0442

443

§ 4. Zamiana zmiennych

w 1		d^2w 1 2	d^2w	i	3 ^2w
~2T H--	u^2	~^r+~v^2	-5 +	—	uv--
?^2 4		du^2 4	dv^2	2	dudv
d^2 w	1	3^2 w 3	dw	1	d'w	1	dw
dudt	"T	^,u zr^~+~r dtdu 4	i-- di	4	^U~dH~	T	^V~dv

d² w    3 /    3w\    3 /1    dw    1    3vv    1    3tv\

yz-= z—| y I —z—I — t---u----i v 1 =

3ydz    3z\dy)    dz\2    dl    2    3u    2    do /

1    ₂ d²w    1    d²w    1    ₂ d²w    i    d²w    1    dw    1    dw    1    dw

— —_t ------_u —----_v--ą---_uv--1--i---w —---v —— .

4    dt²    4    du²    4 dv²    2    dudv    4    dt    4    du    4    dv

itd. Dodając wszystkie podobnie obliczone wyrażenia i odrzucając czynnik liczbowy otrzymamy następującą postać przekształconego równania:

-=0 .

dv

d²w ₂d²w

t —r + u -r—₂- + v dt² du²

Dotychczas zamienialiśmy tylko zmienne niezależne, podamy teraz przykłady, w których zamienia się też i funkcje.

₂ Sz ₂ dz

5) Przekształcić równanie x ——Vy — = z~ przyjmując

8x    3 y

x = t,

t

T+Tu’

t

^Z~ \ +tv '

Metoda wprost. Zmiennymi niezależnymi są t i u. Różniczkujemy trzeci z wzorów przekształcenia względem t i względem u traktując przy tym z i v jako funkcje zmiennych t i u (pierwszą — za pośrednictwem x i y):

dz dz 1 ~dx ^ dy (1 +tu)²

1 -t²

dv

dt

(1 +‘v)²

dz —t²    t² dv

dy (1 + tu)² (1 +tv)² du

Stąd

3r 1    /    2 dv dv\ dz (1 +tu)² dv

dx    dt du)’ dy (l+ft>)² du

Przekształcone równanie po uproszczeniu będzie miało postać

Rozwiążemy teraz to samo zadanie inaczej.

Metoda odwrotna. Wyraźmy z wzorów na przekształcenie nowe zmienne przez stare

- ¹ _ ¹ - ^{1 1} y x    z x

Zmiennymi niezależnymi będą teraz x i y, zmienna v zależy od tych zmiennych za pośrednictwem t i u. Różniczkując trzeci z powyższych wzorów względem x i względem y znajdujemy

1	dz 1 dv ' d^^+x^2=Tt ^+	do 1	1	dz		do 1
z^2			z^2 dy			du y^2
dz	2n dv i	do \	dz	2 Z	dv
		■ —| ,	_—_.		_	itd.
dx	\x^2 dt x^2	duj	dy	z y	du ^9

czyli