skrypt wzory i prawa z objasnieniami08

14

Przyspieszenie

■ Wzór na przyspieszenie w biegunowym układzie współrzędnych otrzymujemy w następujący sposób:

-► dv di A    dv_r A    dv* a    do

* -V"5l^Vrr-^M'**>^mTr^{r Vr} <jT ⁺ ~dT ^ ^+v^-d7

Ar	a	. A , d cp _ djj> a
dr	^= d7^<p *	dr ” di ^r

Pochodne wersorów po czasie wyznaczamy podobnie jak w komentarzu do punktu 2.3 otrzymując

Uwzględniając powyższe zależności i wyrażenie na prędkość radialna i transwersalną (patrz punkt 2 3) otrzymujemy przyspieszenie w układzie biegunowym jako sumę wektorów przyspieszenia radialnego i transwersalnego

—►    A    A —>    —►

a - c7q> <p + u_r r = a_v + a_r

■ Wyznaczmy wektor przyspieszenia w taki sposób, aby wyodrębnić część przyspieszenia związaną ze zmianą wartości prędkości i część związaną ze zmianą kierunku wektora prędkości. W' tym celu wprowadza się wersor s jako wektor jednostkowy mający kierunek i zwrot wektora prędkości cząstki (czyli kierunek styczny do toru) Wtenczas można zapisać

—►    A

V = V 5

i stad

...i*

Widać juz. że pierwszy składnik powyższej sumy to będzie składowa przyspieszenia styczna do toru. związana ze zmianą wartości prędkości, natomiast drugi składnik będzie związany ze zmianą kierunku ruchu. Zmianę wersom s w czasie możemy wyznaczyć następująco

d < _ dj* 4r _ ..d 5 dr dt dr d»

Wielkość d* jest drogą przebytą przez cząstkę w czasie dr. Drogę tę możemy traktować jako drogę po obwodzie stycznego do toru okręgu o promieniu R {R - promień krzywizny toru), czyli dv = Rdę> (dp jest kątem jaki zakreśli promień R w czasie dr) Stąd

d x _ i    i £

d.\    /? dtp    R ^T

gdzie n jest wersorem prostopadłym do s i mającym zwrot do środka okręgu (.patrz komentarz do punktu 2.3). Tak więc składowa przyspieszenia związana ze zmianą kierunku ruchu ma kierunek normalny do toru (prostopadły do stycznej do toru) i stąd nazywa się wektorem przyspieszenia normalnego Ostatecznie rozkład wektora przyspieszenia na wektor przyspieszenia stycznego i wektor przyspieszenia normalnego ma postać:

—>    a    A    —> —i

a = ~ x + ~ n = o.v *

c

3.2 Przyspieszenie w układzie biegunowym

Kinematyka |    15

wartość przyspieszenia 1 w układzie biegunowym

3.4 Przyspieszenie styczne i normalne

wektor przyspieszenia całkowitego

składowa

normalna

przyspieszenia •---

wartość przyspieszenia całkowitego¹

składowa

styczna

przyspieszenia