030

30

2. Zmienne losowe

x pochodna F'(x) ma postać:

0    dla x ^ 0,

F\x) =

^ dla 0 < x < 1, 4

x — 1 dla 1 < x ^ 2,

1    dla x > 2,

Więc

U    1    Z

EX — J x-0dx + j x^dx + I x(x — 1 )dx

-oo    o    i

+ 1 ■ (F( 1+) - F(l)) + 2 • (F(2⁺) - F(2)) = g .

Podobnie obliczamy drugi moment

o    i

EX² = Jx? -0dx+ JX¹ -dx + Jx^!’{x— 1 )dx

—oo    o    i

125

1ŚT

+ l² • (F(l+) -F(l)) +2² • (F(2+) - F(2)) =

Stąd

D^ = EX^-(EX)^! = ^-g) = ^-0.227431

Przykład 2.1.5.

Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę

F(x) =

1

dla x < — 1, dla — 1 < x < 3, dla x > 3.

Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej Y = |X|.

Rozwiązanie.

Zmienna losowa Y przyjmuje wartości nieujemne, a więc jej dystrybuanta G(y) = Pr(7 < y) = 0 dla y ^ 0. Jeżeli y > 0, to

G(y) = Pr(7 < y) = Pr(|X| < y) = Pr(-y < X < y) — F(y) —F(—y) — Pr(X = —y).