MAT14

14

5.2.3. f- ,_

^J (x-A)ⁿJax²+bx+c

Całkę postaci J

dx

oraz

^zl

(x-A )’’(x~B)‘i... (x-C)' Jax²+bx+c

-dx

tix

{x-A)" Jax²+bx+c

za pomocą podstawienia x - A = -j-. Przykład

sprowadzamy do całki rozpatrywanej we wcześniejszym twierdzeniu

dx

-I

Ut

— = - f , ^t2(lt- — = (Al + B) /l -21² + K f

2 J h _ 0/2    J

dl

(x- l)V-v² -2.v- 1 ^J    -2t^{2 1} /1 -2/

Podstawienie: .v - 1 = 4- => dx = --W/

v/l - 2l²

Różniczkujemy obustronnie i otrzymujemy

=Axl\-2r- +(At + B) .-^Ąt~ +K ¹    |« y 1 — 2/²

/l - 2/²    2V1 - 2t²    y/\ -2t-

-t² =A(\ -2t²) + (At + B)(-2l) + K

Całkę postaci |

— Jx² - 2x - 1 -

4/2

(.t-.-l y'(x-!iy<. ,.{x-C)^r Jax²+bx+c

dx obliczamy w ten sposób, że najpierw rokładamy funkcję

r-	-4/1	= -1	>	^ = ł
/•	-2B	= 0		> => 5 = 0
/°	A+ K	= 0		*--ł

_f__    =    -j-//l - 2t² - -—J—arcsin/2 r = --—

⁴    4(a--1)

wym lerną

W_H(x)

bx-c

(x-AY(x-B)^e>...(x-C)^r na ułamki proste, a później postępujemy tak samo jak w całkach typu f-‘^/A_

’ (x-A)" Jax²+b.i

Przykład

j^-    (x + 4)dx

² (x- 1 )(.v + 2)² Jx² + .Y+ 1

x + 4

(.y- l)(.v + 2)² x-l (a+ 2)

A' + 4 = A(x + 2)² + /i(.Y - 1) + C(.y - 1 )(.y + 2)

A-^2 A +	C	*s = 0		A =	5 9	(dla x	= O
x' 4/1 +	B +	C = 1	> =>	B =	2 ”T	(dla x	= -2)
a-° 4A-	B-	2C = 4		C =	5 9

Opracował: Marian Malec