skrypt wzory i prawa z objasnieniami04

6 Układy współrzędnych

■    W układzie cylindrycznym współrzędnymi punktu P, w którym znajduje się cząstka są p - długość rzut wektora położenia r punktu P na płaszczyznę biegunową, prostopadłą do osi OZ (płaszczyzna XOY na rysunku), kąt <j> między rzutem wektora położenia a osią biegunową (oś OX na rysunku) i wysokość z punktu nad płaszczyzną biegunową Wektor położenia cząstki zadany jest wzorem podanym w punkcie 13 Natomiast wektory prędkości, przyspieszenia (czy też dowolny inny wektor) zapisujemy w postaci

. A . A . A

A =A_p p +.4<p <p +A_: z.

—>

gdzie A_p, i A_z są rzutami wektora A na kierunki wyznaczane przez, wersory    p ,    (p    i z    związane    z    położeniem    punktu    P.    Wcrsor    p    jest

prostopadły    do    osi OZ,    wersor <p    ma kierunek    stycznej    do    okręgu,    a    r    jest

równoległy do osi OZ. Długość wektora A w układzie cylindrycznym wynosi:

I *I ^f .ł *» "T A = i A = y/łp + Aq + A~ .

■    W układzie sferycznym współrzędnymi punktu P . w którym znajduje się cząstka są długość r promienia wodzącego punktu, kąt 3 między promieniem wodzącym a osią OZ i kąt ip między rzutem promienia wodzącego na płaszczyznę XOY a osią OX. Wektor położenia cząstki zadany jest wzorem podanym w punkcie l 4. Natomiast wektory prędkości, przyspieszenia (czy tez dowolny inny wektor) zapisujemy w postaci:

—►    a a    ^A

A =    A_r    r +/tq> o +/4<j    8

—>

gdzie A_r,Aę, /Ig są rzutami wektora A na kierunki wyznaczone przez wersory r , { i 3 związane z położeniem punktu P Wersor r leży wzdłuż wektora 7. wersor o jest styczny do okręgu w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny XOY a wersor 3 jest styczny do okręgu leżącego w płaszczyźnie wyznaczonej przez oś OZ i promień wodzący r

Jeżeli punkt P leżałby na powierzchni Ziemi, to r miałby kierunek promienia

A    ^

Ziemi, ó - kierunek równoleżnika a 3 - kierunek południka —►

Długość wektora A w sferycznym układzie współrzędnych wynosi

■    Kładąc z = 0 redukujemy przestrzenny układ cylindryczny do płaskiego układu biegunowego o współrzędnych p i (p Układ biegunowy możemy też otrzymać ze sferycznego, kładąc 3 = 90°.

■    W układach biegunowym, cylindrycznym i sferycznym w odróżnieniu od układu karteziańskiego wersory me mają stałego kierunku w przestrzeni Ich kierunek zmienia się w czasie wraz z ruchem punktu P, z którym są związane

1.3 Wektor położenia we współrzędnych cylindrycznych (walcowych)

wektory jednostkowe i wersory)

wektor położenia punktu mat cnali tego

-> A A

r - p p +z z

X - pcos<p y- psmtp

2 “2

• w/ory przejścia /c współrzędnych cylindrycznych p, -do kadc/jańskich x. y. z

wzory przejścia ze współrzędnych * kartczjańskich x, y, z do cylindrycznych p, (p_tr

1.4 Wektor położenia we współrzędnych sferycznych (kulistych)

wektor położenia    —>    a    wektor jednostkowy

punktu materialnego •- T = T V    (wersor)

L

zch^

wzory przejścia od współrzędnych sferycznych r, q>, 9 do kartczjańskich .c. y, z

wzory przejścia od współrzędnych * knnezjahskich x. y, z do sfery cznych r,<p, 9