00098479

250 m. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONE!

jpoiób dokładnie jeden punkt zbioru ft^- Przyporządkowanie to nazywamy funkcją zloloną F(z) --/Ił(x)J-    przykłady funkcji złożonych i omómć interpretację ieometryczną.

Odpowiedzi.

Ł a) u-x*-y*+x, u-lzy+y+J; b> — 2xy

(1 + **->*)*+4*V ’ '    (l+j*-y¹)' + 4_ł’y>

*^,+y^J'

* W (UI.3J) i (IU.32) lub A V A I(|X| > A) 0/<z)-rl < <)],

^e) A V_# A Kici > K)*> (ifm > MU- a a) i--—¹-, b) z -    .

w+2

0 *”--•

5. POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Niech f[z) oznacza funkcję zmiennej zespolonej, określony w pewnym otoczeniu Q punktu z_e. Symbolem Az oznaczymy przyrost zmiennej z, który mole być dowolny, lecz różny od zera i taki, że z₀+Azeg.

Przyrostowi Az odpowiada przyrost Aw wartościfunkcji

Aw =/(z<,+dz)-/(z₀) «=

*= «(Jto+Ax, y_a+Ay)-u(x₉, yJ+j[v(x_a+Ax, y₀A Ay)-v{x_a, y₀)J = Au+jóv

Symbol Au oznacza tu część rzeczywistą, natomiast symbol Av oznacza część urojoną przyrostu Aw.

Niech Ax — Re dr i Ay - Imdz. Stosunek czyli stosunek

(HI.34)

Ąz_a+Az)-Ąz₀)

Az

nazywamy ilorazem rótmcowym funkcji f{z) w punkcie z₀ dla przyrostu Az zmiennej niezależnej z.

D«£ Granicę właściwą ilorazu różnicowego (111.34) gdy Az -* 0 nazywamy pochodną funkcji f\z) w punkcie z₀ i oznaczamy symbolem f'(z₀).

Mamy więc

(m.35)

/•(*,)_ to

et Ai-o    Az

podobnie jak w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej.

PrijkUd. Niech/£)-»*

/'(z*) ■= lim ^<ł°    = lim (2i„+Ji) - 2i„

Ai Ut At    Al +C

Jeżeli istnieje pochodna f'(zo), to funkcja /(z) jest ciągła w punkcie r„. Istotnie, jeśli istnieje granica właściwa (111.35), to istnieje taka liczba dodatnia d, te

I    ,

dla każdego Az spełniającego warunek 0 < \Az[ < d. Stąd \f(z<,+Aż)-Az_a)\ < M \Az\ gdzie M = l + |/'(z₀)l. więc

lim flz„+Ai) = f(z₀)

Al-M

Ostatnia równość oznacza właśnie ciągłość funkcji f{z) w punkcie z₀.

Jeżeli pochodna funkcji Ąz) istnieje w każdym punkcie pewnego zbioru Si, na przykład obszaru, to w tym zbiorze określona jest funkcja pochodna f (z), która każdej liczbie z₀ 6 SI przyporządkowuje liczbę/'(z₀).

Zastanówmy się teraz nad warunkiem Az -» 0. Dążenie przyrostu Az do zera może się odbywać na nieskończenie wiele różnych sposobów. Istnienie pochodnej f'(z₀) oznacza, że dla każdego z nich granica ilorazu (III.34) istnieje i ma tę samą wartość. Okazuje się, te rozwijając tę myśl można otrzymać pewne ważne związki różniczkowe, stanowiące warunek konieczny istnienia pochodnej (III.3S)

Warunek konieczny istnienia pochodnej f'(Zo)* Przypuśćmy, że pochodna /'(z₀) istnieje. Ponieważ

Aw Au+jAv

więc biorąc pod uwagę wyłącznie takie przyrosty Az, których części urojo* ne są równe zeru (Ay — 0), otrzymamy

(Az - Ax)

(m.3S)

Aw Au , Av

I?"Ai^^Ai

natomiast biorąc pod uwagę wyłącznie takie przyrosty Az, których części rzeczywiste są równe zeru (Ax = 0), otrzymamy

Aw . Au Av .,    ...    ___

(&-M    m-m

Ponieważ pochodna f'(z₀) istnieje z założenia, więc równa jest granicy ilorazu (III-3Ó) gdy Az -* 0, czyli gdy dx-» 0. Stąd, biorąc pod uwagę definicję pochodnych cząstkowych, dostajemy