czym X, = Rez„ y_m = Imz,, więc łatwo zauważyć, że

(Umz, — y) •*»- (lim*, — a) A (Umy, = fc)    (HI.12)

Jeżeli dąg {z.} nu granicę właściwą, to mówimy, te jest zbietny. Ciąg, lctóry nie ma granicy właściwej, nazywamy rozbieżnym.

W teorii ciągów liczbowych o wyrazach zespolonych wprowadza się pojęcie granicy nkwlaidwej co, mianowicie:

DeŁ    (lim*. = <xj) -o /\ \/ f\ W > M    (HL13)

M §    m>8

Uwaga Dl> dą*&W Hcjbowjch o wyrazach rraoywbtych.rozpstrujo się dwie granice _nłevł₁ł_ciwe: - co oraz f co, co jest ueuadniooe strukturą zbioru i wszystkich liczb rzeczywistych, ptjascsyaa liczbowa ma natomiast tylko jeden punkt w nimkoto-oaoto i dlatego dla ciągów ₀ wytasarii aapolocych razpetnye się tylko jedną granicę tuewiaSdwą: en.

Do ciągów o wyrazach zespolonych można stosować twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych, w brzmienia takim, jak dla ciągów o wyrazach rzeczywistych. Zwrócimy jednak w tym miejscu uwagę na to, te pewne pojęcia teorii ciągów, znane 'z podstaw rachunku różniczkowego funkcji jednej rnriennęj. nie mają w ogóle sensu dla ciągów o wyrazach zespolonych. Na przykład nie ma okrefloeegn sensu pojęcie dąga monotonkznego, gdyż liczb zespolonych